2021/9/6Matlab快速入門（方程組求解）主講人：張老師Zhang

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in

camera我們將線性方程的求解分為兩類：一類是方程組求唯一解或求特解，另一類是方程組求無窮解即通解。可以通過系數矩陣的秩來判斷：若系數矩陣的秩r=n(n為方程組中未知變量的個數)，則有唯一解；若系數矩陣的秩r<n，則可能有無窮解；線性方程組的無窮解=對應齊次方程組的通解+非齊次方程組的一個特解；其特解的求法屬于解的第一類問題，通解部分屬第二類問題。解線性方程組，可以使用矩陣的左除“\”，即X＝A\B。>>A=[2,1,-3;3,-2,2;5,-3,-1];>>B=[5;5;16];%列向量>>X=A\BX

=1-3-212323

2

x

1+

2

x

=

5

+

x

2

-

3

x

3

=

5

3

x

-

2

x

5

x

-

3

x-

x

=

1

6

1指出：①線性方程組A*X＝B有兩種解法：X=A\B或X=inv(A)*B，但一般用第一種解法，在MATLAB中，第二種解法

所用時間是第一種解法的50倍。②可以看出，同樣解線性方程組，不同的算法的效率是有極大差距的，可見優化和選擇算法是非常重要的。③求逆運算inv(A)是重要的代數運算。解線性方程組1

2

3

4

x1

-

x2

+

4x3

-

2x4

=

0

x

-

x

-

x

+

2x

=

0

3x1

+

x2

+

7x3

-

2x4

=

0

x1

-

3x2

-12x3

+

6x4

=

0>>

a=[1

-1

4

-2;1

-1

-1

2;3

1

7

-2;1

-3

-12

6];>>

rref(a)ans

=1

0

0

00

1

0

00

0

1

00

0

0

1將矩陣A化為最簡階梯形R（A）=4=n；所以方程組只有零解。RREFReduced

rowechelonform2、解線性方程組1

2

3

2x1

+

3x2

+

x3

=

4

x

-

2x

+

4x

=

-5

3x1

+8x2

-

2x3

=13

4x1

-

x2

+

9x3

=

-6求齊次方程組的基礎解系>>

a=[2

3

1;1

-2

4;3

8

-2;4

-1

9];>>

b=[4;-5;13;-6];>>

c=null(a,'r')c

=-211求非齊次方程組的一個特解>>[l

u]=lu(a);>>

x0=u\(l\b)x0

=-4.37613.68811.6881所以方程組的一般解為)TT

-3124

3529 2989

X

=

k

(-2

1

1+

135

270

270

將矩陣對角化

-1

2 0

3

0A

=

-20

32

>>

a=[-1

2

0;-2

3

0;3

0

2];>>

[v,d]=eig(a)v

=

001379/1257379/1257-379/419379/1257379/1257-379/419d

=200010001-1V AV

=

dA的特征值為2，1，1多項式表示方法：在MATLAB中多項式p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是以向量p=[an

,an-1,…,a0]的形式儲存的.(1)系數向量直接輸入:例輸入多項式x^3-5x^2+6x-33.p=[1,-5,6,-33];poly2sym(p)%polynomial多項式,將系數向量表示成符號多項式

(2)矩陣的特征多項式輸入:例a=[1,2,3;2,3,4;3,4,5];p=poly(a);%求a的特征多項式系數向量

p1=poly2sym(p);%即為a的特征多項式由根創建多項式:例root=[-5,-3+4i,-3-4i];%是某個多項式的根

p=poly(root)%求相應的多項式的系數向量

P1=poly2sym(p)%將多項式系數向量表示成符號多項式f

=

x

2

+

x

2

+

x

2

+

x

4

+

2

x

x

+

2

x

x>>

a=[1

1

1

11

1

1

11

1

1

11

1

1

1];>>

format>>[u

t]=schur(a)u

=0.08460.49280.70710.50000.08460.4928-0.70710.5000-0.78150.6124t

= -0.00000-0.3732

0-0.6124

000.50000.500000-0.00000000000004.00001

2

3

4

1

2

1

3+

2

x1

x4

+

2

x2

x3

+

2

x2

x4

+

2

x3

x4X1

X2

X3

X4X1X2X3X4>>

a=[1

1

1

1;1

1

1

1;1

1

1

1;1

1

1

1];>>format

rat>>[ut]=schur(a)u

=596/70491095/2222985/1393

1/2596/70491095/2222-985/1393

1/2-1198/1533-789/21140

1/21079/1762-1079/17620

1/2t=*

0000

*00

“*”表示0

000

近似于零0

004FORMAT

RAT

Approximationby

ratio

of

small

integers.用正交變換化二次型為標準形1

23f

=

x

2

+

x

2

+

x

2

+

x

4

+

2

x

x3

4

1+

2

x2

x3+

2

x2

x42

+

2

x1

x+

2

x3

x4+

2

x1

x4結論：作正交變換

x1

0.08460.4928

0.7071 0.5000

y1

0.4928

-0.7071-0.3732

0-0.6124

0

x

0.