第三章板料成形的有限元基礎§3.1序言§3.2桿和梁單元§3.2二維問題§3.3有限元求解技術§3.4板殼單元第三章板料成形的有限元基礎§3.1序言§3.1序言§3.1.1

基本概念§3.1.2矩陣代數的回顧§3.1.3彈簧元§3.1序言§3.1.1基本概念§3.1序言有限元方法或有限元分析的基本思想就是將一個復雜的物體分解成許多易于處理的小片來處理。這種思路在日常生活和工程實際中經常被使用。§3.1.1

基本概念搭積木游戲建筑§3.1序言有限元方法或有限元分析的基本思想就是§3.1.1基本概念圓面積的近似求解：注意：一個復雜的連續的物體可以被許多小片（單元）來近似代替。§3.1.1基本概念圓面積的近似求解：注意：一個復雜的連續工程中有限元的應用機械、航空、土木、汽車工程結構分析（靜態/動態、線性/非線性）熱/液體流動電磁地質力學生物力學…齒輪式彈性軸接的模型§3.1.1基本概念工程中有限元的應用齒輪式彈性軸接的模型§3.1.1基本概念有限元的簡要發展歷史1943——Courant1956——Tuner,Clough,Martin,Topp(Stiffness)1960——Clough(“FiniteElement”平面問題)1970s——在大型機上得到應用1980s——在微機上得到應用，前后處理軟件1990s——大型機構系統分析§3.1.1基本概念有限元的簡要發展歷史§3.1.1基本概念§3.1.1基本概念易拉罐的跌落測試§3.1.1基本概念易拉罐的跌落測試結構分析中的有限元（過程）將結構體劃分成小片（單元，節點）形成描繪物理特性的單元剛度將單元組裝成一個整體結構的近似方程組求解已經引入位置物理量（位移）的方程組計算單元中用戶所關心的物理量（應變，應力）§3.1.1基本概念結構分析中的有限元（過程）§3.1.1基本概念計算機前處理（建立有限元模型，載荷和約束）有限元求解器（組裝和求解系統方程）后處理（顯示計算結果）商業化有限元軟件包ANSYS，NASTRAN，ALGOR(通用目的)ABAQUS(非線性動力分析)PATRAN，HyperMesh(前后處理)LS-DYNA(碰撞動力分析)DynaForm(前后處理)…§3.1.1基本概念計算機§3.1.1基本概念本章有限元基礎課的目的理解有限元分析的基本原理和思路掌握本章中所涉及到的單元模型的推導和適用范圍對一個給定的問題能夠建立適當的有限元模型能夠解釋并評價有限元分析結果的優劣（知道問題的物理意思）明白有限元的局限性（不要錯誤地應用有限元—數值工具）§3.1.1基本概念本章有限元基礎課的目的§3.1.1基本概念線性代數方程組系統：矩陣形式：A稱為n×n矩陣，x和b分別是n維的列向量§3.1.1矩陣代數的回顧線性代數方程組系統：§3.1.1矩陣代數的回顧矩陣的加法減法：矩陣的乘法：矩陣的轉置：對稱矩陣：單位矩陣：§3.1.1矩陣代數的回顧矩陣的加法減法：§3.1.1矩陣代數的回顧矩陣行列式的值：奇異矩陣：如果detA=0，那么系統存在問題（非唯一解，發散等）矩陣的逆：§3.1.1矩陣代數的回顧矩陣行列式的值：§3.1.1矩陣代數的回顧線性方程組系統的求解技術：高斯消去法迭代法正定矩陣：對于所有非零向量X，有XTAX>0，A為正定矩陣正定矩陣為非奇異矩陣矩陣的導數和積分：§3.1.1矩陣代數的回顧線性方程組系統的求解技術：§3.1.1矩陣代數的回顧彈簧元：§3.1.3彈簧單元§3.1.3彈簧單元考慮彈簧元的力的平衡條件：節點i：節點j：矩陣形式：注意：K為對稱矩陣，K是非奇異的還是奇異的？§3.1.3彈簧單元考慮彈簧元的力的平衡條件：§3.1.3彈簧單元彈簧元系統：單元1：單元2：§3.1.3彈簧單元彈簧元系統：§3.1.3彈簧單元對整個系統進行單元剛度矩陣的組裝：考慮節點力的平衡條件：節點1：節點2：節點3：矩陣形式：K為該彈簧系統的剛度矩陣（結構矩陣）§3.1.3彈簧單元對整個系統進行單元剛度矩陣的組裝：§3.1.3彈簧單元單元剛度矩陣另一種組裝方法：分別擴大單元1和2的剛度矩陣這與根據節點力平衡得出的矩陣是一樣的。§3.1.3彈簧單元單元剛度矩陣另一種組裝方法：§3.1.3彈簧單元引入邊界條件和力的條件：假設u1=0，F2=F3=P，那么未知量為：u2，u3和F1求解方程可得：§3.1.3彈簧單元引入邊界條件和力的條件：§3.1.3彈簧單元檢查計算結果：結構變形后的形狀外力平衡有關彈簧元的注意事項：適于剛度分析的計算不適合用于彈簧本身的應力分析計算在彈簧元的橫向是否具有剛度，彈簧元是否具有扭轉剛度§3.1.3彈簧單元檢查計算結果：§3.1.3彈簧單元例子1：已知：求：(a)整體剛度矩陣(b)節點2和3的位移(c)節點1和4的支反力(d)彈簧2的力§3.1.3彈簧單元例子1：§3.1.3彈簧單元（a）問：分別求出單元剛度矩陣：單元1：單元2：單元3：組裝后：§3.1.3彈簧單元（a）問：分別求出單元剛度矩陣：§3.1.3彈簧單元組裝后：注意到整體剛度矩陣是對稱并帶狀分布的。該系統的平衡方程為：§3.1.3彈簧單元組裝后：§3.1.3彈簧單元（b）問：將邊界條件（u1=u4=0）應用到平衡方程中，去掉1行1列，4行4列后：求解得：（c）問：從平衡方程組中的1和4可得：§3.1.3彈簧單元（b）問：§3.1.3彈簧單元（d）問：彈簧元2的平衡方程為：式中i=2，j=3，可以計算出彈簧力為：§3.1.3彈簧單元（d）問：§3.1.3彈簧單元例子2：問題描述：對上述一個具有任意彈簧元節點和單元的系統，求其整體剛度矩陣。§3.1.3彈簧單元例子2：§3.1.3彈簧單元單元拓撲關系：上表中為每個彈簧元的局部節點號和整體節點號的對應關系。然后依次求出每個彈簧元的剛度矩陣：§3.1.3彈簧單元單元拓撲關系：§3.1.3彈簧單元組裝后：整體剛度矩陣是對稱并帶狀分布的。§3.1.3彈簧單元§3.1.3彈簧單元§3.2桿和梁單元§3.2.1

線性靜力分析§3.2.2桿單元§3.2.3梁單元§3.2桿和梁單元§3.2.1線性靜力分析大部分結構分析問題都可以看作是線性靜力分析問題，它們都基于以下假設：1.小變形（加載方式不會因為變形而改變）2.線彈性材料（不存在塑性和破裂）3.靜力載荷（在結構上的載荷是慢速平穩地施加上去的）線性靜力分析可以解決結構分析問題中大部分的問題，對于大多數的結構分析問題，靜力分析可以得到一個近似的結果。線性靜力分析是非線性分析的基礎。§3.2.1線性靜力分析大部分結構分析問題都可以看作是線性靜力分析問題，它們都基于以桿單元：§3.2.2桿單元桿單元：§3.2.2桿單元剛度矩陣——直接法：假設位移u沿著桿的軸向線性分布：K即為桿單元的剛度系數，桿單元和彈簧元類似。§3.2.2桿單元剛度矩陣——直接法：§3.2.2桿單元單元剛度矩陣為：單元的平衡方程組為：節點自由度：對一維的桿單元，每個節點就只有一個自由度剛度矩陣K中系數的物理意義：K中第j列的系數表示在節點j施加單位位移而其他節點固定不動的時候，桿上所承受的力。§3.2.2桿單元單元剛度矩陣為：§3.2.2桿單元剛度矩陣——正規推導方法：定義兩個形函數：位移u沿著桿的軸向線性分布：可得應變為：B為單元的應變-位移矩陣：§3.2.2桿單元剛度矩陣——正規推導方法：§3.2.2桿單元單元應力為：桿單元上的應變能為：桿單元2個節點所做的功為：對于保守系統，U=W

，故有：§3.2.2桿單元單元應力為：§3.2.2桿單元上式等價于：其中k即為單元剛度矩陣上述方法就是正規的推導過程，該方法也可以用來推導其他類型的單元剛度矩陣。單元剛度矩陣也可以通過其他嚴格的方法獲得，比如最小勢能原理，伽遼金方法等。于是我們可以得到桿單元的剛度矩陣：上式結果和直接法的結果一樣。§3.2.2桿單元上式等價于：§3.2.2桿單元例子：問題描述：在節點2處施加F，求桿1和桿2上的應力。求解方法：用1-D桿單元。單元1和單元2的剛度矩陣分別為：假設在節點2處是用一個無摩擦的鉸鏈將桿1和桿2所連接。§3.2.2桿單元例子：§3.2.2桿單元組裝后：載荷和邊界條件為：刪除第1行第1列和第3行第3列后得：§3.2.2桿單元組裝后：§3.2.2桿單元最后可以得到單元1內的應力：同理，可以得到單元2內的應力：負號表示單元2所受的是壓應力。§3.2.2桿單元最后可以得到單元1內的應力：§3.2.2桿單元注意：1)在這個例子中，根據一維線性理論所計算出來的單元1和2中的應力是精確解，所以如果我們將單元細化不會提高精度。2)如果對于階梯桿結構，其中的A要采用橫截面的平均面積。3)為了得到單元1和2中的應力，我們首先要得到節點的位移，因為采用的基于位移場的有限元法。§3.2.2桿單元注意：§3.2.2桿單元二維空間上的桿單元：注意：在線彈性理論的前提下，橫向位移對桿單元的拉伸沒有貢獻。§3.2.2桿單元二維空間上的桿單元：§3.2.2桿單元坐標變換：矩陣形式：§3.2.2桿單元坐標變換：§3.2.2桿單元對于2個節點的桿單元有：節點力也采用相同的變換方法：二維空間下的局部坐標系下的剛度矩陣：§3.2.2桿單元對于2個節點的桿單元有：§3.2.2桿單元擴大后：矩陣形式：K為整體坐標系下的剛度矩陣§3.2.2桿單元擴大后：§3.2.2桿單元K的顯式表達式為：單元應力：§3.2.2桿單元K的顯式表達式為：§3.2.2桿單元三維空間上的桿單元：先在局部坐標系下求出單元剛度矩陣，然后再轉換并組裝到整體坐標系下進行計算。§3.2.2桿單元三維空間上的桿單元：§3.2.2桿單元簡單的平面梁單元：基本的梁理論：§3.2.3梁單元簡單的平面梁單元：§3.2.3梁單元§3.3二維問題§3.3.1

基本理論回顧§3.3.2二維問題的有限元§3.3二維問題§3.3.1基本理論回顧應力和應變：在特定的條件下，應力應變狀態可以簡化，因此，一般的三維問題可以簡化成二維問題來分析§3.3.1基本理論回顧應力和應變：§3.3.1基本理論回顧平面應力：平面應變：§3.3.1基本理論回顧平面應力：§3.3.1基本理論回顧本構關系（平面應力）：本構關系（平面應變）：§3.3.1基本理論回顧本構關系（平面應力）：§3.3.1基本理論回顧應變與位移的關系：邊界條件：§3.3.1基本理論回顧應變與位移的關系：§3.3.1基本理論回顧常應變單元（CSTorT3）位移函數：§3.3.2二維問題的有限元常應變單元（CSTorT3）§3.3.2二維問題的有限位移插值函數：§3.3.2二維問題的有限元位移插值函數：§3.3.2二維問題的有限元應變：CST單元剛度矩陣為：t為單元厚度，k為一個6×6的對稱矩陣。§3.3.2二維問題的有限元應變：§3.3.2二維問題的有限元雙線性四邊形單元（Q4）位移函數：§3.3.2二維問題的有限元雙線性四邊形單元（Q4）§3.3.2二維問題的有限元例子：§3.3.2二維問題的有限元例子：§3.3.2二維問題的有限元網格劃分：§3.3.2二維問題的有限元網格劃分：§3.3.2二維問題的有限元計算結果：§3.3.2二維問題的有限元計算結果：§3.3.2二維問題的有限元載荷的變換：集中力(點載荷)，面力(壓力載荷)，體力(重力)為三種主要的外載荷。面力和體力都需要經過變換以后才能加到有限元中。變換的基本思想就是：等效功。§3.3.2二維問題的有限元載荷的變換：§3.3.2二維問題的有限元其中，t為單元厚度，L為單元邊長，un為垂直于邊界AB的位移分量。對于Q4單元來說，有：§3.3.2二維問題的有限元§3.3.2二維問題的有限元應力計算：單元內的應力計算公式為：B為應變與節點位移之間的關系矩陣，d為計算后的節點位移向量。我們可以計算出單元內部任意一點的應力，包括單元中心和節點位置。應力分布的等值線可以通過后處理軟件顯示出來。§3.3.2二維問題的有限元應力計算：§3.3.2二維問題的有限元討論：1）需要了解每個單元類型的特性：T3和Q4：線性位移，常量應變和應力T6和Q8：二次位移，線性的應變和應力2）對于一個特定的問題選擇一種合適的單元毫無疑問，應該盡可能地采用高階單元和細網格。3）要避免單元具有大形狀比和尖角：§3.3.2二維問題的有限元討論：§3.3.2二維問題的有限元討論：4）單元之間要互相連通：在有限元模型中不能存在間隙或自由單元。§3.3.2二維問題的有限元討論：§3.3.2二維問題的有限元§3.3有限元求解技術§3.3.1

方程組求解§3.3.2有限元方法的實質§3.3.3數值誤差§3.3.4有限元求解的收斂性§3.3有限元求解技術§3.3.1方程組求解直接法（高斯消去法）：求解時間是和NB2成正比（N為矩陣的維數，B為矩陣的帶寬）適合小到中等規模的問題，小帶寬的問題。對于多重載荷的情況，容易處理。迭代法：求解時間事先不可預知降低對存儲空間的要求適合大型規模問題的求解（帶寬可以很大，收斂快）對于不同載荷的工況需要重新求解。§3.3.1方程組求解直接法（高斯消去法）：§3.3.1方程組求解高斯消去法例子：回代求解：§3.3.1方程組求解高斯消去法例子：§3.3.1方程組求解迭代法（高斯-賽德爾）例子：從一個初始解X(0)開始按照以下公式計算：一直到X滿足以下條件，迭代終止。其中ε為收斂控制的容忍誤差。§3.3.1方程組求解迭代法（高斯-賽德爾）例子：§3.3.1方程組求解有限元模型—是基于很多近似以后對實際結構的一個數學模型。實際結構—具有無限個節點，所以具有無限個自由度。有限元模型—具有有限個節點，所以具有有限個自由度。位移場是被有限個節點位移的值所控制的：§3.3.2有限元方法的實質有限元模型—是基于很多近似以后對實際結構的一個數學模型。§3剛度效果：有限元模型比實際結構要更剛一些。一般來說，位移解要比實際情況偏小一些。所以，有限元計算的位移是精確解的一個下限：§3.3.2有限元方法的實質剛度效果：§3.3.2有限元方法的實質誤差≠錯誤（模型和計算）。誤差的類型：模型誤差（梁，板，…，理論）離散誤差（有限，分段，…

）數值誤差（在求解有限元方程組的時候）例子（數值誤差）：§3.3.3數值誤差誤差≠錯誤（模型和計算）。§3.3.3數值誤差有限元方程組為：如果K2<<K1的話，方程組是奇異的，病態的：§3.3.3數值誤差有限元方程組為：§3.3.3數值誤差如果K2>>K1的話，方程組是非病態的：在有限元模型中不同部分的剛度相差很大的話有可能導致有限元方程組的病態，產生很大的誤差。病態方程組的情況下，很小的輸入變化量（右端項向量）求解時會引起很大的變化量。§3.3.3數值誤差如果K2>>K1的話，方程組是非病態的：§3.3.3數隨著有限元模型中的網格不斷地被加密和細化，有限元的計算結果將收斂于被求解的問題的數學模型的精確解。有限元網格自適應類型：h-refinement:減小單元尺寸（h指單元的尺寸）。p-refinement:增加單元多項式插值函數的階次（p指更高階次的多項式插值函數）。r-refinement:重新劃分有限元網格。hp-refinement:h方法和p方法互相結合的方法。§3.3.4有限元求解的收斂性隨著有限元模型中的網格不斷地被加密和細化，有限元的計算結果將網格自適應類型例子：§3.3.4有限元求解的收斂性網格自適應類型例子：§3.3.4有限元求解的收斂性網格自適應類型例子：§3.3.4有限元求解的收斂性網格自適應類型例子：§3.3.4有限元求解的收斂性網格自適應類型例子：§3.3.4有限元求解的收斂性網格自適應類型例子：§3.3.4有限元求解的收斂性§3.4板殼單元§3.4.1

板理論§3.4.2板單元§3.4.3殼和殼單元§3.4板殼單元§3.4.1板理論板理論：平板橫向加載彎曲效應為主注意：應用范圍：剪力墻地板架子等§3.4.1板理論板理論：§3.4.1板理論板單元的力和彎矩：應力：§3.4.1板理論板單元的力和彎矩：§3.4.1板理論板單元的力和應力之間的關系：單位長度的彎矩：單位長度的扭矩：單位長度的剪力：最大彎曲應力：最大彎曲應力總是在在中性層沒有彎曲應力（與梁單元類似）§3.4.1板理論板單元的力和應力之間的關系：§3.4.1板理論薄板理論（Kichhoff板理論）：直法線假設（與梁單元類似）：與中性層垂直的直法線在變形后仍然與中性層保持垂直，也就是說沒有剪切變形：位移：§3.4.1板理論薄板理論（Kichhoff板理論）：§3.4.1板理論應變：注意：在中性層沒有拉伸變形。應力（平面應力）：剪力和彎矩：§3.4.1板理論應變：厚板理論（Mindlin板理論）：如果板厚不夠薄，即t/L>1/10，應該采用厚板理論。直線假設：該理論認為在變形過程中截面角度發生改變，即：與中性層垂直的直線在變形后與中性層不再保持垂直，但仍然是直線。§3.4.1板理論厚板理論（Mindlin板理論）：§3.4.1板理論新的獨立變量：θx和θy：分別為直線沿x軸和y軸的旋轉角度，變形前該直線與中性層垂直。新的關系：注意：如果我們引入以下條件，厚板理論又可以退化成薄板理論。§3.4.1板理論新的獨立變量：§3.4.1板理論Kichhoff板單元：四節點四邊形單元每個節點的自由度：每個單元的z方向的位移為：§3.4.2板單元Kichhoff板單元：§3.4.2板單元Kichhoff板單元是一種不協調單元，但是其剛度矩陣仍舊可以寫成：B為應變與位移的關系矩陣，E為應力應變關系矩陣