激趣誘思同學(xué)們,請你寫出:(1)棱長為x的正方體體積y;(2)面積為x的正方形的邊長y.冪函數(shù)在生活、建筑、軍事等多個領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用.那么冪函數(shù)如何定義?它的圖象和性質(zhì)是怎樣的呢?知識點撥一、冪函數(shù)的定義一般地,形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù),即底數(shù)是自變量、指數(shù)是常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).要點筆記

1.冪值前面的系數(shù)是1,否則不是冪函數(shù),如函數(shù)y=5就不是冪函數(shù).2.冪函數(shù)的定義域是使xα有意義的所有x的集合,因α的不同,定義域也不同.微練習(xí)在函數(shù)①y=,②y=3x2,③y=x2+2x中,是冪函數(shù)的為

.(填序號)

解析函數(shù)y==x-4為冪函數(shù);函數(shù)y=3x2中x2的系數(shù)不是1,所以它不是冪函數(shù);函數(shù)y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是冪函數(shù).答案①

二、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.常見的五種冪函數(shù)的圖象可以發(fā)現(xiàn)任一冪函數(shù)在第一象限內(nèi)必有圖象,在第四象限內(nèi)無圖象.2.冪函數(shù)的性質(zhì)

冪函數(shù)y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上是增函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0]上單調(diào)遞減在R上是增函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,在(-∞,0)上單調(diào)遞減公共點(0,0),(1,1)(1,1)名師點析

冪函數(shù)y=xα的上述性質(zhì)可歸納如下:(1)當α>0時,圖象都通過點(0,0),(1,1);在第一象限內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞增.(2)當α<0時,圖象都通過點(1,1);在第一象限內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞減,圖象向上與y軸無限接近,向右與x軸無限接近.微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在平面直角坐標系中的任意一個象限.(

)(2)冪函數(shù)的圖象必過(0,0)和(1,1).(

)答案(1)×

(2)×微練習(xí)(1)函數(shù)y=的圖象是(

)(2)(2021重慶高一期末)已知點(3,)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)在其定義域內(nèi)是(

)A.增函數(shù)

B.減函數(shù)C.奇函數(shù)

D.偶函數(shù)答案(1)C

(2)A課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一冪函數(shù)的概念例1函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當x∈(0,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增,試確定m的值.分析由f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當x>0時單調(diào)遞增,可先利用冪函數(shù)的定義求出m的所有可能的值,再利用單調(diào)性確定m的值.解根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3,或m=-2.當m=3時,f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;當m=-2時,f(x)=x-3在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合要求.故m=3.要點筆記

判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即:(1)系數(shù)為1;(2)指數(shù)為常數(shù);(3)后面不加任何項.反之,若一個函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必具有這種形式.

解由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;當m=1時,m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;當m=2時,m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.探究二冪函數(shù)的圖象例2已知函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b分析利用冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征和性質(zhì),結(jié)合所給圖象分析并判斷a,b,c的大小關(guān)系.解析由冪函數(shù)的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.答案A反思感悟

對于函數(shù)y=xα(α為常數(shù))而言,其圖象有以下特點:(1)恒過點(1,1).(2)當x∈(0,1)時,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).(3)由冪函數(shù)的圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象(4)當α>0時,冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞增;當α<0時,冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞減.變式訓(xùn)練

2如圖所示,曲線C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則下列結(jié)論正確的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>0解析畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數(shù)圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置關(guān)系可知,n<m<0.故選A.答案A探究三利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3比較下列各組中兩個數(shù)的大小:分析(1)利用y=的單調(diào)性比較大小;(2)利用y=x-1的單調(diào)性比較大小.反思感悟

1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時要注意的問題比較大小的兩個實數(shù)必須在同一個函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無法比較大小.探究四冪函數(shù)圖象的應(yīng)用例4已知點(,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,點

在冪函數(shù)g(x)的圖象上,問當x滿足什么條件時,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)<g(x)?分析先利用冪函數(shù)的定義求出f(x),g(x)的解析式,再利用圖象判斷.在同一直角坐標系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的圖象,如圖所示:(1)當x>1或x<-1時,f(x)>g(x);(2)當x=1或x=-1時,f(x)=g(x);(3)當-1<x<1且x≠0時,f(x)<g(x).變式訓(xùn)練

3已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求實數(shù)m的取值范圍.解根據(jù)冪函數(shù)y=x1.3的圖象,知當0<x<1時,0<y<1,∴0<0.71.3<1.又根據(jù)冪函數(shù)y=x0.7的圖象,知當x>1時,y>1,∴1.30.7>1.于是有0.71.3<1.30.7.對于冪函數(shù)y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,當x>0時,隨著x的增大,函數(shù)值y也增大,所以m>0.故實數(shù)m的取值范圍為(0,+∞).素養(yǎng)形成數(shù)形結(jié)合法求解含冪的不等式

要點筆記

已知xm與xn的大小,求x的取值范圍時,應(yīng)借助冪函數(shù)y=xm與y=xn的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決.(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x).解設(shè)f(x)=xα,g(x)=xβ.

當堂檢測答案BA.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3答案D3.冪函數(shù)f(x)=x3m-5(m∈N)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,且對定義域中的任意x,有f(-x)=f(x),則m等于(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析冪函數(shù)