專題30函數與幾何綜合問題一．解答題（共30小題）1．（2020?揚州）如圖，已知點A（1，2）、B（5，n）（n＞0），點P為線段AB上的一個動點，反比例函數y=kx（x＞0）的圖象經過點P．小明說：“點P從點A運動至點B的過程中，k值逐漸增大，當點P在點A位置時k值最小，在點B位置時k（1）當n＝1時．①求線段AB所在直線的函數表達式．②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請說明理由；若不完全同意，也請說明理由，并求出正確的k的最小值和最大值．（2）若小明的說法完全正確，求n的取值范圍．【分析】（1）①把n＝1代入確定出B的坐標，利用待定系數法求出線段AB所在直線的解析式即可；②若n＝1，完全同意小明的說法，求出正確k的最大值與最小值即可；（2）若小明的說法完全正確，把A與B坐標代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可確定出n的范圍．【解析】（1）①當n＝1時，B（5，1），設線段AB所在直線的函數表達式為y＝kx+b，把A（1，2）和B（5，1）代入得：k+b=25k+b=1解得：k=?1則線段AB所在直線的函數表達式為y=?14x②不完全同意小明的說法，理由為：k＝xy＝x（?14x+94）=?14（∵1≤x≤5，∴當x＝1時，kmin＝2；當x=92時，kmax則不完全同意；（2）當n＝2時，A（1，2），B（5，2），符合；當n≠2時，y=n?24xk＝x（n?24x+10?n4）=n?24（x先增大當x取92時，k為8116，為最大，到即在直線上A到x=9當92＜x≤5時，當n＜2時，k隨x的增大而增大，則有n?102n?4此時109≤當n＞2時，k隨x的增大而增大，則有n?102n?4此時n＞2，綜上，n≥102．（2020?泰州）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為BC邊上的動點（與B、C不重合），PD∥AB，交AC于點D，連接AP，設CP＝x，△ADP的面積為S．（1）用含x的代數式表示AD的長；（2）求S與x的函數表達式，并求當S隨x增大而減小時x的取值范圍．【分析】（1）由平行線分線段成比例定理，用x表示CD，進而求得結果；（2）根據三角形的面積公式列出函數解析式，再根據函數性質求出S隨x增大而減小時x的取值范圍．【解析】（1）∵PD∥AB，∴CPCB∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，∴x4∴CD=3∴AD＝AC﹣CD＝3?3即AD=?3（2）根據題意得，S=1∴當x≥2時，S隨x的增大而減小，∵0＜x＜4，∴當S隨x增大而減小時x的取值范圍為2≤x＜4．3．（2020?濱州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?12x﹣1與直線y＝﹣2x+2相交于點P，并分別與x軸相交于點A、（1）求交點P的坐標；（2）求△PAB的面積；（3）請把圖象中直線y＝﹣2x+2在直線y=?12x﹣1上方的部分描黑加粗，并寫出此時自變量【分析】（1）解析式聯立，解方程組即可求得交點P的坐標；（2）求得A、B的坐標，然后根據三角形面積公式求得即可；（3）根據圖象求得即可．【解析】（1）由y=?12x?1∴P（2，﹣2）；（2）直線y=?12x﹣1與直線y＝﹣2x+2中，令y＝0，則?12x﹣1＝0與解得x＝﹣2與x＝1，∴A（﹣2，0），B（1，0），∴AB＝3，∴S△PAB=1（3）如圖所示：自變量x的取值范圍是x＜2．4．（2020?襄陽）如圖，反比例函數y1=mx（x＞0）和一次函數y2＝kx+b的圖象都經過點A（1，4）和點B（（1）m＝4，n＝2；（2）求一次函數的解析式，并直接寫出y1＜y2時x的取值范圍；（3）若點P是反比例函數y1=mx（x＞0）的圖象上一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，則△POM的面積為【分析】（1）把A的坐標代入反比例函數的解析式求出m，得出反比例函數的解析式，把B的坐標代入反比例函數的解析式，能求出n，即可得出B的坐標；（2）分別把A、B的坐標代入一次函數的解析式得出方程組，求出方程組的解，即可得出一次函數的解析式；根據圖象求得y1＜y2時x的取值范圍；（3）根據反比例函數系數k的幾何意義即可求得．【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1=mx（x＞0）得：m＝1∴y=4∵把B（n，2）代入y=4x得：2解得n＝2；故答案為4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：k+b=42k+b=2解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函數的解析式是y＝﹣2x+6．由圖象可知：y1＜y2時x的取值范圍是1＜x＜2；（3）∵點P是反比例函數y1=mx（x＞0）的圖象上一點，過點P作PM⊥x軸，垂足為∴S△POM=12|m|故答案為2．5．（2020?連云港）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=mx（x＞0）的圖象經過點A（4，32），點B在y軸的負半軸上，AB交x軸于點C，C（1）m＝6，點C的坐標為（2，0）；（2）若點D為線段AB上的一個動點，過點D作DE∥y軸，交反比例函數圖象于點E，求△ODE面積的最大值．【分析】（1）根據待定系數法即可求得m的值，根據A點的坐標即可求得C的坐標；（2）根據待定系數法求得直線AB的解析式，設出D、E的坐標，然后根據三角形面積公式得到S△ODE=?38（x﹣1）2【解析】（1）∵反比例函數y=mx（x＞0）的圖象經過點A（4，∴m=4×3∵AB交x軸于點C，C為線段AB的中點．∴C（2，0）；故答案為6，（2，0）；（2）設直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=32∴直線AB的解析式為y=34x∵點D為線段AB上的一個動點，∴設D（x，34x?32）（0＜∵DE∥y軸，∴E（x，6x∴S△ODE=12x?（6x?34x+32）=?38x2+∴當x＝1時，△ODE的面積的最大值為2786．（2020?遂寧）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（1，0），連結AB，以AB為邊在第一象限內作正方形ABCD，直線BD交雙曲線y═kx（k≠0）于D、E兩點，連結CE，交x軸于點F（1）求雙曲線y=kx（k≠0）和直線（2）求△DEC的面積．【分析】（1）作DM⊥y軸于M，通過證得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐標，然后根據待定系數法即可求得雙曲線y=kx（k≠0）和直線（2）解析式聯立求得E的坐標，然后根據勾股定理求得DE和DB，進而求得CN的長，即可根據三角形面積公式求得△DEC的面積．【解析】∵點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（1，0），∴OA＝2，OB＝1，作DM⊥y軸于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠OAB+∠DAM＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAM＝∠ABO，在△AOB和△DMA中∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°∴△AOB≌△DMA（AAS），∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，∴D（2，3），∵雙曲線y═kx（k≠0）經過D∴k＝2×3＝6，∴雙曲線為y=6設直線DE的解析式為y＝mx+n，把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3∴直線DE的解析式為y＝3x﹣3；（2）連接AC，交BD于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，AC＝BD，解y=3x?3y=6x得x=2∴E（﹣1，﹣6），∵B（1，0），D（2，3），∴DE=(2+1)2+(3+6)2∴CN=12BD∴S△DEC=12DE?CN7．（2020?牡丹江）如圖，已知直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B，線段OA的長是方程x2﹣7x﹣18＝0的一個根，OB=12（1）求點A，B的坐標；（2）直線EF交x軸負半軸于點E，交y軸正半軸于點F，交直線AB于點C．若C是EF的中點，OE＝6，反比例函數y=kx圖象的一支經過點C，求（3）在（2）的條件下，過點C作CD⊥OE，垂足為D，點M在直線AB上，點N在直線CD上．坐標平面內是否存在點P，使以D，M，N，P為頂點的四邊形是正方形？若存在，請寫出點P的個數，并直接寫出其中兩個點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）解一元二次方程，得到點A的坐標，再根據OB=12OA可得點（2）利用待定系數法求出直線AB的表達式，根據點C是EF的中點，得到點C橫坐標，代入可得點C坐標，根據點C在反比例函數圖象上求出k值；（3）畫出圖形，可得點P共有5個位置，分別求解即可．【解析】（1）∵線段的長是方程的一個根，解得：x＝9或﹣2（舍），而點A在x軸正半軸，∴A（9，0），∵OB=12∴B（0，92（2）∵OE＝6，∴E（﹣6，0），設直線AB的表達式為y＝kx+b，將點A和B的坐標代入，得：0=9k+b92=b∴AB的表達式為：y=?1∵點C是EF的中點，∴點C的橫坐標為﹣3，代入AB中，y＝6，則C（﹣3，6），∵反比例函數y=kx經過點則k＝﹣3×6＝﹣18；（3）存在點P，使以D，M，N，P為頂點的四邊形是正方形，如圖，共有5種情況，在四邊形DM1P1N1中，M1和點A重合，∴M1（9，0），此時P1（9，12）；在四邊形DP3BN3中，點B和M重合，可知M在直線y＝x+3上，聯立：y=x+3y=?解得：x=1y=4∴M（1，4），∴P3（1，0），同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．故存在點P使以D，M，N，P為頂點的四邊形是正方形，點P的坐標為P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．8．（2020?廣元）如圖所示，一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數y=mx的圖象交于A（3，4），B（n，（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）在x軸上存在一點C，使△AOC為等腰三角形，求此時點C的坐標；（3）根據圖象直接寫出使一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍．【分析】（1）先把A點坐標代入反比例函數解析式求得反比例函數的解析，再把B點坐標代入所求得的反比例函數的解析式，求得B點坐標，最后用待定系數法求出一次函數的解析式便可；（2）分三種情況：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分別求解即可；（3）根據圖象得出一次函數圖象在反比例函數圖象上方時x的取值范圍即可．【解析】（1）把A（3，4）代入y=m∴m＝12，∴反比例函數是y=12把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分別代入y＝kx+b中，得3k+b=4?12k+b=?1解得k=1∴一次函數的解析式為y=1（2）∵A（3，4），∴OA=3∵△AOC為等腰三角形，分三種情況：①當OA＝OC時，OC＝5，此時點C的坐標為（5，0），（﹣5，0）；②當AO＝AC時，∵A（3，4），點C和點O關于過A點且垂直于x軸的直線對稱，此時點C的坐標為（6，0）；③當CA＝CO時，點C在線段OA的垂直平分線上，過A作AD⊥x軸，垂足為D，由題意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，設OC＝x，則AC＝x，在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，解得：x=25此時點C的坐標為(25綜上：點C的坐標為：（6，0），（5，0），(256，0)（3）由圖得：當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時，﹣12＜x＜0或x＞3，即使一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍是：﹣12＜x＜0或x＞3．9．（2020?常州）如圖，正比例函數y＝kx的圖象與反比例函數y=8x（x＞0）的圖象交于點A（a，4）．點B為x軸正半軸上一點，過B作x軸的垂線交反比例函數的圖象于點C，交正比例函數的圖象于點（1）求a的值及正比例函數y＝kx的表達式；（2）若BD＝10，求△ACD的面積．【分析】（1）把把點A（a，4）代入反比例函數關系式可求出a的值，確定點A的坐標，進而求出正比例函數的關系式；（2）根據BD＝10，求出點B的橫坐標，求出OB，代入求出BC，根據三角形的面積公式進行計算即可．【解析】（1）把點A（a，4）代入反比例函數y=8x（a=8∴點A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函數的關系式為y＝2x，答：a＝2，正比例函數的關系式為y＝2x；（2）當BD＝10＝y時，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，當x＝5代入y=8x得，y=85∴CD＝BD﹣BC＝10?8∴S△ACD=12×10．（2020?荊州）九年級某數學興趣小組在學習了反比例函數的圖象與性質后，進一步研究了函數y=2（1）繪制函數圖象，如圖1．列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝1；x…﹣3﹣2﹣1?112123…y…2312442m23…描點：根據表中各組對應值（x，y），在平面直角坐標系中描出了各點；連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象．請你把圖象補充完整；（2）通過觀察圖1，寫出該函數的兩條性質；①函數的圖象關于y軸對稱；②當x＜0時，y隨x的增大而增大，當x＞0時，y隨x的增大而減小；（3）①觀察發現：如圖2．若直線y＝2交函數y=2|x|的圖象于A，B兩點，連接OA，過點B作BC∥OA交x軸于C．則S四邊形OABC＝②探究思考：將①中“直線y＝2”改為“直線y＝a（a＞0）”，其他條件不變，則S四邊形OABC＝4；③類比猜想：若直線y＝a（a＞0）交函數y=k|x|（k＞0）的圖象于A，B兩點，連接OA，過點B作BC∥OA交x軸于C，則S四邊形OABC＝2k【分析】（1）根據表格中的數據的變化規律得出當x＜0時，xy＝﹣2，而當x＞0時，xy＝2，求出m的值；補全圖象；（2）根據（1）中的圖象，得出兩條圖象的性質；（3）由圖象的對稱性，和四邊形的面積與k的關系，得出答案．【解析】（1）當x＜0時，xy＝﹣2，而當x＞0時，xy＝2，∴m＝1，故答案為：1；補全圖象如圖所示：（2）故答案為：①函數的圖象關于y軸對稱，②當x＜0時，y隨x的增大而增大，當x＞0時，y隨x的增大而減小；（3）如圖，①由A，B兩點關于y軸對稱，由題意可得四邊形OABC是平行四邊形，且S四邊形OABC＝4S△OAM＝4×12|k|＝2|②同①可知：S四邊形OABC＝2|k|＝4，③S四邊形OABC＝2|k|＝2k，故答案為：4，4，2k．11．（2020?攀枝花）如圖，過直線y＝kx+12上一點P作PD⊥x軸于點D，線段PD交函數y=mx（x＞0）的圖象于點C，點C為線段PD的中點，點C關于直線y＝（1）求k、m的值；（2）求直線y＝kx+12與函數y=m（3）直接寫出不等式mx＞kx+1【分析】（1）根據點C′在反比例函數圖象上求出m值，利用對稱性求出點C的坐標，從而得出點P坐標，代入一次函數表達式求出k值；（2）將兩個函數表達式聯立，得到一元二次方程，求解即可；（3）根據（2）中交點坐標，結合圖象得出結果．【解析】（1）∵C′的坐標為（1，3），代入y=mx（得：m＝1×3＝3，∵C和C′關于直線y＝x對稱，∴點C的坐標為（3，1），∵點C為PD中點，∴點P（3，2），將點P代入y＝kx+1∴解得：k=1∴k和m的值分別為：3，12（2）聯立：y=12x+12y=3解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍），∴直線y＝kx+12與函數y=mx（（3）∵兩個函數的交點為：（2，32由圖象可知：當0＜x＜2時，反比例函數圖象在一次函數圖象上面，∴不等式mx＞kx+12（12．（2020?岳陽）如圖，一次函數y＝x+5的圖象與反比例函數y=kx（k為常數且k≠0）的圖象相交于A（﹣1，m），（1）求反比例函數的表達式；（2）將一次函數y＝x+5的圖象沿y軸向下平移b個單位（b＞0），使平移后的圖象與反比例函數y=kx的圖象有且只有一個交點，求【分析】（1）根據一次函數y＝x+5的圖象與反比例函數y=kx（k為常數且k≠0）的圖象相交于A（﹣1，m），可得（2）根據一次函數y＝x+5的圖象沿y軸向下平移b個單位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根據平移后的圖象與反比例函數y=kx的圖象有且只有一個交點，聯立方程根據判別式＝0即可求出【解析】（1）∵一次函數y＝x+5的圖象與反比例函數y=kx（k為常數且k≠0）的圖象相交于A（﹣1，∴m＝4，∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函數解析式為：y=?4（2）∵一次函數y＝x+5的圖象沿y軸向下平移b個單位（b＞0），∴y＝x+5﹣b，∵平移后的圖象與反比例函數y=k∴x+5﹣b=?4∴x2+（5﹣b）x+4＝0，∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，解得b＝9或1，答：b的值為9或1．13．（2020?江西）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，頂點A，B都在反比例函數y=kx（x＞0）的圖象上，直線AC⊥x軸，垂足為D，連結OA，OC，并延長OC交AB于點E，當AB＝2OA時，點E恰為AB的中點，若∠AOD＝45°，OA＝2（1）求反比例函數的解析式；（2）求∠EOD的度數．【分析】（1）根據題意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得（2）根據AB＝2OA時，點E恰為AB的中點，得出OA＝AE＝BE，根據直角三角形斜邊中線的性質得出CE＝AE＝BE，根據等腰三角形的性質越久三角形外角的性質即可得出∠AOE＝2∠EOD，從而求得∠EOD＝15°．【解析】（1）∵直線AC⊥x軸，垂足為D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝22，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵頂點A在反比例函數y=kx（∴k＝2×2＝4，∴反比例函數的解析式為y=4（2）∵AB＝2OA，點E恰為AB的中點，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x軸，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．14．（2020?泰安）如圖，已知一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數y=mx的圖象交于點A（3，a），點B（14﹣2（1）求反比例函數的表達式；（2）若一次函數圖象與y軸交于點C，點D為點C關于原點O的對稱點，求△ACD的面積．【分析】（1）點A（3，a），點B（14﹣2a，2）在反比例函數上，則3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；（2）a＝4，故點A、B的坐標分別為（3，4）、（6，2），求出一次函數的表達式為：y=?23x+6，則點C（0，6），故【解析】（1）∵點A（3，a），點B（14﹣2a，2）在反比例函數上，∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，則m＝3×4＝12，故反比例函數的表達式為：y=12（2）∵a＝4，故點A、B的坐標分別為（3，4）、（6，2），設直線AB的表達式為：y＝kx+b，則4=3k+b2=6k+6，解得k=?故一次函數的表達式為：y=?23當x＝0時，y＝6，故點C（0，6），故OC＝6，而點D為點C關于原點O的對稱點，則CD＝2OC＝12，△ACD的面積=12×CD?xA=15．（2020?棗莊）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=12x+5和y＝﹣2x的圖象相交于點A，反比例函數y=k（1）求反比例函數的表達式；（2）設一次函數y=12x+5的圖象與反比例函數y=kx的圖象的另一個交點為B，連接OB【分析】（1）聯立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=?2y=4，故點A（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC?AM?1【解析】（1）聯立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=?2y=4，故點A將點A的坐標代入反比例函數表達式得：4=k?2，解得：k＝故反比例函數表達式為：y=?8x（2）聯立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，當x＝﹣8時，y=12x+5＝1，故點B（設y=12x+5交x軸于點C（﹣10，0），過點A、B分別作x軸的垂線交于點M、則S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC?AM?1216．（2020?徐州）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象經過點A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函數y=mx（x＞0）的圖象于點C（3，a），點P在反比例函數的圖象上，橫坐標為n（0＜n＜3），PQ∥y軸交直線AB于點Q，D是y軸上任意一點，連接PD、（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）求△DPQ面積的最大值．【分析】（1）由A（0，﹣4）、B（2，0）的坐標可求出一次函數的關系式，進而求出點C的坐標，確定反比例函數的關系式；（2）根據題意，要使三角形PDQ的面積最大，可用點P的橫坐標n，表示三角形PDQ的面積，依據二次函數的最大值的計算方法求出結果即可．【解析】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函數y＝kx+b得，b=?42k+b=0，解得，k=2∴一次函數的關系式為y＝2x﹣4，當x＝3時，y＝2×3﹣4＝2，∴點C（3，2），∵點C在反比例函數的圖象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函數的關系式為y=6答：一次函數的關系式為y＝2x﹣4，反比例函數的關系式為y=6（2）點P在反比例函數的圖象上，點Q在一次函數的圖象上，∴點P（n，6n），點Q（n，2n﹣∴PQ=6n?（2∴S△PDQ=12n[6n?（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n∴當n＝1時，S最大＝4，答：△DPQ面積的最大值是4．17．（2020?天水）如圖所示，一次函數y＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數y=kx（k≠0）的圖象交于第二、四象限的點A（﹣2，a）和點B（b，﹣1），過A點作x軸的垂線，垂足為點C，△（1）分別求出a和b的值；（2）結合圖象直接寫出mx+n＞kx中（3）在y軸上取點P，使PB﹣PA取得最大值時，求出點P的坐標．【分析】（1）根據△AOC的面積為4和反比例函數圖象的位置，可以確定k的值，進而確定反比例函數的關系式，代入可求出點A、B的坐標，求出a、b的值；（2）根據圖象直接寫出mx+n＞k（3）求出點A（﹣2，4）關于y軸的對稱點A′（2，4），根據題意直線A′B與y軸的交點即為所求的點P，求出直線A′B的關系式，進而求出與y軸的交點坐標即可．【解析】（1）∵△AOC的面積為4，∴12|k解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合題意舍去），∴反比例函數的關系式為y=?8把點A（﹣2，a）和點B（b，﹣1）代入y=?8a＝4，b＝8；答：a＝4，b＝8；（2）根據一次函數與反比例函數的圖象可知，不等式mx+n＞kx的解集為x＜﹣2或0＜（3）∵點A（﹣2，4）關于y軸的對稱點A′（2，4），又B（8，﹣1），則直線A′B與y軸的交點即為所求的點P，設直線A′B的關系式為y＝cx+d，則有2c+d=48c+d=?1解得，c=?5∴直線A′B的關系式為y=?56x∴直線y=?56x+173與即點P的坐標為（0，17318．（2020?青海）如圖1（注：與圖2完全相同）所示，拋物線y=?12x2+bx+c經過B、D兩點，與x軸的另一個交點為A（1）求拋物線的解析式．（2）設拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積．（請在圖1中探索）（3）設點Q在y軸上，點P在拋物線上．要使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．（請在圖2中探索）【分析】（1）用待定系數法解答便可；（2）求出拋物線與坐標軸的交點A、D坐標及拋物線頂點M的坐標，再將四邊形ABMC的面積分為三角形的面積的和，進行計算便可；（3）分兩種情況：AB為平行四邊形的邊；AB為平行四邊形的對角線．分別解答便可．【解析】（1）把B（3，0）和D（﹣2，?5?9解得，b=1c=∴拋物線的解析式為：y=?1（2）令x＝0，得y=?1∴C(0，3令y＝0，得y=?1解得，x＝﹣1，或x＝3，∴A（﹣1，0），∵y=?1∴M（1，2），∴S四邊形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOM=1=1（3）設Q（0，n），①當AB為平行四邊形的邊時，有AB∥PQ，AB＝PQ，a）．Q點在P點左邊時，則Q（﹣4，n），把Q（﹣4，n）代入y=?1n=?21∴P（﹣4，?21②Q點在P點右邊時，則Q（4，n），把Q（4，n）代入y=?1n=?5∴P（4，?5③當AB為平行四邊形的對角線時，如圖2，AB與PQ交于點E，則E（1，0），∵PE＝QE，∴P（2，﹣n），把P（2，﹣n）代入y=?1﹣n=3∴n=?3∴P（2，32綜上，滿足條件的P點坐標為：（﹣4，?212）或（4，?519．（2020?山西）綜合與探究如圖，拋物線y=14x2﹣x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A，D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標為（4，（1）請直接寫出A，B兩點的坐標及直線l的函數表達式；（2）若點P是拋物線上的點，點P的橫坐標為m（m≥0），過點P作PM⊥x軸，垂足為M．PM與直線l交于點N，當點N是線段PM的三等分點時，求點P的坐標；（3）若點Q是y軸上的點，且∠ADQ＝45°，求點Q的坐標．【分析】（1）令y＝0，便可由拋物線的解析式求得A、B點坐標，用待定系數法求得直線AD的解析式；（2）設P（m，14m2﹣m﹣3），用m表示N點坐標，分兩種情況：PM＝3MN；PM＝3PN．分別列出m（3）分兩種情況，Q點在y軸正半軸上時；Q點在y軸負半軸上時．分別解決問題．【解析】（1）令y＝0，得y=14x2﹣x解得，x＝﹣2，或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），設直線l的解析式為y＝kx+b（k≠0），則?2k+b=04k+b=?3解得，k=?1∴直線l的解析式為y=?1（2）如圖1，根據題意可知，點P與點N的坐標分別為P（m，14m2﹣m﹣3），N（m，?12∴PM=?14m2+m+3，MN=12m+1，NP=?1分兩種情況：①當PM＝3MN時，得?14m2+m+3＝3（1解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），∴P（0，﹣3）；②當PM＝3NP時，得?14m2+m+3＝3（?14m解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），∴P（3，?15∴當點N是線段PM的三等分點時，點P的坐標為（3，?154）或（0，（3）∵直線ly=?12x?1與y∴點E的坐標為（0，﹣1），分再種情況：①如圖2，當點Q在y軸的正半軸上時，記為點Q1，過Q1作Q1H⊥AD于點H，則∠QE＝∠AOE＝90°，∵∠Q1EH＝∠AEO，∴△Q1EH∽△AEO，∴Q1H∴Q1H＝2HE，∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，∴Q1H＝DH，∴DH＝2EH，∴HE＝ED，連接CD，∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），∴CD⊥y軸，∴ED=C∴HE=ED=25，Q∴Q1∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，∴Q1（0，9）；②如圖3，當點Q在y軸的負半軸上時，記為點Q2，過Q2作Q2G⊥AD于G，則∠Q2GE＝∠AOE＝90°，∵∠Q2EG＝∠AEO，∴△Q2GE∽△AOE，∴Q2GAO∴Q2G＝2EG，∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，∴DG＝Q2G＝2EG，∴ED＝EG+DG＝3EG，由①可知，ED＝25，∴3EG＝25，∴EG=2∴Q2∴EQ∴OQ∴Q2綜上，點Q的坐標為（0.9）或（0，?1320．（2020?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．且直線y＝x﹣6過點B，與y軸交于點D，點C與點D關于x軸對稱，點P是線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線BD于點N．（1）求拋物線的函數解析式；（2）當△MDB的面積最大時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．【分析】（1）由一次函數圖象與坐標軸交點B、D的坐標，再由對稱求得C點坐標，再用待定系數法求拋物線的解析式；（2）設P（m，0），則M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面積公式求得△MDB的面積關于m的二次函數，最后根據二次函數的最大值的求法，求得m的值，進而得P點的坐標；（3）分三種情況：M為直角頂點；N為直角頂點；Q為直角頂點．分別得出Q點的坐標．【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵點C與點D關于x軸對稱，∴C（0，6），把B、C點坐標代入y＝﹣x2+bx+c中，得?36+6b+c=0c=6解得，b=5c=6∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+5x+6；（2）設P（m，0），則M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），則MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB的面積=12MN?OB=?3m2+12m+36═﹣3（m﹣∴當m＝2時，△MDB的面積最大，此時，P點的坐標為（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），當∠QMN＝90°時，QM∥x軸，則Q（0，12）；當∠MNQ＝90°時，NQ∥x軸，則Q（0，﹣4）；當∠MQN＝90°時，設Q（0，n），則QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±55∴Q（0，4+55）或（0，4?綜上，存在以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形．其Q點坐標為（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4?21．（2020?衢州）如圖1，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A，C分別是直線y=?83x+4與坐標軸的交點，點B的坐標為（﹣2，0），點D是邊AC上的一點，DE⊥BC于點E，點F在邊AB上，且D，F兩點關于y軸上的某點成中心對稱，連結DF，EF．設點D的橫坐標為m，EF2為①線段EF長度是否有最小值．②△BEF能否成為直角三角形．小明嘗試用“觀察﹣猜想﹣驗證﹣應用”的方法進行探究，請你一起來解決問題．（1）小明利用“幾何畫板”軟件進行觀察，測量，得到l隨m變化的一組對應值，并在平面直角坐標系中以各對應值為坐標描點（如圖2）．請你在圖2中連線，觀察圖象特征并猜想l與m可能滿足的函數類別．（2）小明結合圖1，發現應用三角形和函數知識能驗證（1）中的猜想，請你求出l關于m的函數表達式及自變量的取值范圍，并求出線段EF長度的最小值．（3）小明通過觀察，推理，發現△BEF能成為直角三角形，請你求出當△BEF為直角三角形時m的值．【分析】（1）根據描點法畫圖即可；（2）過點F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，證明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性質得出FG＝DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根據勾股定理得出l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，由二次函數的性質可得出答案；（3）分三種不同情況，根據直角三角形的性質得出m的方程，解方程求出m的值，則可求出答案．【解析】（1）用描點法畫出圖形如圖1，由圖象可知函數類別為二次函數．（2）如圖2，過點F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，則∠FGK＝∠DHK＝90°，記FD交y軸于點K，∵D點與F點關于y軸上的K點成中心對稱，∴KF＝KD，∵∠FKG＝∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG＝DH，∵直線AC的解析式為y=?83∴x＝0時，y＝4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），設直線AB的解析式為y＝kx+b，∴?2k+b=0b=4解得k=2b=4∴直線AB的解析式為y＝2x+4，過點F作FR⊥x軸于點R，∵D點的橫坐標為m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，∵EF2＝FR2+ER2，∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，令?8x3+4＝0，得∴0≤m≤3∴當m＝1時，l的最小值為8，∴EF的最小值為22．（3）①∠FBE為定角，不可能為直角．②∠BEF＝90°時，E點與O點重合，D點與A點，F點重合，此時m＝0．③如圖3，∠BFE＝90°時，有BF2+EF2＝BE2．由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，又∵BE2＝（m+2）2，∴（5m2﹣20m+20）+（8m2﹣16m+16）＝（m+2）2，化簡得，3m2﹣10m+8＝0，解得m1=43，m∴m=4綜合以上可得，當△BEF為直角三角形時，m＝0或m=422．（2020?株洲）如圖所示，△OAB的頂點A在反比例函數y=kx（k＞0）的圖象上，直線AB交y軸于點C，且點C的縱坐標為5，過點A、B分別作y軸的垂線AE、BF，垂足分別為點E、F，且（1）若點E為線段OC的中點，求k的值；（2）若△OAB為等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面積小于3．①求證：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|稱為M（x1，y1），N（x2，y2）兩點間的“ZJ距離”，記為d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．【分析】（1）由點E為線段OC的中點，可得E點坐標為(0，52)，進而可知A點坐標為：（2）①由△OAB為等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根據同角的余角相等可證∠AOE＝∠FBO，由AAS即可證明△OAE≌△BOF；②由“ZJ距離”的定義可知d（M，N）為MN兩點的水平離與垂直距離之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B點坐標即可，設點A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），進而代入直線AB解析式求出k值即可解答．【解析】（1）∵點E為線段OC的中點，OC＝5，∴OE=12OC=52又∵AE⊥y軸，AE＝1，∴A(1，∴k=1×5（2）①在△OAB為等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠FOB＝90°，又∵BF⊥y軸，∴∠FBO+∠FOB＝90°，∴∠AOE＝∠FBO，在△OAE和△BOF中，∠AEO=∠OFB=90°∠AOE=∠FBO∴△OAE≌△BOF（AAS），②解：設點A坐標為（1，m），∵△OAE≌△BOF，∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，∴B（m，﹣1），設直線AB解析式為：lAB：y＝kx+5，將AB兩點代入得：則k+5=mkm+5=?1解得k1=?3m當m＝2時，OE＝2，OA=5，S∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，當m＝3時，OE＝3，OA=10，S△AOB綜上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．23．（2020?廣東）如圖，點B是反比例函數y=8x（x＞0）圖象上一點，過點B分別向坐標軸作垂線，垂足為A，C．反比例函數y=kx（x＞0）的圖象經過OB的中點M，與AB，BC分別相交于點D，E．連接DE并延長交x軸于點F，點G與點O關于點C對稱，連接（1）填空：k＝2；（2）求△BDF的面積；（3）求證：四邊形BDFG為平行四邊形．【分析】（1）設點B（s，t），st＝8，則點M（12s，12t），則k=12s?1（2）△BDF的面積＝△OBD的面積＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；（3）確定直線DE的表達式為：y=?12m2x+52m，令y＝0，則x【解析】（1）設點B（s，t），st＝8，則點M（12s，12則k=12s?12t故答案為2；（2）△BDF的面積＝△OBD的面積＝S△BOA﹣S△OAD=12×（3）設點D（m，2m），則點B（4m，2∵點G與點O關于點C對稱，故點G（8m，0），則點E（4m，12m設直線DE的表達式為：y＝sx+n，將點D、E的坐標代入上式得2m=ms+n1故直線DE的表達式為：y=?12m2x+52m，令y＝0，則x故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，則FG∥BD，故四邊形BDFG為平行四邊形．24．（2019?沈陽）在平面直角坐標系中，直線y＝kx+4（k≠0）交x軸于點A（8，0），交y軸于點B．（1）k的值是?12（2）點C是直線AB上的一個動點，點D和點E分別在x軸和y軸上．①如圖，點E為線段OB的中點，且四邊形OCED是平行四邊形時，求?OCED的周長；②當CE平行于x軸，CD平行于y軸時，連接DE，若△CDE的面積為334，請直接寫出點C【分析】（1）根據點A的坐標，利用待定系數法可求出k值；（2）①利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點B的坐標，由平行四邊形的性質結合點E為OB的中點可得出CE是△ABO的中位線，結合點A的坐標可得出CE的長，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的長，再利用平行四邊形的周長公式即可求出?OCED的周長；②設點C的坐標為（x，?12x+4），則CE＝|x|，CD＝|?12x+4|，利用三角形的面積公式結合△CDE的面積為【解析】（1）將A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k=?1故答案為：?1（2）①由（1）可知直線AB的解析式為y=?12當x＝0時，y=?12∴點B的坐標為（0，4），∴OB＝4．∵點E為OB的中點，∴BE＝OE=12∵點A的坐標為（8，0），∴OA＝8．∵四邊形OCED是平行四邊形，∴CE∥DA，∴BCAC∴BC＝AC，∴CE是△ABO的中位線，∴CE=12∵四邊形OCED是平行四邊形，∴OD＝CE＝4，OC＝DE．在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，∴DE=OD2∴C平行四邊形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+25）＝8+45．②設點C的坐標為（x，?12x+4），則CE＝|x|，CD＝|?∴S△CDE=12CD?CE＝|?14x2+2∴x2﹣8x+33＝0或x2﹣8x﹣33＝0．方程x2﹣8x+33＝0無解；解方程x2﹣8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，∴點C的坐標為（﹣3，112）或（11，?25．（2020?綏化）如圖，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，點D是邊AB的中點，反比例函數y1=kx（x＞0）的圖象經過點D，交BC邊于點E，直線DE的解析式為y2＝mx+n（m（1）求反比例函數y1=kx（x＞0）的解析式和直線（2）在y軸上找一點P，使△PDE的周長最小，求出此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，△PDE的周長最小值是5+13【分析】（1）根據線段中點的定義和矩形的性質得到D（1，4），解方程和方程組即可得到結論；（2）作點D關于y軸的對稱點D′，連接D′E交y軸于P，連接PD，此時，△PDE的周長最小，求得直線D′E的解析式為y=?23x（3）根據勾股定理即可得到結論．【解析】（1）∵點D是邊AB的中點，AB＝2，∴AD＝1，∵四邊形OABC是矩形，BC＝4，∴D（1，4），∵反比例函數y1=kx（x＞0）的圖象經過點∴k＝4，∴反比例函數的解析式為y=4x（當x＝2時，y＝2，∴E（2，2），把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4∴m=?2n=6∴直線DE的解析式為y＝﹣2x+6；（2）作點D關于y軸的對稱點D′，連接D′E交y軸于P，連接PD，此時，△PDE的周長最小，∵D點的坐標為（1，4），∴D′的坐標為（﹣1，4），設直線D′E的解析式為y＝ax+b，∴4=?a+b2=2a+b解得：a=?2∴直線D′E的解析式為y=?23x令x＝0，得y=10∴點P的坐標為（0，103（3）∵D（1，4），E（2，2），∴BE＝2，BD＝1，∴DE=1由（2）知，D′的坐標為（﹣1，4），∴BD′＝3，∴D′E=2∴△PDE的周長最小值＝DE+D′E=5故答案為：5+26．（2019?大連）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=?34x+3與x軸，y軸分別相交于點A，B，點C在射線BO上，點D在射線BA上，且BD=53OC，以CO，CD為鄰邊作?COED．設點C的坐標為（0，m），?COED在（1）線段AB的長；（2）S關于m的函數解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍．【分析】（1）由直線y=?34x+3與令x＝0，或y＝0，分別求出對應的y、x的值，從而確定A、（2）分兩種情況進行分別探究，一種是點C在y軸的正半軸，即①當32＜m≤3時，②當0＜m≤32時，另一種是點C在y軸的負半軸，即，③當﹣3＜m≤0時，④當m＜﹣3時，分別畫出相應的圖象，根據三角形相似，求出相應的邊的長用含有m的代數式表示，再表示面積，從而確定在不同情況下【解析】（1）當x＝0時，y＝3，當y＝0時，x＝4，∴直線y=?34x+3與x軸點交A（4，0），與y軸交點∴OA＝4，OB＝3，∴AB=3因此：線段AB的長為5．（2）當CD∥OA時，如圖，∵BD=53OC，OC＝∴BD=53由△BCD∽△BOA得：BDBA=BCBO，即：5①當32＜m≤3時，如圖1所示：過點D作DF⊥OB，垂足為此時在x軸下方的三角形與△CDF全等，∵△BDF∽△BAO，∴BDDF∴DF=43m，同理：BF∴CF＝2m﹣3，∴S△CDF=12DF?CF=12（2m﹣3）×4即：S=43m2﹣2m，（32②當0＜m≤32時，如圖2所示：DE＝m≤32，此時點ES＝0（0＜m≤3③當﹣3＜m≤0時，如圖3所示：同理可得：點D（?43m，設直線CD關系式為y＝kx+b，把C（0，m）、D（?43m，b=m?43mk+b=m+3，解得：k=?9直線CD關系式為y=?94mx+當y＝0時，0=?94mx+m，解得x=F（49∴S△COF=12OC?OF=12（﹣m）即：S=?29m3，（﹣3＜m④當m＜﹣3時，如圖4所示：同理可得：點D（?43m，此時，DF＝﹣m﹣3，OC＝﹣m，OF=?4∴S梯形OCDF=12（﹣m﹣3﹣m）×（?即：S=43m2+2m綜上所述：S與m的函數關系式為：S=427．（2020?常州）如圖，二次函數y＝x2+bx+3的圖象與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B，拋物線過點C（1，0），且頂點為D，連接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝﹣4；（2）點P是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1，直線PC交直線BD于點Q．若∠CQD＝∠ACB，求點P的坐標；（3）點E在直線AC上，點E關于直線BD對稱的點為F，點F關于直線BC對稱的點為G，連接AG．當點F在x軸上時，直接寫出AG的長．【分析】（1）將點C坐標代入解析式可求解；（2）分兩種情況討論，當點Q在點D上方時，過點C作CE⊥AB于E，設BD與x軸交于點F，可得點E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得點F當點Q在點D下方上，過點C作CH⊥DB于H，在線段BH的延長線上截取HF＝QH，連接CQ交拋物線于點P，先求直線BD解析式，點F坐標，由中點坐標公式可求點Q坐標，求出CQ解析式，聯立方程組，可求點P坐標；（3）設直線AC與BD的交點為N，作CH⊥BD于H，過點N作MN⊥x軸，過點E作EM⊥MN，連接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由軸對稱的性質可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可證△EMN≌△NKF，可得EM＝NK=95，MN＝KF，可求CF＝6，由軸對稱的性質可得點【解析】（1）∵拋物線y＝x2+bx+3的圖象過點C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案為：﹣4；（2）∵b＝4，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3∵拋物線y＝x2﹣4x+3的圖象與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B，∴點A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴點B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點D坐標（2，﹣1），如圖1，當點Q在點D上方時，過點C作CE⊥AB于E，設BD與x軸交于點F，∵點A（0，3），點B（4，3），點C（1，0），CE⊥AB，∴點E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AE∴∠BCF＝45°，∵點B（4，3），點C（1，0），點D（2，﹣1），∴BC=9+9=32，CD=1+1=2，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC=CDBC=2∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴點F與點Q重合，∴點P是直線CF與拋物線的交點，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴點P（3，0）；當點Q在點D下方上，過點C作CH⊥DB于H，在線段BH的延長線上截取HF＝QH，連接CQ交拋物線于點P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵點B（4，3），點D（2，﹣1），∴直線BD解析式為：y＝2x﹣5，∴點F（52∴直線CH解析式為：y=?12x∴y=?1解得x=11∴點H坐標為（115，?∵FH＝QH，∴點Q（1910，?∴直線CQ解析式為：y=?43x聯立方程組y=?4解得：x1=1y∴點P（53，?綜上所述：點P的坐標為（3，0）或（53，?（3）如圖，設直線AC與BD的交點為N，作CH⊥BD于H，過點N作MN⊥x軸，過點E作EM⊥MN，連接CG，GF，∵點A（0，3），點C（1，0），∴直線AC解析式為：y＝﹣3x+3，∴y=?3x+3y=2x?5∴x=8∴點N坐標為（85，?∵點H坐標為（115，?∴CH2＝（115?1）2+（35）2=95，HN2＝（115?8∴CH＝HN，∴∠CNH＝45°，∵點E關于直線BD對稱的點為F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK=95，MN＝∴點E的橫坐標為?1∴點E（?15，∴MN=275∴CF=8∵點F關于直線BC對稱的點為G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴點G（1，6），∴AG=128．（2020?營口）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3過點A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為直線CD上的一個動點，連接BC；①如圖1，是否存在點P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；②如圖2，點P在x軸上方，連接PA交拋物線于點N，∠PAB＝∠BCO，點M在第三象限拋物線上，連接MN，當∠ANM＝45°時，請直接寫出點M的坐標．【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；（2）①分點P（P′）在點C的右側、點P在點C的左側兩種情況，分別求解即可；②證明△AGR≌△RHM（AAS），則點M（m+n，n﹣m﹣3），利用點M在拋物線上和AR＝NR，列出等式即可求解．【解析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3①；（2）由拋物線的表達式知，點C、D的坐標分別為（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由點C、D的坐標知，直線CD的表達式為：y＝x﹣3；tan∠BCO=13，則cos∠BCO①當點P（P′）在點C的右側時，∵∠PAB＝∠BCO，故P′B∥y軸，則點P′（1，﹣2）；當點P在點C的左側時，設直線PB交y軸于點H，過點H作HN⊥BC于點N，∵∠PAB＝∠BCO，∴△BCH為等腰三角形，則BC＝2CH?cos∠BCO＝2×CH×2解得：CH=53，則OH＝3﹣CH=43，故點由點B、H的坐標得，直線BH的表達式為：y=43x?聯立①②并解得：x=?5y=?8故點P的坐標為（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=1故設直線AP的表達式為：y=13x+s，將點A的坐標代入上式并解得：故直線AP的表達式為：y=13聯立①③并解得：x=43y=139，故點N設△AMN的外接圓為圓R，當∠ANM＝45°時，則∠ARM＝90°，設圓心R的坐標為（m，n），∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，∴∠RMH＝∠GAR，∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，∴點M（m+n，n﹣m﹣3），將點M的坐標代入拋物線表達式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，由題意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m?43）2+（139）聯立③④并解得：m=?2故點M（?43，29．（2020?哈爾濱）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線AB與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點B，OA＝OB，過點A作x軸的垂線與過點O的直線相交于點C，直線OC的解析式為y=34x，過點C作CM⊥y軸，垂足為M，（1）如圖1，求直線AB的解析式；（2）如圖2，點N在線段MC上，連接ON，點P在線段ON上，過點P作PD⊥x軸，垂足為D，交OC于點E，若NC＝OM，求PEOD（3）如圖3，在（2）的條件下，點F為線段AB上一點，連接OF，過點F作OF的垂線交線段AC于點Q，連接BQ，過點F作x軸的平行線交BQ于點G，連接PF交x軸于點H，連接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG=2AF，求點P【分析】（1）求出A，B兩點坐標，利用待定系數法解決問題即可．（2）由題意直線ON的解析式為y＝3x，設點E的橫坐標為4a，則D（4a，0），求出PE，OD（用a表示）即可解決問題．（3）如圖3中，設直線FG交CA的延長線于R，交y軸于S，過點F作FT⊥OA于T．證明△OFS≌△FQR（AAS），推出SF＝QR，再證明△BSG≌△QRG（AAS），推出SG＝GR＝6，設FR＝m，則AR＝m，AF=2m，QR＝SF＝12﹣m，GQ﹣FG=2AF，根據GQ2＝GR2+QR2，可得（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，由題意tan∠DHE＝tan∠DPH，可得DEDH=DHPD，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，推出3aDH=DH12a，可得DH＝6a，推出tan∠PHD=PDDH=12a6a=2，由∠PHD＝∠FHT，可得tan【解析】（1）∵CM⊥y軸，OM＝9，∴y＝9時，9=34x，解得∴C（12，9），∵AC⊥x軸，∴A（12，0），∵OA＝OB，∴B（0，﹣12），設直線AB的解析式為y＝kx+b，則有b=?1212k+b=0解得k=1b=?12∴直線AB的解析式為y＝x﹣12．（2）如圖2中，∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，∴四邊形OACM是矩形，∴AO＝CM＝12，∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，∴N（3，9），∴直線ON的解析式為y＝3x，設點E的橫坐標為4a，則D（4a，0），∴OD＝4a，把x＝4a，代入y=34x中，得到y＝3∴E（4a，3a），∴DE＝3a，把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，∴P（4a，12a），∴PD＝12a，∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，∴PEOD（3）如圖3中，設直線FG交CA的延