一、選擇題1．4名公務(wù)員去10處鄉(xiāng)鎮(zhèn)調(diào)查，每人只許去一處，則不同的分配方案種數(shù)為()A．104B．410C．Aeq\o\al(4,10)D．Ceq\o\al(4,10)[答案]A[解析]用分步計數(shù)原理，第一名公務(wù)員有10種選擇，同理，第二、三、四名均有10種選擇，4名公務(wù)員都到達鄉(xiāng)鎮(zhèn)分配才能完成．∴10×10×10×10＝104.2．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法為()A．6種B．5種C．3種D．2種[答案]B[解析]有3＋2＝5種．3．5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．10種B．20種C．25種D．32種[答案]D[解析]2×2×2×2×2＝32種．4．下面是高考第一批錄取的一份志愿表．現(xiàn)有4所重點院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇，如果要將表格填滿且規(guī)定：學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你的不同的填寫方法種數(shù)為()志愿學(xué)校專業(yè)第一志愿A第1專業(yè)第2專業(yè)第二志愿B第1專業(yè)第2專業(yè)第三志愿C第1專業(yè)第2專業(yè)·(Aeq\o\al(2,3))3B．43·(Ceq\o\al(2,3))3C．Aeq\o\al(3,4)·(Ceq\o\al(2,3))3D．Aeq\o\al(3,4)·(Aeq\o\al(2,3))3[答案]D[解析]第一步，先填寫志愿學(xué)校，三個志愿學(xué)校的填寫方法數(shù)是Aeq\o\al(3,4)；第二步，再填寫對應(yīng)志愿學(xué)校的專業(yè)，各個對應(yīng)學(xué)校專業(yè)的填寫方法數(shù)都是Aeq\o\al(2,3)，故專業(yè)填寫方法數(shù)是Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,3).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有填寫方法數(shù)Aeq\o\al(3,4)(Aeq\o\al(2,3))3.5．(2022·大綱全國卷文，9)4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有()A．12種B．24種C．30種D．36種[答案]B[解析]本試題主要考查排列組合知識，考察考生分析問題的能力．從4人中任選2個選修甲課程共有Ceq\o\al(2,4)＝6種選法．其余2人各自從乙、丙課程中任選1門有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)＝4種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理共有6×4＝24種選法．6．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y＝2x2＋1，值域為{5,19}的“孿生函數(shù)”共有()A．10個B．9個C．8個D．7個[答案]B[解析]令2x2＋1＝5，則x＝±eq\r(2)，令2x2＋1＝19，則x＝±3，那么函數(shù)解析式為y＝2x2＋1，值域為{5,19}的“孿生函數(shù)”的定義域就是從集合{3，－3}，{eq\r(2)，－eq\r(2)}中選出元素來構(gòu)成的，每個集合至少選一個元素．當(dāng)“孿生函數(shù)”的定義域有兩個元素時，有2×2＝4個，當(dāng)定義域有三個元素時，有2＋2＝4個，當(dāng)定義域有四個元素時，有1個，所以共有4＋4＋1＝9個，選B.二、填空題7．從集合{1,2,3，…，10}中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有________個．[答案]32[解析]和為11的數(shù)共有5組：1與10,2與9,3與8,4與7,5與6，子集中的元素不能取自同一組的兩數(shù)，即5個組中每個組可取一個數(shù)，取法各有2種，所以子集個數(shù)為25＝32.8．某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中A、B、C三門由于上課時間相同，至多選一門．學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修4門，共有________種不同的選修方案(用數(shù)值作答)[答案]75[解析]第一類，從A、B、C中選一門有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(3,6)＝60種，第二類，不選A、B、C課程，有Ceq\o\al(4,6)＝15種．∴共有60＋15＝75種．三、解答題9．乒乓球隊的10名隊員有3名主力隊員，派5名參加比賽，按出場次序，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，求不同的出場安排的種數(shù)．[解析]解法1：按出場次序逐一安排．第一位置隊員的安排有3種方法；第二位置隊員的安排有7種方法；第三位置隊員的安排有2種方法；第四位置隊員的安排有6種方法；第五位置隊員的安排只有1種方法．由分步計數(shù)原理，得不同的出場安排種數(shù)為3×7×2×6×1＝252.解法2：按主力與非主力，分兩步安排．第一步安排3名主力隊員在第一、三、五位置上，有Aeq\o\al(3,3)種方法；第二步安排7名非主力隊員中的2名在第二、四位置上，有Aeq\o\al(2,7)種方法．由分步計數(shù)原理，得不同的出場安排種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,7)＝252.一、選擇題1．(2022·泉州模擬)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85B．56C．49D．28[答案]C[解析]考查有限制條件的組合問題．(1)從甲、乙兩人中選1人，有2種選法，從除甲、乙、丙外的7人中選2人，有Ceq\o\al(2,7)種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有2Ceq\o\al(2,7)＝42種．(2)甲、乙兩人全選，再從除丙外的其余7人中選1人共7種選法．由分類加法計數(shù)原理知共有不同選法42＋7＝49種．2．在如圖的矩形長條中，涂上紅、黃、藍三種顏色，每種顏色限涂兩格，且相鄰兩格不同色，則不同的涂色方法共有()種B．54種種D．30種[答案]D[解析]把六個位置從左到右編號為1～6，當(dāng)紅涂1、3位時有2種，紅涂1、4位時有4種，紅涂1、5位時有2種，紅涂1、6位時有2種，紅涂2、4位時有4種，紅涂2、5位時有4種，紅涂2、6位時有2種，紅涂3、5位時有4種，紅涂3、6位時有4種，紅涂4、6位時有2種，故共有30種.二、填空題3.橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓有________個．[答案]20[解析]m<n，根據(jù)m的取值分為5類：m＝1時，有6個橢圓；m＝2時，有5個橢圓；m＝3時，有4個橢圓；m＝4時，有3個橢圓；m＝5時，有2個橢圓．共有6＋5＋4＋3＋2＝20(個).4.若直線方程ax＋by＝0中的a、b可以從0,1,2,3,5這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線一共有________條．[答案]14[解析]分兩類：第一類，a、b均不為零，a、b的取值共有Aeq\o\al(2,4)＝12種方法．第二類：a、b中有一個為0，則不同的直線僅有兩條x＝0和y＝0.∴共有不同直線14條.三、解答題5.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(a，b∈M)，問(1)P可表示平面上多少個不同的點？(2)P可表示平面上多少個第二象限的點？(3)P可表示多少個不在直線y＝x上的點？[分析]完成“確定點P”這件事需依次確定橫、縱坐標(biāo)，應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理．[解析](1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，也有6種確定方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到平面上的點數(shù)是6×6＝36個．(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法．由分步乘法計數(shù)原理，得到第二象限點的個數(shù)是3×2＝6.(3)點P(a，b)在直線y＝x上的充要條件是a＝b.因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線y＝x上的點有6個．由(1)得不在直線y＝x上的點共有36－6＝30個．[點評]利用分步乘法計數(shù)原理解決問題：①要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個步驟都完成才算完成這件事.6.用5種不同的顏色給圖中所給出的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？1324[解析]可分步進行．涂區(qū)域1，有5種顏色可選.涂區(qū)域2，有4種顏色可選.涂區(qū)域3，可先分類：若區(qū)域3的顏色與2相同，則區(qū)域4有4種顏色可選．若區(qū)域3的顏色與2個不同，則區(qū)域3有3種顏色可選，此時區(qū)域4有3種顏色可選．所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260種涂色方法.7.(1)四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，有多少種不同的取法？(2)四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，有多少種不同的取法？[解析](1)如圖，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面共有3Ceq\o\al(3,5)種取法，含頂點A的三條棱中每一棱上的三個點，與所對的棱的中點共面，共有3種取法．與頂點A共面三點的取法有3Ceq\o\a