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文檔簡介
2021/9/6Matlab快速入門(方程組求解)主講人:張老師Zhang
EricQQ
WeiChat:
51154544嚴禁實用框架完整動態PPT模板大話成像公眾號All
in
camera我們將線性方程的求解分為兩類:一類是方程組求唯一解或求特解,另一類是方程組求無窮解即通解。可以通過系數矩陣的秩來判斷:若系數矩陣的秩r=n(n為方程組中未知變量的個數),則有唯一解;若系數矩陣的秩r<n,則可能有無窮解;線性方程組的無窮解=對應齊次方程組的通解+非齊次方程組的一個特解;其特解的求法屬于解的第一類問題,通解部分屬第二類問題。解線性方程組,可以使用矩陣的左除“\”,即X=A\B。>>A=[2,1,-3;3,-2,2;5,-3,-1];>>B=[5;5;16];%列向量>>X=A\BX
=1-3-212323
2
x
1+
2
x
=
5
+
x
2
-
3
x
3
=
5
3
x
-
2
x
5
x
-
3
x-
x
=
1
6
1指出:①線性方程組A*X=B有兩種解法:X=A\B或X=inv(A)*B,但一般用第一種解法,在MATLAB中,第二種解法
所用時間是第一種解法的50倍。②可以看出,同樣解線性方程組,不同的算法的效率是有極大差距的,可見優化和選擇算法是非常重要的。③求逆運算inv(A)是重要的代數運算。解線性方程組1
2
3
4
x1
-
x2
+
4x3
-
2x4
=
0
x
-
x
-
x
+
2x
=
0
3x1
+
x2
+
7x3
-
2x4
=
0
x1
-
3x2
-12x3
+
6x4
=
0>>
a=[1
-1
4
-2;1
-1
-1
2;3
1
7
-2;1
-3
-12
6];>>
rref(a)ans
=1
0
0
00
1
0
00
0
1
00
0
0
1將矩陣A化為最簡階梯形R(A)=4=n;所以方程組只有零解。RREFReduced
rowechelonform2、解線性方程組1
2
3
2x1
+
3x2
+
x3
=
4
x
-
2x
+
4x
=
-5
3x1
+8x2
-
2x3
=13
4x1
-
x2
+
9x3
=
-6求齊次方程組的基礎解系>>
a=[2
3
1;1
-2
4;3
8
-2;4
-1
9];>>
b=[4;-5;13;-6];>>
c=null(a,'r')c
=-211求非齊次方程組的一個特解>>[l
u]=lu(a);>>
x0=u\(l\b)x0
=-4.37613.68811.6881所以方程組的一般解為)TT
-3124
3529 2989
X
=
k
(-2
1
1+
135
270
270
將矩陣對角化
-1
2 0
3
0A
=
-20
32
>>
a=[-1
2
0;-2
3
0;3
0
2];>>
[v,d]=eig(a)v
=
001379/1257379/1257-379/419379/1257379/1257-379/419d
=200010001-1V AV
=
dA的特征值為2,1,1多項式表示方法:在MATLAB中多項式p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是以向量p=[an
,an-1,…,a0]的形式儲存的.(1)系數向量直接輸入:例輸入多項式x^3-5x^2+6x-33.p=[1,-5,6,-33];poly2sym(p)%polynomial多項式,將系數向量表示成符號多項式
(2)矩陣的特征多項式輸入:例a=[1,2,3;2,3,4;3,4,5];p=poly(a);%求a的特征多項式系數向量
p1=poly2sym(p);%即為a的特征多項式由根創建多項式:例root=[-5,-3+4i,-3-4i];%是某個多項式的根
p=poly(root)%求相應的多項式的系數向量
P1=poly2sym(p)%將多項式系數向量表示成符號多項式f
=
x
2
+
x
2
+
x
2
+
x
4
+
2
x
x
+
2
x
x>>
a=[1
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
1];>>
format>>[u
t]=schur(a)u
=0.08460.49280.70710.50000.08460.4928-0.70710.5000-0.78150.6124t
= -0.00000-0.3732
0-0.6124
000.50000.500000-0.00000000000004.00001
2
3
4
1
2
1
3+
2
x1
x4
+
2
x2
x3
+
2
x2
x4
+
2
x3
x4X1
X2
X3
X4X1X2X3X4>>
a=[1
1
1
1;1
1
1
1;1
1
1
1;1
1
1
1];>>format
rat>>[ut]=schur(a)u
=596/70491095/2222985/1393
1/2596/70491095/2222-985/1393
1/2-1198/1533-789/21140
1/21079/1762-1079/17620
1/2t=*
0000
*00
“*”表示0
000
近似于零0
004FORMAT
RAT
Approximationby
ratio
of
small
integers.用正交變換化二次型為標準形1
23f
=
x
2
+
x
2
+
x
2
+
x
4
+
2
x
x3
4
1+
2
x2
x3+
2
x2
x42
+
2
x1
x+
2
x3
x4+
2
x1
x4結論:作正交變換
x1
0.08460.4928
0.7071 0.5000
y1
0.4928
-0.7071-0.3732
0-0.6124
0
x
0.
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