湖南省常德市崇德中學2022-2023學年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知正方形ABCD的邊長為2，點P,Q分別是邊AB，BC邊上的動點且，則的最小值為（

）

A．1

B．2 C．3

D．4

參考答案：C2.已知函數f（x）=，則下列關于函數y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零點個數的判斷正確的是（）A．當k＞0時，有3個零點；當k＜0時，有4個零點B．當k＞0時，有4個零點；當k＜0時，有3個零點C．無論k為何值，均有3個零點D．無論k為何值，均有4個零點參考答案：C【考點】函數零點的判定定理．【分析】函數y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零點個數即方程f[f（kx）+1]+1=0的解的個數，從而解方程可得．【解答】解：令f[f（kx）+1]+1=0得，或解得，f（kx）+1=0或f（kx）+1=；由f（kx）+1=0得，或；即x=0或kx=；由f（kx）+1=得，或；即ekx=1+，（無解）或kx=；綜上所述，x=0或kx=或kx=；故無論k為何值，均有3個解；故選C．3.如圖所示是函數y=f（x）的圖象，則函數f（x）可能是（）A．（x+）cosx B．（x+）sinx C．xcosx

D．參考答案：A【考點】函數的圖象．【分析】判斷函數的奇偶性，排除選項，然后利用函數的變換趨勢推出結果即可．【解答】解：由函數的圖形可知：函數是奇函數，可知y=（x+）sinx不滿足題意；當x→+∞時，y=（x+）cosx與y=xcosx滿足題意，y=不滿足題意；當x→0時，y=（x+）cosx滿足題意，y=xcosx不滿足題意，故選：A．4.直線l：y=k（x﹣）與曲線x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B兩點，則直線l傾斜角的取值范圍是（）A．{0，π） B．（，）∪（，） C．[0，）∪（，π） D．（，）參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】首先根據題意直線l：y=k（x﹣）與曲線x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B兩點，進一步判斷直線的斜率和漸近線的斜率的關系求出結果．【解答】解：曲線x2﹣y2=1（x＞0）的漸近線方程為：y=±x直線l：y=k（x﹣）與相交于A、B兩點所以：直線的斜率k＞1或k＜﹣1由于直線的斜率存在：傾斜角故選：B5.一質點受到平面上的三個力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態．已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為………………(

)

（A）6

（B）2

（C）

（D）

參考答案：D6.復數z為純虛數，若（3﹣i）?z=a+i（i為虛數單位），則實數a的值為(

)A．﹣ B．3 C．﹣3 D．參考答案：D【考點】復數代數形式的乘除運算．【專題】數系的擴充和復數．【分析】把已知的等式變形，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部等于0且虛部不等于0求解a的值．【解答】解：∵（3﹣i）?z=a+i，∴，又z為純虛數，∴，解得：a=．故選：D．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題．7.若函數存在零點，則實數的取值范圍是

(

)A．

B.

C．

D.參考答案：A略8.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出S的值是（）A．22 B．25 C．28 D．31參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】閱讀程序框圖知道框圖的功能知，每次進入循環體后，S的值被施加的運算是S=S+3，故由此運算規律進行計算，經過8次運算后輸出的結果即可．【解答】解：閱讀算法中流程圖知：運算規則是對S=S+3，故第一次進入循環體后S=1+3=4，i=1第二次進入循環體后S=3+3=7，i=3第三次進入循環體后S=7+3=10，i=7第四次進入循環體后S=10+3=13，i=15第五次進入循環體后S=13+3=16，i=31第六次進入循環體后S=16+3=19，i=63第七次進入循環體后S=19+3=22，i=127第八次進入循環體后S=22+3=25，i=255由i=127＞100，退出循環，輸出S=25．故選：B．9.已知E，F，G，H是空間四點，命題甲：E，F，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙的（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：A略10.若雙曲線y2=4(m>0)的焦距為8，則它的離心率為

A．

B．2

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數列的通項公式是，前項和為，則.參考答案：因為，所以。12.（5分）設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且當x∈[﹣2，0]時，f（x）=（）x﹣1，若在區間（﹣2，6]內關于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數根，則a的取值范圍是．參考答案：（，2）【考點】：根的存在性及根的個數判斷．【專題】：函數的性質及應用．【分析】：由已知中可以得到函數f（x）是一個周期函數，且周期為4，將方程f（x）﹣logax+2=0恰有3個不同的實數解，轉化為函數f（x）的與函數y=﹣logax+2的圖象恰有3個不同的交點，數形結合即可得到實數a的取值范圍．解：∵對于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4．又∵當x∈[﹣2，0]時，f（x）=（）x﹣1，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，若在區間（﹣2，6]內關于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3個不同的實數解，則函數y=f（x）與y=loga（x+2）在區間（﹣2，6]上有三個不同的交點，如下圖所示：又f（﹣2）=f（2）=3，則對于函數y=loga（x+2），由題意可得，當x=2時的函數值小于3，當x=6時的函數值大于3，即loga4＜3，且loga8＞3，由此解得：＜a＜2，故答案為：（，2）．【點評】：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，指數函數與對數函數的圖象與性質，其中根據方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題，是解答本題的關鍵，體現了轉化和數形結合的數學思想，屬于中檔題．13.在的展開式中，常數項為

．參考答案：﹣5【考點】二項式定理的應用．【分析】的展開式中的通項公式：Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．的通項公式：Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．進而得出．【解答】解：的展開式中的通項公式：Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．∵的通項公式：Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．∴常數項=1﹣×+×1=﹣5．故答案為：﹣5．14.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎．有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”.四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是

．參考答案：丙試題分析：若甲是獲獎歌手，則四句全是假話，不合題意；若乙是獲獎歌手，則甲、乙、丁都是真話，丙說假話，不合題意；若丁是獲獎歌手，則甲、丁、丙都說假話，丙說真話，不合題意；當丙是獲獎歌手時，甲、丙說了真話，乙、丁說了假話，符合題意.故答案為丙.考點：合情推理.15.等比數列中，若公比，且前3項之和等于21，則該數列的通項公式

．參考答案：16.對任意的a、b、cR+，代數式的最小值為__________.

參考答案：17.矩陣中每一行都構成公比為2的等比數列，第列各元素之和為，則

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓E：（a＞b＞0）的離心率為，直線l：y=與橢圓E相交于A，B兩點，AB=2，C，D是橢圓E上異于A，B兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．（1）求a，b的值；（2）求證：直線MN的斜率為定值．參考答案：解：（1）因為e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故橢圓方程為+=1；由題意，不妨設點A在第一象限，點B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C（x0，y0），顯然k1≠k2；從而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直線AD的方程為y﹣1=k2（x﹣2），直線BC的方程為y+1=﹣（x+2）；由解得；從而點N的坐標為（，）；用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直線MN的斜率為定值﹣1；

…（14分）②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，﹣1）；仍然設DA的斜率為k2，由①知kDB=﹣；此時CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它們交點M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它們交點N（2﹣，﹣1），從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2；顯然k1≠k2；直線AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；設點C的坐標為（x1，y1），則2?x1=，從而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直線BC的方程為y+1=﹣（x+2）；又直線AD的方程為y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；從而點N的坐標為（，）；用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直線MN的斜率為定值﹣1；

…（14分）②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，﹣1）；仍然設DA的斜率為k2，則由①知kDB=﹣；此時CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它們交點M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它們交點N（2﹣，﹣1），從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1．

…（16分）考點：橢圓的簡單性質．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）根據橢圓的幾何性質，利用離心率e以及AB的長，求出a、b的值；（2）方法一：結合橢圓E的方程，求出A、B的坐標，討論：①CA，CB，DA，DB斜率都存在時，利用斜率的關系，寫出直線方程，與橢圓方程聯立，求出M、N的坐標，計算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，求出M、N的坐標，計算kMN的值；從而得出正確的結論．方法二：利用橢圓E的方程，求出A、B的坐標，討論：①CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設出直線的斜率，由直線與橢圓聯立，求出M、N點的坐標，計算kMN的值；②CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，求出M、N點的坐標，計算kMN的值，即可得出正確的結論．解答：解：（1）因為e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）故橢圓方程為+=1；由題意，不妨設點A在第一象限，點B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；故a=，b=；

…（5分）（2）方法一：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2，C（x0，y0），顯然k1≠k2；從而k1?kCB=?====﹣，所以kCB=﹣；

…（8分）同理kDB=﹣，于是直線AD的方程為y﹣1=k2（x﹣2），直線BC的方程為y+1=﹣（x+2）；由解得；從而點N的坐標為（，）；用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直線MN的斜率為定值﹣1；

…（14分）②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，﹣1）；仍然設DA的斜率為k2，由①知kDB=﹣；此時CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它們交點M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它們交點N（2﹣，﹣1），從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1；

…（16分）方法二：由（1）知，橢圓E的方程為+=1，從而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；①當CA，CB，DA，DB斜率都存在時，設直線CA，DA的斜率分別為k1，k2；顯然k1≠k2；直線AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；設點C的坐標為（x1，y1），則2?x1=，從而x1=；所以C（，）；又B（﹣2，﹣1），所以kBC==﹣；

…（8分）所以直線BC的方程為y+1=﹣（x+2）；又直線AD的方程為y﹣1=k2（x﹣2）；由解得；從而點N的坐標為（，）；用k2代k1，k1代k2得點M的坐標為（，）；…（11分）所以kMN===﹣1；即直線MN的斜率為定值﹣1；

…（14分）②當CA，CB，DA，DB中，有直線的斜率不存在時，根據題設要求，至多有一條直線斜率不存在，故不妨設直線CA的斜率不存在，從而C（2，﹣1）；仍然設DA的斜率為k2，則由①知kDB=﹣；此時CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它們交點M（2，﹣1﹣）；BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它們交點N（2﹣，﹣1），從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線MN的斜率為定值﹣1．

…（16分）點評：本題考查了橢圓的幾何性質的應用問題，也考查了直線與橢圓的綜合應用問題，考查了分類討論思想的應用問題，是較難的題目19.某企業參加項目生產的工人為人，平均每人每年創造利潤萬元.根據現實的需要，從項目中調出人參與項目的售后服務工作，每人每年可以創造利潤萬元（），項目余下的工人每人每年創造利潤需要提高（1）若要保證項目余下的工人創造的年總利潤不低于原來名工人創造的年總利潤，則最多調出

多少人參加項目從事售后服務工作？（2）在（1）的條件下，當從項目調出的人數不能超過總人數的時，才能使得項目中留崗工人創造的年總利潤始終不低于調出的工人所創造的年總利潤，求實數的取值范圍.參考答案：【測量目標】（1）分析問題與解決問題的能力/能通過建立數學模型，解決有關社會生活、生產實際或其他學科的問題，并能解釋其實際意義.（2）分析問題與解決問題的能力/能通過建立數學模型，解決有關社會生活、生產實際或其他學科的問題，并能解釋其實際意義.【知識內容】（1）函數與分析/指數函數與對數函數/函數的應用.（2）函數與分析/指數函數與對數函數/函數的應用.【參考答案】（1）根據題意可得，

……3分

展開并整理得，,

……5分解得，最多調出的人數為500人.

……6分

（2），解得,

……7分，對于任意的恒成立,

……9分

即,

即對于任意的恒成立.

……10分

當時，不等式顯然成立；當時，.

……11分

令函數，可知函數在區間上是單調遞減函數.

……12分故，故.

……13分故，所以實數的取值范圍是.

……14分20.（本小題滿分12分）

合肥市環?？傉緦?013年11月合肥市空氣質量指數發布如下趨勢圖：

（I）請根據以上趨勢圖，完成表1并根據表1畫出頻率分布直方圖，

（II）試根據頻率分布直方圖估計合肥市11月份AQI指數的平均值．參考答案：21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．設是實數，函數（）．（1）求證：函數不是奇函數；（2）當時，解關于的方程；（3）當時，求函數的值域（用表示）．參考答案：（1）假設是奇函數，那么對于一切，有，從而，即，但是，矛盾．所以不是奇函數．（也可用等證明）

………（4分）（2）因為，，所以當時，，……………（1分）由，得，即，，解得（舍去）或．

…………（4分）所以，當，即時，，原方程無解；…………（5分）當，即時，，原方程的解為．…（6分）（3）令，則，原函數變成．

……（1分）因為，故

………（2分）對于，有，當時，是關于的減函數，的取值范圍是；當時，，當時，的取值范圍是，當時，的取值范圍是．

…………（5分）

對于，有是關于的增函數，其取值范圍．

………