應用一元一次方程——方案問題專題(含答案解析)

1.某班需要購買乒乓球和乒乓球拍。甲、乙兩家商店出售同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍。乒乓球拍的定價為30元/副，乒乓球的定價為5元/盒。甲店提供一副球拍贈送一盒乒乓球的優惠，乙店提供全部按定價的9折優惠。該班需要購買5副球拍和至少5盒乒乓球。問題如下：1）購買多少盒乒乓球時，兩種優惠方案的付款金額相同？2）購買15盒和30盒乒乓球時，你打算去哪家商店購買？為什么？2.某廠生產一種計算器，每只成本價為36元。該廠有兩種銷售方式：第一種是由廠門市部銷售，每只售價為48元，但需要支付每月固定費用6480元（包括門市部的房租等）；第二種是批發給文化用品商店銷售，批發價為每只42元。兩種方式的稅款均為銷售金額的10%。1）銷售多少只計算器時，兩種方式的利潤相等？2）該廠計劃在今年6月份銷售1500只計算器，應該選擇哪種銷售方式以獲得最大利潤？（利潤=售價-稅款-成本）3.一家游泳館在每年的6-8月份出售夏季會員證，每張會員證售價為80元，只限本人使用。持會員證購買入場券每張1元，不持會員證購買入場券每張3元。問題如下：1）在什么情況下，購買會員證和不購買會員證的花費相同？2）在什么情況下，購買會員證比不購買會員證更劃算？3）在什么情況下，不購買會員證比購買會員證更劃算？4.某市電力部門對一般照明用電實行“階梯電價”收費，具體收費標準如下：第一檔：月用電量不超過240度的部分的電價為每度0.6元；第二檔：月用電量超過240度但不超過400度部分的電價為每度0.65元；第三檔：月用電量超過400度的部分的電價為每度0.9元。1）已知XXX家去年5月份的用電量為380度，那么老王家5月份應該支付的電費是多少元？2）如果XXX家去年6月份的平均電價為0.70元，那么老王家6月份的用電量是多少度？3）已知XXX家去年7月和8月的用電量總共是500度（7月份的用電量少于8月份的用電量），兩個月的總電費是303元。那么XXX家7月和8月的用電量分別是多少度？5.一個社區超市用6000元購進甲、乙兩種商品。其中，乙商品的件數比甲商品件數的倍多15件。甲、乙兩種商品的進價和售價如下表所示：（注：獲利=售價-進價）甲：進價22元/件，售價29元/件乙：進價30元/件，售價40元/件1.該超市購進甲、乙兩種商品各多少件？2.該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？3.該超市第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品。其中甲商品的件數不變，乙商品的件數是第一次的3倍。甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售。第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多180元。求第二次乙商品是按原價打幾折銷售？1.某超市購進了甲、乙兩種商品，求各購進多少件。2.該超市售出第一次購進的甲、乙兩種商品后，總利潤是多少。3.該超市第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品。其中甲商品的件數不變，乙商品的件數是第一次的3倍。甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售。第二次兩種商品都銷售完后，總利潤比第一次多180元。求第二次乙商品是按原價打幾折銷售。刪除了明顯有問題的段落。2.媽媽在網上商城購物，發現甲、乙兩家店中都有自己想買的商品，且標價都一樣，且標價都一樣，兩家店也都在做促銷活動，甲店的優惠活動為：全場8.5折，乙店的優惠活動為：所購商品標價總額不超過200元時，無優惠；超過200元而不超過500元時，按商品標價總額打9折結算付款；超過500元時，其中500元打9折，超過500元的部分打8折．1）當商品標價總額是300元時，在甲、乙兩店購物實付款分別是多少？（2）當標價總額是多少時，在甲、乙兩店購物實付款一樣？3）媽媽分兩次在乙店分別購物付款189元和466元，若她一次性在該店購買同樣多的商品，可以節省多少錢？2.媽媽在網上商城購物，發現甲、乙兩家店中都有自己想買的商品，且標價都一樣。兩家店都在做促銷活動，甲店的優惠活動為全場8.5折，乙店的優惠活動為：所購商品標價總額不超過200元時，無優惠；超過200元而不超過500元時，按商品標價總額打9折結算付款；超過500元時，其中500元打9折，超過500元的部分打8折。1)當商品標價總額是300元時，在甲、乙兩店購物實付款分別是多少？2)當實付款相同時，商品標價總額是多少？3)媽媽在乙店分兩次購物，分別付款189元和466元。若她一次性購買同樣多的商品，可以節省多少錢？刪除了重復的句子。3.為了鼓勵居民節約用水，某市自來水公司對每戶月用水量進行計費，每戶每月用水量在規定噸數以下的收費標準相同；規定噸數以上的超過部分收費標準相同，以下是小明家5月份用水量和交費情況：月份用水量（噸）費用（元）181621020311234153551844根據表格中提供的信息，回答以下問題：1)求出規定噸數和兩種收費標準。2)若XXX家6月份用水20噸，則應繳多少元？3)若XXX家7月份繳水費29元，則7月份用水量為多少噸？3.XXX對每戶月用水量進行計費，每戶每月用水量在規定噸數以下的收費標準相同；規定噸數以上的超過部分收費標準相同。以下是小明家5月份用水量和交費情況：月份用水量（噸）費用（元）1816210203112341535518441)求出規定噸數和兩種收費標準。2)若XXX家6月份用水20噸，則應繳多少元？3)若XXX家7月份繳水費29元，則7月份用水量為多少噸？刪除了重復的句子。4.XXX商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機。已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元。1)若XXX商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案。2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元。在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？4.XXX商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機。已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元。1)若商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請研究一下商場的進貨方案。2)商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元。在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？XXXingSpringFestivalin2016.twons。AandB。plantoXXXarea。AandBhaveatotalof102people。withAhavingmorepeoplethanB。andAhavinglessthan100people。Accordingtothetablebelow。theXXX:NumberofTicketsPriceperTicket(RMB)1-506051-10050101ormore40Ifthetwonspurchaseticketsseparately。theywouldpayatotalof5500RMB。1)IfAandBXXX。howmuchmoneycantheysavecomparedtobuyingticketsseparately。2)XXXparticipateinthetrip。3)If12retiredemployeesfromAcannotparticipateinthetripduetohealthreasons。whatisthemostcost-effectivewaytopurchaseticketsaftercomparingdifferentns。ThepriceofparkXXX:NumberofTicketsPriceperTicket(RMB)1-501351-10011100ormore9Twoclasses。1and2.fromamiddleschoolwithatotalof104studentsplantovisitthepark。withclass1havingfewerthan50students。Basedonestimates。ifbothclassespurchaseticketsseparately。theywouldpayatotalof1240RMB。1)Howmanystudentsareineachclass。2)HowmuchmoneycantheysaveifthetwoclassesXXXasagroup。3)Ifclass1organizesthetripalone。astheorganizer。whatisthemostcost-effectivewaytopurchasetickets。Adevelopmentcompanyplanstoproduceanewproductthatrequiresnprocessingbeforeitcanbelaunchedintothemarket。Twoprocessingplants。RedStarandGiantStar。bothwanttoprocessthisbatchofproducts。ItisknownthatRedStartakes20moredaystoprocessthisbatchofproductsthanGiantStar。RedStarcanprocess16productsperday。andGiantStarcanprocess24productsperday。ThecompanyneedstopayRedStar80RMBperdayforprocessing。andGiantStar120RMBperdayforprocessing。1)Howmanynewproductsdoesthecompanyneedtoprocess。2)Duringtheprocessing。thecompanyneedstosendanengineertothefactoryeverydayfortechnicalguidance。andpayalunchsubsidyof5RMBperday。ThecompanyhasdevelopedanplanthatcanbeXXX。Pleasehelpthecompanychoosethemostcost-effectiveandtime-savingprocessingplanfromallavailablens。Avegetablecompanyhasagreenvegetablethatcangenerateaprofitof1000RMBpertonifsolddirectlyonthemarket。Ifprocessedroughly。theprofitcanreach4500RMBperton。andifprocessedprecisely。theprofitcanbeashighas7500RMBperton。Alocalcompanywantstopurchase140tonsofthisvegetable。Thevegetablecompanycanprocess16tonsperdayifprocessedroughly。and6tonsperdayifprocessedprecisely。butthetwoprocessingmethodscannotbecarriedoutatthesametime。Duetoseasonalandotherconstraints。thecompanymustsellorprocessallthevegetableswithin15days。Therefore。thecompanyhasXXXfeasibleplans:Plan1:ProcessalltheXXX.方案二：建議對蔬菜進行精加工，未加工的蔬菜直接在市場上銷售。方案三：建議對部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，在15天內完成。你認為哪種方案能獲得最高的利潤？為什么？分析：1.對于購買乒乓球和乒乓球拍的問題，設購買x盒乒乓球時，兩種優惠辦法付款相同。根據題意，甲店每副球拍贈送1盒乒乓球，乙店全部按定價的9折優惠。可以列出方程30×5+（x-5）×5=（30×5+5x）×0.9，解得x=20.因此，購買20盒乒乓球時兩種優惠辦法付款相同。2.當購買15盒乒乓球時，甲店需支付200元，乙店需支付202.5元。因此，選擇甲店購買更劃算。當購買30盒乒乓球時，甲店需支付275元，乙店需支付270元。因此，選擇乙店購買更劃算。2.對于銷售計算器的問題，該廠的成本價為每只36元。第一種銷售方式是直接由廠門市部銷售，每只售價為48元，但需要每月支付固定費用6480元。第二種銷售方式是批發給文化用品商店銷售，批發價每只42元。兩種銷售方式都需要繳納銷售金額的10%的稅款。1)設該廠每月銷售x只計算器時，兩種方式所獲利潤相等。可以列出方程48x-36x-6480=42x×0.9-36x×0.1，解得x=270.因此，每月銷售270只計算器時，兩種方式的利潤相等。2)如果該廠在六月份銷售1500只計算器，第一種銷售方式的利潤為1500×(48-48×0.1-36)=元，第二種銷售方式的利潤為1500×(42-42×0.1-36)=元。因此，選擇第一種銷售方式可以獲得更高的利潤。分析：本文主要包含兩個問題的解答，第一個問題涉及一元一次方程的應用，第二個問題涉及一元一次不等式的應用。解答：1.設該廠每月銷售x個計算器時兩種方式所獲利潤相等，根據題意可得：第一種方式：48x-48x×10%-6480-36x=7.2x-6480；第二種方式：42x-42x×10%-36x=1.8x；將上述兩個關系式相等求解，可得：x=1200；答：該廠每月銷售1200個計算器時兩種方式所獲利潤相等；2.將x=1500代入兩式，可得：第一種方式7.2x-6480=4320（元）；第二種方式1.8x=2700（元）；比較可知第一種方式所得利潤較大。3.假設游泳x次，于是可表示購證后花費為（80+x）元，不購證花費3x元。1）當80+x=3x時，購會員證與不購證付一樣的錢，解方程得x=40；2）當80+x＜3x時購證更劃算，解不等式得x＞40；3）當80+x＞3x時購證更劃算，解不等式得x＜40.答：（1）6-8月游泳40次時，購證和不購證付一樣的錢；2）6-8月游泳次數大于40時，購證更劃算；3）6-8月游泳次數小于40時，不購會員證更劃算。點評：本文的解答思路清晰，用簡練的語言表達了解題過程，同時對解答過程中所用到的數學知識點進行了簡要說明，易于理解。但需要注意的是，文章中有一些格式錯誤，需要進行修改。某市電力部門實行“階梯電價”收費，一般照明用電分為三檔：第一檔，月用電量不超過240度的部分的電價為每度0.6元；第二檔，月用電量超過240度但不超過400度部分的電價為每度0.65元；第三檔，月用電量超過400度的部分的電價為每度0.9元。以下是三個問題的解答：問題1：XXX家去年5月份的用電量為380度，應交電費多少？解答1：根據收費標準，計算老王家5月份應交電費。第一檔240度，每度0.6元，共計144元；第二檔140度，每度0.65元，共計91元。144+91=235（元），所以XXX家5月份應交電費為235元。問題2：若去年6月份老王家用電的平均電價為0.70元，求老XXX去年6月份的用電量。解答2：設XXX家去年6月份的用電量為a度。由電費的平均價為0.70元可得出a＞400.根據收費標準結合總電價=單價×數量，列出關于a的一元一次方程，即0.6×240+0.65×（400﹣240）+0.9（a﹣400）=0.7a，解之得a=560.因此XXX家去年6月份的用電量為560度。問題3：已知XXX家去年7、8月份的用電量共500度（7月份的用電量少于8月份的用電量），兩個月的總電價是303元，求XXX家7、8月的用電量分別是多少？解答3：設XXX家去年7月份的用電量為x度，則8月份的用電量為（500﹣x）度。分x＜100、100≤x≤240和240＜x＜250三種情況，列出關于x的一元一次方程，解之得出結論。當x＜100時，方程無解；當100≤x≤240時，x=200；當240＜x＜250時，方程無解。因此XXX家去年7、8月的用電量分別為200度和300度。XXX家去年7月份的用電量為200度，8月份的用電量為300度。某社區超市第一次用6000元購進甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數比甲商品件數的倍多15件，甲、乙兩種商品的進價和售價如下表：甲|乙|進價（元/件）|22|30|售價（元/件）|29|40|1）該超市購進甲、乙兩種商品各多少件？設第一次購進甲種商品x件，則購進乙種商品（x+15）件，根據單價×數量=總價，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論。解得：x=150，∴x+15=165.答：該超市第一次購進甲種商品150件、乙種商品165件。2）該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？根據總利潤=單件利潤×銷售數量，列式計算即可求出結論。29-22）×150+（40-30）×165=1950（元）。答：該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得利潤1950元。3）該超市第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數不變，乙商品的件數是第一次的3倍；甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多180元，求第二次乙商品是按原價打幾折銷售？設第二次乙種商品是按原價打y折銷售，根據總利潤=單件利潤×銷售數量，即可得出關于y的一元一次方程，解之即可得出結論。解得：y=8.5.答：第二次乙商品是按原價打8.5折銷售。一樣的商品，在甲、乙兩家店的標價都一樣。兩家店都在做促銷活動，甲店的優惠活動是全場8.5折，乙店的優惠活動則是：所購商品標價總額不超過200元時，無優惠；超過200元而不超過500元時，按商品標價總額打9折結算付款；超過500元時，其中500元打9折，超過500元的部分打8折。1）當商品標價總額是300元時，在甲、乙兩店購物實付款分別是多少？根據兩家店的優惠方案，可知當商品標價總額是300元時，甲店實付款=購物標價×0.85，乙店實付款=300×0.9.所以甲店實付款為300×0.85=255元，乙店實付款為300×0.9=270元。2）當標價總額是多少時，在甲、乙兩店購物實付款一樣？設當標價總額是x元時，在甲、乙兩店購物實付款一樣。根據甲店實付款=乙店實付款列出方程，求解即可。當一次性購物標價總額是500元時，甲店實付款=500×0.85=425元，乙店實付款=500×0.9=450元。因為425＜450，所以x＞500.根據題意得0.85x=500×0.9+0.8（x-500），解得x=1000.所以當標價總額是1000元時，在甲、乙兩店購物實付款一樣。3）媽媽分兩次在乙店分別購物付款189元和466元，若她一次性在該店購買同樣多的商品，可以節省多少錢？首先計算出兩次購物標價，然后根據優惠方案即可求解。第一次購物付款189元，購物標價可能是189元，也可能是189÷0.9=210元。第二次購物付款466元，購物標價是（466-450）÷0.8+500=520元。兩次購物標價之和是189+520=709元，或210+520=730元。若她只去一次該超市購買同樣多的商品，實付款為500×0.9+0.8（709-500）=617.2元，或500×0.9+0.8（730-500）=634元。所以可以節省189+466-617.2=37.8元，或189+466-634=21元。綜上所述，若媽媽一次性在該店購買同樣多的商品，可以節省37.8元或21元。7.XXX對每戶月用水量進行計費，鼓勵居民節約用水。收費標準分為兩種，每戶每月用水量在規定噸數以下的收費標準相同，規定噸數以上的超過部分收費標準相同。以下是小明家5月份用水量和交費情況：月份用水量（噸）費用（元）181621020311234153551844根據表格中提供的信息，回答以下問題：1)求出規定噸數和兩種收費標準。2)若XXX家6月份用水20噸，則應繳多少元？3)若XXX家7月份繳水費29元，則7月份用水量為多少噸？分析】(1)根據1、2、3月份的條件，當用水量不超過10噸時，每噸的收費為2元。根據3月份的條件，用水11噸，其中10噸應交20元，則超過的1噸收費3元，即超出10噸的部分每噸收費3元。2)根據求出的繳費標準，用水20噸應繳水費50元。3)設小明家7月份用水x噸，29.10×2，所以x。10.因此，10噸的費用20元+超過部分的費用=29元。解得：x=13.故XXX家7月份用水13噸。解答】(1)從表中可以看出規定噸位數不超過10噸，10噸以內，每噸2元，超過10噸的部分每噸3元。2)XXX家6月份的水費是：10×2+（20-10）×3=50元。3)所以，10×2+（x-10）×3=29.解得：x=13.故小明家7月份用水13噸。點評】本題主要考查一元一次方程的應用，正確理解收費標準，列出符合題意的一元一次方程是解決本題的關鍵。8.XXX商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機。已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元。1)若XXX商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案。2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？分析】(1)本題的等量關系是：兩種電視的臺數和=50臺，買兩種電視花去的費用=9萬元。然后分進的兩種電視是A、B，A、C，B、C三種情況進行討論，求出正確的方案。2)根據(1)得出的方案，分別計算出各方案的利潤，然后判斷出獲利最多的方案。解答】(1)假設商場分別購進A、B兩種型號的電視機x臺和y臺，則有以下等量關系：x+y=50（臺）1500x+2100y=（元）解得：x=20，y=30.因此，商場應該購進20臺A型號電視和30臺B型號電視。2)方案一：購進20臺A型號電視和30臺B型號電視，總成本為9萬元，總利潤為20×150+30×200=7500元。方案二：購進20臺A型號電視和30臺C型號電視，總成本為9萬元，總利潤為20×150+30×250=元。方案三：購進30臺B型號電視和20臺C型號電視，總成本為9萬元，總利潤為30×200+20×250=9500元。因此，為了使銷售時獲利最多，商場應該選擇方案二。點評】本題考查了解量關系的應用，需要注意列出方程組后的解法。在第二問中，需要計算出各方案的利潤，然后進行比較，選擇獲利最多的方案。解：設甲單位人數為x，乙單位人數為102-x，根據題意可列出方程：60x+50(102-x)=5500解得：x=66則甲單位人數為66人，乙單位人數為36人。1）如果聯合購買，門票數量為102張，根據表格可知，單價為40元/張，總價為102×40=4080元，比各自購買門票共可以節省5500-4080=1420元。2）已知甲單位人數為66人，乙單位人數為36人。3）如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么甲單位實際上只需要購買54張門票，乙單位購買48張門票，總共需要購買102張門票。根據表格可知，購買1-50張門票單價為60元/張，購買51-100張門票單價為50元/張，購買101張及以上門票單價為40元/張。因為甲單位購買門票數量少于50張，所以甲單位購買門票單價為60元/張，乙單位購買門票單價為50元/張。則甲單位需要支付60×54=3240元，乙單位需要支付50×48=2400元，總共需要支付5640元。如果甲、乙兩單位分別購買門票，總共需要支付5500元，所以聯合購買門票更省錢。公園門票價格規定如下：購票張數每張票的價格1～50張13元51～100張11元100張以上9元。某校初一（1）、（2）兩個班共104人去游公園，其中（1）班人數較少，不足50人。經估算，如果兩個班都以班為單位購票，則一共應付1240元，問：（1）兩班各有多少學生？（2）如果兩班聯合起來，作為一個團體購票，可省多少錢？（3）如果初一（1）班單獨組織去游公園，作為組織者的你將如何購票才最省錢？解：（1）設初一（1）班有x人，則有13x+11（104-x）=1240或13x+9（104-x）=1240，解得：x=48或x=76（不合題意，舍去）。即初一（1）班48人，初一（2）班56人。2）如果兩個班聯合起來購票，總共需要購買104張門票，根據價格規定，共需付費9×50+11×(104-50)=804元。而如果兩個班分別購票，則需要付費13×48+11×56=1240元。因此，聯合購票可以省下1240-804=436元。3）如果初一（1）班單獨組織去游公園，最省錢的方法是購買50張門票，這樣可以享受11元的優惠價，共需付費11×50=550元。如果購買49張或更少的門票，則需要按照13元的價格購票，付費會更高。如果購買51張或更多的門票，則可以享受更低的9元的優惠價，但是因為人數不足，購買100張以上的門票并不劃算。要想享受優惠，根據班級人數可