2022-2023學年江西省樂安縣高一下學期6月期末數學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡集合，再結合集合的交集運算法則進行計算即可.【詳解】由題意得，，，所以故選：B2．下列各式計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據分數指數冪的運算性質即可求解.【詳解】對于A，，A對；對于B，，B錯；對于C，，C錯；對于D，，D錯.故選：A3．若a，，i是虛數單位，且，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據復數相等的充要條件列出方程，求解即可得出答案.【詳解】根據復數相等的充要條件可得，解得，所以，.故選：D.4．已知的斜二測畫法的直觀圖為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據直觀圖和原圖的面積關系，即可求解.【詳解】由條件可知，，由,解得.故選:C.5．已知點在的內部，分別為邊的中點，且，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用向量的加減法的幾何表示運算即可.【詳解】由題意得，所以．故選：B.6．如圖，四面體中，，，E，F分別是的中點，若，則與所成的角的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據已知，結合圖形，利用中位線，把異面直線所成角的問題轉化為三角形的夾角，根據等角定理以及三角形的性質求解.【詳解】

如圖，取中點，連接、，因為E，F分別是的中點，所以，，又，，所以，，因為，所以，所以在中，，所以，因為，根據等角定理可知，與所成的角的大小是，故B，C，D錯誤.故選：A.7．在三棱錐中，△ABD和△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A．π B．π C．π D．π【答案】D【分析】由幾何法可得二面角平面角為，根據外接球的幾何特征可知過，分別作兩個半平面的垂線，交于，可得為三棱錐的外接球的球心，且可得，由等邊三角形的邊長為2，可得，及的值，進而求出外接球的半徑的值，再求出外接球的表面積．【詳解】如圖，取中點，連接，，因為△ABD和△CBD均為邊長為2的等邊三角形，所以，，則為二面角的平面角，即，設△ABD和△CBD外接圓圓心分別為，，則由，可得，，分別過作平面，平面的垂線，則三棱錐的外接球球心一定是兩條垂線的交點，記為，連接，，則由可得，所以，則，則三棱錐外接球的表面積，故選：D

8．趙爽是我國古代著名的數學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”．亦稱“趙爽弦圖”．如圖1，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，若圖2中，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】在中利用兩角差的正弦公式求出，由正弦定理求出，再由余弦定理求出，最后由面積公式計算可得.【詳解】在中，，而，所以，，由正弦定理得，，即，解得，所以，在中由余弦定理，即，所以，，所以.故選：C二、多選題9．設為直線，，是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】ACD【分析】由空間線面關系，面面關系相關知識判斷各選項正誤即可.【詳解】設為直線，，是兩個不同的平面.對于，若，，則與相交或平行，故錯誤；對于，若，，則，故正確；對于，若，，則與相交，故錯誤；對于，若，，則與相交?平行或，故錯誤.故選：.10．已知向量，則（

）A．若，則 B．的最小值為C．可能成立 D．的最大值為3【答案】BC【分析】根據向量的數量積公式即可判斷選項A、B；當時，則有判斷選項C；將轉化為三角函數的最值問題即可求解，判斷選項D.【詳解】對于A，若，則．又，故A錯誤；．對于B，，又，當時，，，故B正確；對于C，由選項B可知，當時，，則，故C正確；對于D，，當時，，，故D錯誤.故選：BC．11．如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，，則下列結論正確的是（

）

A．B．直線CB與直線PD所成角為C．直線平面D．直線PD與平面所成的角為【答案】BCD【分析】根據線面垂直的判定可判斷A；根據平移法可求得直線CB與直線PD所成角判斷B；根據線面平行的判定可判定C；根據線面角的定義求得直線PD與平面所成的角判斷D.【詳解】對于A，假設，因為平面ABC，平面ABC，故，而平面，故平面，平面，故，這與正六邊形中，不垂直相矛盾，故A錯誤；對于B，正六邊形中，,故直線AD與直線PD所成角即為直線CB與直線PD所成角或其補角，在中，，則,即直線CB與直線PD所成角為，B正確；對于C，因為，平面,平面，故直線平面，C正確；對于D，因為平面，故即為直線PD與平面所成的角，由C可知，故D正確，故選：BCD12．景德鎮號稱“千年瓷都”，因陶瓷而享譽全世界.景德鎮陶瓷以白瓷著稱，而白瓷素有“白如玉，明如鏡，薄如紙，聲如磐”的美譽，如圖，某陶瓷展覽會舉辦方計劃在長方形空地上舉辦陶瓷展覽會，已知，，E為邊的中點.G，F分別為邊，上的動點，，舉辦方計劃將區域作為白瓷展覽區，則白瓷展覽區的面積可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設，則，由，，得到，再得到，，由求解.【詳解】解：設，則，由，，得，易得，，則，，由，得，得，則.因為，，所以白瓷展覽區的面積可能是，.故選：BC三、填空題13．已知正實數a，b滿足則ab的最大值為.【答案】5【分析】由已知結合基本不等式即可直接求解．【詳解】因為正實數，滿足，當且僅當，即，時取等號，解得，則的最大值5．故答案為：5．14．拋擲一顆質地均勻的正方體骰子，得點數的概率是.【答案】【分析】根據古典概型的公式計算即可.【詳解】由題意，丟一次質地均勻的正方體骰子，有種實驗結果，即點數為，根據古典概型的計算公式，投到點數的概率為.故答案為：15．在中，，且，則．【答案】【分析】根據平面向量的線性運算求解即可.【詳解】，，即，，．故答案為：.16．如圖，已知直線，為、之間的定點，并且到、的距離分別為和，點、分別是直線、上的動點，使得.過點作直線，交于點，交于點，設，則的面積最小值為.

【答案】【分析】計算得出，，利用二倍角的正弦公式以及正弦函數的有界性可求得的最小值.【詳解】因為直線，為、之間的定點，并且到、的距離分別為和，過點作直線，交于點，交于點，則，，且，又因為，則，故，且，在中，，則，在中，，則，所以，，因為，則，故當時，即當時，取最小值，且最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知向量，滿足，，且.(1)若，求實數的值；(2)求與的夾角的余弦值.【答案】(1)(2)0【分析】（1）利用數量積的運算律及向量垂直的充要條件即可求解；（2）利用數量積的夾角公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，即，解得，若，則，即，即，解得.（2）因為，所以，即與的夾角的余弦值為0.18．已知復數滿足為純虛數．(1)求；(2)若復數在復平面內對應的點位于第三象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡，利用是純虛數求出的值，得出復數的表達式，即可求出的值；（2）化簡復數，利用點在第三象限，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意，在復數中，，∵為純虛數，∴，解得．∴，（2）由題意及（1）得，，在中，，∵復數在復平面內對應的點位于第三象限，∴，解得，∴的取值范圍是．19．近年來，我國科技成果斐然，北斗三號全球衛星導航系統已開通多年，北斗三號全球衛星導航系統由24顆中圓地球軌道衛星、3顆地球靜止軌道衛星和3顆傾斜地球同步軌道衛星，共30顆衛星組成．北斗三號全球衛星導航系統全球范圍定位優于，實測的導航定位精度都是2~3m，全球服務可用性，亞太地區性能更優．現從地球靜止軌道衛星和傾斜地球同步軌道衛星中任選兩顆進行信號分析．(1)求恰好選擇了地球靜止軌道衛星和傾斜地球同步軌道衛星各一顆的概率；(2)求至少選擇了一顆傾斜地球同步軌道衛星的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先分別給地球靜止軌道衛星和傾斜地球同步軌道衛星編號，列舉所有可能的情況，以及滿足條件的方法種數，利用古典概型，即可求解；（2）根據（1）列舉的結果，利用古典概型，即可求解.【詳解】（1）記地球靜止軌道衛星為：，記傾斜地球同步軌道衛星為，則所有的選擇為：記恰好選擇了地球靜止軌道衛星和傾斜地球同步軌道衛星各一顆為事件，則包含，所以；（2）記至少選擇一顆傾斜地球同步軌道衛星為事件，則包含．所以．20．已知函數.(1)求的單調遞增區間；(2)設，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，根據正弦函數的性質求得答案；（2）根據求得，結合，求得，再利用誘導公式求得答案.【詳解】（1）∵，∴，所以的遞增區間為.（2）由，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，于是.21．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為，已知.(1)求A；(2)設，當的值最大時，求△ABC的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換分析運算；（2）利用正弦定理邊化角，結合三角恒等變換化簡得，進而分析最值，運算求解即可.【詳解】（1）因為，即，可得，整理得，且，則，可得，且，則，所以，解得.（2）由正弦定理可知:，則，可得，其中，當時，取得最大值，此時，則，，所以.22．如圖，在三棱錐中，，點在平面內，點Q在AB上，且滿足.

(1)過Q作AB的垂面，分別交BC于E，交BD于F，過B作交CD于點M，證明：；(2)當PQ與平面所成最大角的正切值是時，求此時PQ與平面所成角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明平面后即可得證線線垂直；（2）先由線面垂直確定，再利用線面角確定PQ與平面BCD所成最大時，是與的交點，再由線面垂直得出直線在平面內的射影是直線，即是直線與平面所成的角，然后設，求出后可得結論．【詳解】