第三章剛體和流體的運動1第1頁，課件共68頁，創作于2023年2月本章的主要內容是研究剛體的轉動，尤其是定軸轉動。核心內容：剛體的轉動慣量定軸轉動的轉動定理

定軸轉動的功能原理定軸轉動的角動量守恒

這些內容同學們最不熟悉，請同學們先預習。2第2頁，課件共68頁，創作于2023年2月一.剛體——力學中物體的一種理想模型。剛體：運動中形狀和大小都保持不變的物體。實際問題中，當物體的形變很小可忽略時，就將物體視為剛體。(a)剛體上各質點之間的距離保持不變。(b)剛體有確定的形狀和大小。(c)剛體可看作是由許多質點(質元)組成的質點系。無論所受外力多大，不論轉動多快，剛體的形狀都始終保持不變。剛體的特征：§3-1剛體模型及其運動3第3頁，課件共68頁，創作于2023年2月二.剛體的平動和轉動如果剛體在運動中,剛體內任何兩點的連線在空間的指向始終保持平行,這樣的運動就稱為平動。在平動時,剛體內各質點的運動狀態完全相同,因此平動剛體可視為質點。通常是用剛體質心的運動來代表整個剛體的平動。比如：手捧一本書，圍繞某點轉一圈，書在平動還是轉動？4第4頁，課件共68頁，創作于2023年2月

剛體的一般運動比較復雜。但可以證明,剛體一般運動可看作是平動和轉動的結合。

如果剛體內的各個質點都繞同一直線(轉軸)作圓周運動,這種運動便稱為轉動。如果轉軸是固定不動的,就稱為定軸轉動。

剛體在作定軸轉動時,由于各質點到轉軸的距離不同,所以各質點的線速度、加速度一般是不同的。二.定軸轉動的描述

r圖3-1但由于各質點的相對位置保持不變,所以描述各質點運動的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。5第5頁，課件共68頁，創作于2023年2月

r圖3-1

1描述定軸轉動剛體的運動的角量角坐標：

角位移：

單位：rad角速度方向：與轉向成右手螺旋關系。6第6頁，課件共68頁，創作于2023年2月角加速度角加速度為角速度對時間t的一次導數，或為角坐標對時間t的二次導數。單位：弧度/秒2，rad/s2,s-2方向：角速度變化的方向。7第7頁，課件共68頁，創作于2023年2月

對于剛體轉動而言，可用角位移、角速度、角加速度來描寫，但對于剛體上的某一點來講是作曲線運動的，可用位移、速度、加速度來描寫。那么描寫平動的線量與描寫轉動的角量之間有什么關系呢？2線量與角量之間的關系剛體轉過剛體上的一點位移線位移和角位移的關系8第8頁，課件共68頁，創作于2023年2月速度與角速度之間的關系加速度與角加速度之間的關系

將質點的加速度可分解為切向加速度和法向加速度.將式兩邊同除9第9頁，課件共68頁，創作于2023年2月由若角加速度

=c(恒量)，則有10第10頁，課件共68頁，創作于2023年2月

例3－1一飛輪轉過角度和時間關系為式中a、b、c均為常量。求它的角加速度。解：飛輪角速度表達式角加速度是角速度對時間的導數表達式可見飛輪在作變速轉動。11第11頁，課件共68頁，創作于2023年2月決定這個系統在空間的位置所需要的獨立坐標的數目，叫做這個系統的自由度數。三.自由度意義：物體有幾個自由度，它的運動定律就可歸結為幾個獨立的方程式。例如：一個質點在三維空間自由運動時，決定其空間位置需三個獨立坐標，如直角坐標系的x，y，z，因此，自由質點的自由度為3，這三個自由度叫平動自由度．12第12頁，課件共68頁，創作于2023年2月對于自由剛體，它既有平動又有轉動，為了確定剛體的位置，我們可先確定剛體質心的位置，這需要三個平動自由度；然后取通過剛體質心的某一軸線作轉軸，為了確定該軸的空間取向，需要知道該轉軸與直角坐標系三個坐標軸之間的夾角α、β、γ，但α、β、γ之間存在關系式cos2α+cos2β+cos2γ=1，即α、β、γ三者中只有兩個是獨立的，因而，決定剛體轉軸所需自由度為2；最后，還需知道剛體繞轉軸轉過的角度φ，故自由剛體的轉動自由度為3，總自由度為6．問題：

定軸轉動剛體的自由度是多少？答案：113第13頁，課件共68頁，創作于2023年2月

§3-2力矩轉動慣量

定軸轉動定理一.力矩力的作用線通過轉軸或是平行于轉軸，無法使物體轉動。力的大小、方向和力的作用點相對于轉軸位置，是決定轉動效果的幾個重要因素。14第14頁，課件共68頁，創作于2023年2月力的大小與力臂乘積為力對轉軸的力矩。用M表示在轉動平面內不在轉動平面內只考慮垂直于轉軸的作用力15第15頁，課件共68頁，創作于2023年2月力矩有大小和方向,是矢量力矩矢量M可用矢徑r和力F的矢積表示。M方向垂至于r和F所構成平面。由右手螺旋法則確定。16第16頁，課件共68頁，創作于2023年2月對各質點求和，并注意到按質點角動量定理，有

設有一質點系,第i個質點的位矢為ri,外力為Fi,內力為,mi：得二定軸轉動定律17第17頁，課件共68頁，創作于2023年2月=M

質點系所受的合外力矩=L

質點系的總角動量于是得(3-2)式(3-2)的意義是:質點系所受的合外力矩等于質點系的總角動量對時間的變化率。這個結論叫質點系角動量定理。顯然它也適用于定軸轉動剛體這樣的質點系。18第18頁，課件共68頁，創作于2023年2月上式稱為物體定軸轉動方程。

對定軸轉動的剛體,J為常量,d

/dt=,故式(4-7)又可寫成

上式是一矢量式,它沿通過定點的固定軸z方向上的分量式為這就是剛體定軸轉動定律，它是剛體定軸轉動的動力學方程。

M=J

(3-5)(3-4)(3-3)(Lz=J

)19第19頁，課件共68頁，創作于2023年2月2當一定時，是剛體轉動慣性大小的量度注意：1改變剛體轉動狀態，產生角加速度的原因是力矩，而不是力！如果說：作用于剛體的力越大，則剛體的角加速度一定大，則錯。20第20頁，課件共68頁，創作于2023年2月2為瞬間作用規律。一旦，立刻，勻角速度轉動。3和，均對同一轉軸而言。4代表作用于剛體的合外力矩，特別強調：系統所受合外力為零，一對力偶產生的力矩不為零。

以上內容的學習要點：掌握剛體定軸轉動定律及用隔離體法求解(剛體+質點)系統問題的方法。21第21頁，課件共68頁，創作于2023年2月質量m—物體平動慣性大小的量度。轉動慣量J—物體轉動慣性大小的量度。

三

轉動慣量

動量:p=m

角動量:L=J

1.轉動慣量的物理意義22第22頁，課件共68頁，創作于2023年2月J=

Δmiri2

(3-6)即：剛體的轉動慣量等于剛體上各質點的質量乘以它到轉軸距離的平方的總和。(2)質量連續分布剛體

(3-7)式中:r為剛體上的質元dm到轉軸的距離。(1)質量離散分布剛體2.轉動慣量的計算23第23頁，課件共68頁，創作于2023年2月

3.平行軸定理Jo=Jc+Md2

(3-8)Jc

通過剛體質心的軸的轉動慣量;M

剛體系統的總質量;d

兩平行軸(o,c)間的距離。JoJcdCMo圖3-224第24頁，課件共68頁，創作于2023年2月o

通過o點且垂直于三角形平面的軸的轉動慣量為

JO=

(1)正三角形的各頂點處有一質點m，用質量不計的細桿連接,如圖3-3。系統對通過質心C且垂直于三角形平面的軸的轉動慣量為3+ml2=2ml2=ml2+(3m)r2=2ml2例題3-2質量離散分布剛體:J=

Δmiri2ml2lll·cr圖3-3mmm25第25頁，課件共68頁，創作于2023年2月

(2)用質量不計的細桿連接的五個質點,如圖3-4所示。轉軸垂直于質點所在平面且通過o點,轉動慣量為JO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll圖3-426第26頁，課件共68頁，創作于2023年2月記住！

(1)質量為m、長度為l的細直棒，可繞通過質心C且垂直于棒的中心軸轉動，求轉動慣量。例題3-3質量連續分布剛體:

若棒繞一端o轉動，由平行軸定理，則轉動慣量為

圖3-5Cdxdmxxo解方法：將細棒分為若干微元dm=(m/l)dx,然后積分得o27第27頁，課件共68頁，創作于2023年2月R

(3)均質圓盤(m,R)繞中心軸轉動時，可將圓盤劃分為若干個半徑r、寬dr的圓環積分：

(2)均質細圓環(m,R)繞中心軸轉動時，其轉動慣量為

dm圖3-6rdr28第28頁，課件共68頁，創作于2023年2月確定轉動慣量的三個要素:(1)與剛體總質量有關。總質量越大，剛體轉動慣量越大。(2)與質量分布有關。剛體上質量分布離軸越遠，轉動慣量越大。(3)與轉軸的位置有關。29第29頁，課件共68頁，創作于2023年2月

解由M=J

,=o+

t有外力矩時,

例題3-4以20N.m的恒力矩作用在有固定軸的轉輪上，在10s內該輪的轉速均勻地由零增大到100rev/min。此時撤去該力矩,轉輪經100s而停止。試推算此轉輪對該軸的轉動慣量。撤去外力矩時,-Mr=J

2,

2=/t2(2)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得

J=17.3kg.m2。20=J

1，

1=/t1(因o=0)20-Mr=J

1，

1=/t1(因o=0)(1)30第30頁，課件共68頁，創作于2023年2月

解

對柱體,由轉動定律M=J

有

mg.R=J

這式子對嗎？錯！此時繩中張力Tmg。正確的解法是用隔離體法。

例題3-5質量為M、半徑為R的勻質柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉動；柱體邊緣繞有一根不能伸長的細繩，繩子下端掛一質量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。mg

T圖3-7mMR

對m:mg-T=ma對柱：TR=J

a=R解得

=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。31第31頁，課件共68頁，創作于2023年2月

m:

mg-T2=maa=R

1=r

2,

2=2ah求解聯立方程，代入數據，可得

=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R2

1

m2:T2r-T1r=m2r2

2例題3-6兩勻質圓盤可繞水平光滑軸轉動，質量m1=24kg，m2=5kg。一輕繩纏繞于盤m1上，另一端通過盤m2后掛有m=10kg的物體。求物體m由靜止開始下落h=0.5m時，物體m的速度及繩中的張力。

解各物體受力情況如圖所示。T1T1圖3-8m1R

1m2

2rT2mgm32第32頁，課件共68頁，創作于2023年2月小結:若一個系統的運動包含物體平動和剛體的轉動處理辦法：對平動的物體，分析受力，按照列方程。對轉動的剛體，分析力矩，按照列方程。補加轉動與平動的關聯方程聯立求解各方程。33第33頁，課件共68頁，創作于2023年2月

例題3-7勻質圓盤：質量m、半徑R，以

o的角速度轉動。現將盤置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數為μ，求圓盤經多少時間、轉幾圈將停下來？

解將圓盤分為無限多個半徑為r、寬為dr的圓環，用積分計算出摩擦力矩。

o圖3-9水平桌面rdr34第34頁，課件共68頁，創作于2023年2月于是得由=

o+t=0得

又由

2-o2=2，所以停下來前轉過的圈數為

o圖3-9水平桌面rdr35第35頁，課件共68頁，創作于2023年2月§3-3定軸轉動中的功能關系(3-10)力矩的功率是一力矩的功(3-11)ZF圖3-10dsd

op

r即：力矩的元功等于力矩M和角位移d

的乘積。

設物體在力F作用下，繞定軸oz轉動，則力F的元功是

dA=Fdscos(90o-)=Frsind

=Md

(3-9)36第36頁，課件共68頁，創作于2023年2月剛體的轉動動能為剛體的轉動動能

=剛體上各質點動能之和。

設剛體繞一定軸以角速度

轉動，第i個質點

Δmi到轉軸的距離為ri,

Δmi的線速度

i=ri

,(各質點的角速度

相同)；

相應的動能質點的平動動能為對比！(3-12)二.剛體的轉動動能37第37頁，課件共68頁，創作于2023年2月

上式說明：合外力矩的功等于剛體轉動動能的增量。這便是定軸轉動的動能定理。

(3-13)三定軸轉動的動能定理對比:質點動能定理：（J=恒量）38第38頁，課件共68頁，創作于2023年2月剛體受到保守力作用，可引入勢能概念。重力場中剛體就具有一定重力勢能。根據質心定義，該剛體質心高度為重力勢能可以表示為四剛體的重力勢能(3-14)39第39頁，課件共68頁，創作于2023年2月

一個包括有剛體在內的系統,如果只有保守內力作功,則這系統的機械能也同樣守恒。(3-15)式中,hc為剛體質心到零勢面的高度。

五機械能守恒定律在剛體系統中的應用在計算剛體的重力勢能時，可將它的全部質量集中在質心。剛體的機械能為40第40頁，課件共68頁，創作于2023年2月例題3-8均勻細直棒：質量m、長為l，可繞水平光滑固定軸o轉動。開始時，棒靜止在豎直位置，求棒轉到與水平面成

角時的角速度和角加速度。

Chco圖3-11

解

棒在轉動的過程中，只有保守力(重力)作功，故機械能守恒。取水平面為零勢面，于是有由上得41第41頁，課件共68頁，創作于2023年2月

討論：本題也可先由M=J

求出，再用=d/dt積分求出

。

Chco圖3-11角加速度：42第42頁，課件共68頁，創作于2023年2月

例題3-9如圖3-12所示，有一由彈簧、勻質滑輪和重物M組成的系統，該系統在彈簧為原長時被靜止釋放。運動過程中繩與滑輪間無滑動。求:(1)重物M下落h時的速度；(2)彈簧的最大伸長量。

，

=

r

解

(1)系統機械能守恒：h零勢面mrMk圖3-1243第43頁，課件共68頁，創作于2023年2月h零勢面mrMk圖3-12(2)求彈簧的最大伸長量。

令

=0，得彈簧的最大伸長量為：

hmax=2Mg/k。44第44頁，課件共68頁，創作于2023年2月一.剛體的角動量

剛體的角動量=剛體上各個質點的角動量之和。

圖3-13Z

L

mi

irio式中:

J=

Δmiri2稱為剛體對z軸的轉動慣量。

Li=Δmi

iri=Δmiri2

剛體對z軸的角動量就是

Lz=(

Δmiri2)

設剛體以角速度

繞固定軸z轉動(見圖3-13),質量為Δmi的質點對o點的角動量為

=J

§3-4定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律

45第45頁，課件共68頁，創作于2023年2月問題：為何動量的概念對剛體已失去意義？P=0圖3-13Z

L

mi

irio剛體對z軸的角動量：Lz=J

(3-16)顯然，剛體的角動量的方向與角速度

的方向相同，沿z軸方向(見圖3-13),故也稱為剛體對固定軸z的角動量。46第46頁，課件共68頁，創作于2023年2月(3-17)

上式的物理意義是：合外力矩的沖量(沖量矩)等于物體角動量的增量。這就是定軸轉動剛體的角動量定理。由定軸轉動方程:若物體所受的合外力矩為零(即Ｍ＝0)時，則

J

=常量

(3-18)這表明：當合外力矩為零時，物體的角動量將保持不變，這就是定軸轉動的角動量守恒定律。

二

定軸轉動剛體的角動量定理47第47頁，課件共68頁，創作于2023年2月

當系統所受的合外力力矩為零時，系統的總角動量的矢量和就保持不變。

對比：

系統角動量守恒是：

系統動量守恒是：

在日常生活中,利用角動量守恒的例子也是很多的。

系統角動量守恒定律：時,時,

(3-19)

三

定軸轉動剛體的角動量守恒定律

48第48頁，課件共68頁，創作于2023年2月圖3-1449第49頁，課件共68頁，創作于2023年2月

角動量守恒在現代技術中有著非常廣泛的應用。例如直升飛機在未發動前總角動量為零,發動以后旋翼在水平面內高速旋轉必然引起機身的反向旋轉。為了避免這種情況,人們在機尾上安裝一個在豎直平面旋轉的尾翼,由此產生水平面內的推動力來阻礙機身的旋轉運動。與此類似,魚雷尾部采用左右兩個沿相反方向轉動的螺旋漿來推動魚雷前進,也是為了避免魚雷前進中的自旋。安裝在輪船、飛機、導彈或宇宙飛船上的回轉儀(也叫“陀螺”)的導航作用，也是角動量守恒應用的最好例證。

以上內容的學習要點：掌握角動量守恒的條件及用角動量守恒定律求解問題的方法。50第50頁，課件共68頁，創作于2023年2月

例題3-10一勻質細棒：長度為l、質量為m，可繞水平光滑固定軸o轉動。棒自水平位置靜止擺下，在豎直位置處與物體m相碰，碰后物體沿地面滑行距離S后停止，設物體與地面間的摩擦系數為

，求剛碰后棒的角速度。

解

(1)棒的轉動，機械能守恒：圖3-15om(2)碰撞過程，角動量守恒：51第51頁，課件共68頁，創作于2023年2月(3)物體的滑行，由功能原理：解得討論：當l>6S時，

>0,表示碰后棒向右擺；當l<6S時，

<0,表示碰后棒向左擺。圖3-15om52第52頁，課件共68頁，創作于2023年2月

解(1)桿+子彈：豎直位置，外力(軸o處的力和重力)均不產生力矩，故碰撞過程中角動量守恒：

解得

例題3-11勻質桿：長為l、質量M，可繞水平光滑固定軸o轉動，開始時桿豎直下垂。質量為m的子彈以水平速度

o射入桿上的A點，并嵌在桿中，oA=2l/3,求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度;(2)桿能轉過的最大角度

。m

ooA圖3-16

53第53頁，課件共68頁，創作于2023年2月由此得：(2)桿在轉動過程中顯然機械能守恒：m

ooA圖3-16

由前

轉動動能零勢面

平動動能54第54頁，課件共68頁，創作于2023年2月

解

(1)碰撞過程角動量守恒:

例題3-12長為2L、質量為m的勻質細桿，靜止在粗糙的水平桌面上，桿與桌面間的摩擦系數為μ。兩個質量、速率均為m和

的小球在水平面內與桿的兩端同時發生完全非彈性碰撞(設碰撞時間極短),如圖3-17所示。求:(1)兩小球與桿剛碰后，這一系統的角速度為多少？(2)桿經多少時間停止轉動？(不計兩小球的質量）圖3-17m

m.o55第55頁，課件共68頁，創作于2023年2月解得

(2)摩擦力矩為由=o+t得：圖3-17m

m.odmdxfr.xo56第56頁，課件共68頁，創作于2023年2月

例題3-13勻質園盤(M、R)與人(m,視為質點)一起以角速度

o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉動，如圖3-18所示。當此人從盤的邊緣走到盤心時，圓盤的角速度是多少？

解(1)系統(圓盤+人)什么量守恒？系統角動量守恒：

o圖3-1857第57頁，課件共68頁，創作于2023年2月例題3-14兩個同樣的子彈對稱地同時射入轉盤中，則盤的角速度將。(填：增大、減小或不變)減小.o

o圖3-19m

m

rrJ

o=(J+2mr2)58第58頁，課件共68頁，創作于2023年2月

解(1)系統(圓盤+人)什么量守恒？