第八章玻色統計和費米統計9/6/20231第八章玻色統計和費米統計8/3/20231§8.1熱力學量的統計表達式一、玻色系統熱力學量的統計表達式9/6/20232§8.1熱力學量的統計表達式一、玻色系統熱力學量的統計9/6/202338/3/202335、熵9/6/202345、熵8/3/202349/6/202358/3/202359/6/202368/3/20236（6.7.4)——玻耳茲曼關系6、巨熱力勢9/6/20237（6.7.4)——玻耳茲曼關系6、巨熱力勢8/3/2023二、費米系統熱力學量的統計表達式巨配分函數對數：9/6/20238二、費米系統熱力學量的統計表達式巨配分函數對數：8/3/§8.2弱簡并理想玻色氣體和費米氣體非簡并系統：弱簡并系統：強簡并系統：9/6/20239§8.2弱簡并理想玻色氣體和費米氣體非簡并系統：弱簡并系統不考慮分子內部結構，只有平動自由度，分子能量為：則在體積V內，在到的能量范圍內，分子可能的微觀狀態數為：g——粒子可能的自旋而引入的簡并度。考慮平動自由度的能級是連續的，系統總分子數滿足：9/6/202310不考慮分子內部結構，只有平動自由度，分子能量為：則在系統的內能為：令：9/6/202311系統的內能為：令：8/3/202311

展開式保留第一項相當于近似為玻爾茲曼分布，弱簡并情形下，保留兩項。積分可得：9/6/202312展開式保留第一項相當于近似為玻爾茲曼分布，弱簡并情形第一項是根據玻爾茲曼分布得到的內能，第二項是微觀全同性原理引起的量子統計關聯所導致的附加內能。在弱簡并情形下，附加內能的數值是一個小量。費米氣體的附加內能為正，而玻色氣體的附加內能為負。可以認為，量子統計關聯使費米子之間出現等效的排斥作用，而玻色粒子之間出現等效的吸引作用。9/6/202313第一項是根據玻爾茲曼分布得到的內能，第二項是微觀全同性原§8.5金屬中的自由電子氣體在金屬中，價電子脫離原子在整個金屬中運動，稱為公有電子。公有電子在離子產生的勢場中運動，電子之間存在庫侖相互作用。在初步的近似下，可以把公有電子看作封閉在金屬體積中的自由粒子，稱為自由電子。經典統計的困難：根據能量均分定理，一個自由電子對金屬的熱容量將有3k/2的貢獻。但實驗發現，除在極低溫度下，金屬中自由電子的熱容量基本可以忽略。9/6/202314§8.5金屬中的自由電子氣體在金屬中，價電子脫離金屬中自由電子的費米統計理論金屬中自由電子形成強簡并費米氣體。以Cu原子為例：金屬中自由電子的費米統計根據費米分布，溫度為T時處在能量為的一個量子態上的平均電子數為：9/6/202315金屬中自由電子的費米統計理論金屬中自由電子形成強簡并費米則在體積V內，在到的能量范圍內，電子的微觀狀態數為：在體積V內，在到的能量范圍內，平均電子數為：9/6/202316則在體積V內，在到的能量范T=0K時的電子分布T=0K時，電子將盡可能占據能量最低的狀態，但泡利不相容原理限制每一個量子態最多只能容納一個電子。電子從的狀態起，依次填充至。是T=0K時電子的最大能量。9/6/202317T=0K時的電子分布T=0K時，電子將盡可能占據能量最低的——費米能量。令：——費米動量。——費米速率。——費米溫度。9/6/202318——費米能量。令：——費米動量。——費米速率。——費米溫度。大小的數值估計，以Cu為例：費米溫度：9/6/202319大小的數值估計，以Cu為例：費米溫度：8/3/2020K時電子氣體的總能量為：0K時電子氣體的平均內能：0K時電子氣體的壓強為：費米氣體在絕對零度下：具有很高的平均能量、動量，并且產生很大的壓強。微觀狀態數確定，熵為0。9/6/2023200K時電子氣體的總能量為：0K時電子氣體的平均內能：0K時電T〉0K時的電子分布：9/6/202321T〉0K時的電子分布：8/3/202321T〉0K時，只在μ附近量級為kT的范圍內，電子的分布與0K時的分布有差異。9/6/202322T〉0K時，只在μ附近量級為kT的范圍內，電子的分布與0K時自由電子熱容量的定量計算9/6/202323自由電子熱容量的定量計算8/3/2023239/6/2023248/3/202324當時，有：將C代入，有：9/6/202325當時，有：將C代入，有：8/3/202325電子的熱容量：9/6/202326電子的熱容量：8/3/202326常溫范圍電子的熱容量遠小于離子振動的熱容量。但在低溫范圍，離子振動的熱容量按T3迅速下降