空間幾何體的結構特征、直觀圖1空間幾何體的結構特征①空間幾何體多面體由若干個平面多邊形圍成的幾何體;旋轉體由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體.②棱柱(1)概念有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.(2)性質側棱都相等，側面是平行四邊形；兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側棱長與高相等，側面與對角面是矩形.(3)分類①按底面多邊形的邊數分為：三棱柱，四棱柱等.②按側棱是否垂直低面分為斜棱柱，直棱柱(底面是正多邊形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體)③棱錐(1)概念有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.(2)性質平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；正棱錐各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形；正棱錐中六個元素，即側棱、高、斜高、側棱在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角三角形.)(3)常見棱錐正三棱錐是底面是等邊三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐.正四面體是每個面都是全等的等邊三角形的三棱錐，正四面體是特殊的正三棱錐.(4)側面展開圖正n棱錐的側面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的.4棱臺(1)用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺.(2)棱臺的分類:由三棱錐、四棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺…….(3)正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺，正棱臺各側棱都相等，各側面都是全等的等腰梯形.5圓柱(1)概念以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.(2)性質上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.(3)側面展開圖圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.6圓錐(1)概念以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.(2)性質平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；軸截面是等腰三角形；如右圖:三角形SAB如上圖：l2(3)側面展開圖圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形.7圓臺(1)概念用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.8球體(1)概念以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.(2)性質球心與截面圓心的連線垂直于截面；R2=r2+d22空間幾何體的直觀圖①空間幾何體的直觀圖用來表示空間幾何體的平面圖形叫做空間幾何體的直觀圖，常用斜二測畫法畫它們的直觀圖.②用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，一般步驟如下：建立平面直角坐標系:在已知平面圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫出斜坐標系:在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應的x'軸和y'軸,兩軸相交于點O',且使∠x'O'y'=45度(或135度),它們確定的平面表示水平平面.畫對應圖形:在已知圖形平行于x軸的線段,在直觀圖中畫成平行于x'軸,長度保持不變.在已知圖形平行于y軸的線段,在直觀圖中畫成平行于y'軸,且長度為原來一半.對于一般線段，要在原來的圖形中從線段的各個端點引垂線，再按上述要求畫出這些線段，確定端點，從而畫出線段.擦去輔助線:圖畫好后,要擦去x'軸,y'軸及為畫圖添加的輔助線.③斜二測畫法口訣平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，眼見為實遮為虛.④斜二側畫法的面積是原來圖形面積的24(原來的高變成了45°的線段，且長度是原高的一半，因此新圖形的高是這個一半線段的22倍，故新高是原來高的24，而橫向長度不變，所以面積變為原面積的【題型一】空間幾何體的結構特征【典題1】給出下列命題：①底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；②若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③一個棱錐可以有兩個側棱和底面垂直；④一個棱錐可以有兩個側面和底面垂直；⑤所有側面都是正方形的四棱柱一定是正方體.其中正確的命題是()A.①②③B.①③C.②③④D.④【解析】對于①，底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，如圖所示，

若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱錐V?ABC表示正三棱錐，∴①錯誤；對于②，當有兩個側面垂直于底面時，該四棱柱不一定為直四棱柱，如兩個側面不是相鄰的時，側棱與底面不一定垂直，∴②錯誤；對于③，一個棱錐不能有兩條側棱和底面垂直，否則，這兩條側棱互相平行，∴③錯誤；對于④，一個棱錐可以有兩個側面和底面垂直，如①中圖形，∴④正確；對于⑤，所有側面都是正方形的四棱柱不一定是正方體，∵各相鄰側面并不一定都互相垂直，∴⑤錯誤．綜上，正確的命題是④．故選：D．【點撥】①正三棱錐是底面是等邊三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐.正四面體是每個面都是全等的等邊三角形的三棱錐，正四面體是特殊的正三棱錐；②若判斷含“一定”“都是”之類絕對性字眼的命題是錯誤，舉一個反例就行，比如判斷命題②、⑤；若命題是含“可能”字眼的，便舉個正例，比如判斷命題④；③判斷命題③，利用了反證法.【典題2】如圖所示,在一個長方體的容器中,里面裝有少量水,現在將容器繞著其底部的一條棱傾斜,在傾斜的過程中:(1)水面的形狀不斷變化,可能是矩形,也可能變成不是矩形的平行四邊形,對嗎?(2)水的形狀也不斷變化,可能是棱柱,也可能變為棱臺或棱錐,對嗎?(3)如果傾斜時,不是繞著底部的一條棱,而是繞著其底部的一個頂點,水面的形狀,水的形狀有何變化?【解析】(1)不對;水面的形狀就是用一個與棱(將長方體傾斜時固定不動的棱)平行的平面截長方體時截面的形狀,可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四邊形.易得四邊形FGHE是平行四邊形，又∵∴四邊形FGHE是矩形；(2)不對;水的形狀就是用與棱(將長方體傾斜時固定不動的棱)平行的平面將長方體截去一部分的幾何體,此幾何體是棱柱,水比較少時,是三棱柱;水多時,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱臺或棱錐.(3)用任意一個平面去截長方體,其截面形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形,因而水面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形;水的形狀可以是棱錐、棱柱,但不可能是棱臺.【點撥】本題中水的形狀就是用與棱(將長方體傾斜時固定不動的棱)平行的平面將長方體截去一部分的幾何體，第一要注意多種情況的考慮，比如可以想象平面α逐漸往上升，截面會出現多少種情況；第二要有什么量是不變的，主要就是平面FGHE均與平面BB1垂直的關系.鞏固練習1(★)給出下列三個命題①有四個相鄰側面互相垂直的棱柱是直棱柱；②各側面都是正方形的四棱柱是正方體；③底面是正三角形，各側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．其中真命題的個數是()A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】四個側面互相垂直的棱柱并不能保證側棱一定垂直于底面，故①錯誤；當底面是菱形時，各側面也可以是正方形，故②錯誤；當銳角為60°的菱形沿短的對角線折成本棱錐時，有可能不是正三棱錐，舉個特殊的三棱錐底面是正三角形，一個為等腰三角形的側面與底面垂直，這時三側面中，有一個是正三角形，兩個是等腰三角形，故③錯誤．故選D．2(★)一個棱柱是正四棱柱的條件是()A、底面是正方形，有兩個側面是矩形B、底面是正方形，有兩個側面垂直于底面C、底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直D、每個側面都是全等矩形的四棱柱【答案】D【解析】上、下底面都是正方形，且側棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．故A和B錯在有可能是斜棱柱，C錯在上下底面有可能不是正方形，D:底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直能保證上、下底面都是正方形，且側棱垂直于底面．故選D．3(★★)在一個棱長為4的正方體內，你認為最多放入的直徑為1的球的個數為()A．64 B．65 C．66 D．67【答案】C【解析】根據球體的特點，最多應該是放5層，第一層能放16個；第2層放在每4個小球中間的空隙，共放9個；第3層繼續往空隙放，可放16個；第4層同第2層放9個；第5層同第1、3層能放16個，所以最多可以放入小球的個數16+9+16+9+16=66(個)．故選C．4(★★)如圖是由三根細鐵桿PA、PB、PC組成的支架，三根桿的兩兩夾角都是60°，一個半徑為1的球放在支架上，則球心O到點P的距離為()A．2 B．3 C．2 D．3【答案】B【解析】連接OP交平面ABC于O′，∵三根鐵桿的兩兩夾角都是60°，∴△ABC和△PAB為正三角形，∴O'A=∵AO'⊥PO，OA⊥PA，∴△A∵半徑OA=1∴OP=3故選B．【題型二】空間幾何體的折疊和展開【典題1】如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A.2【解析】畫出幾何體的圖形，連結D1A，延長至G，使得AG=AD，連結C1B，延長至F，使得BF=BC，連結連結D1F，則D1F∴D1E+CE【點撥】此題屬于“最短路徑問題”:要讓線段D1E與EF共面，其實就是把平面ABCD沿著線段AB展開到與平面D1C1【典題1】小紅去禮品店給大毛買了一盒生日禮物，禮盒是長、寬、高分別為20cm、20cm、5cm的長方體．為美觀起見，禮品店服務員用彩繩做了一個新穎的捆扎．如圖所示，彩繩以A為起點，現沿著AB→BC→CD→DE→EF→FG→GH→HA環繞禮盒進行捆扎，其中A、B、E、F分別為下底面各棱的中點，C、D、G、H分別為上底面各棱上一點，則所用包裝彩繩的最短長度為()A．(40+152)cm B．(40+302)cm C．【解析】由A、B、E、F分別為下底面各棱的中點，可得AB+EF=20+20=40，由對稱性可得要求所用包裝彩繩的最短長度，可求BC+CD+DE的最小值，可將BC，CD，DE所在的平面展開到一個平面上，如圖所示可得B，C，D，E四點共線時，BC+CD+DE的和取得最小值152，則所用包裝彩繩的最短長度為40+302cm．故選鞏固練習1(★)下面圖形中是正方體展開圖的是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由正方體表面展開圖性質知A是正方體的展開圖；B折疊后第一行兩個面無法折起來，而且下邊沒有面，故不能折成正方體；C缺少一個正方形；B折疊后有一個面重合，另外還少一個面，故不成正方體．故選A．2(★★)如圖一個封閉的立方體，它6個表面各標出1、2、3、4、5、6這6個數字，現放成下面3個不同的位置，則數字1、2、3對面的數字是()A．4、5、6 B．6、4、5C．5、6、4 D．5、4、6【答案】D【解析】第一個正方體已知1，2，3第二個正方體已知1，3，4第三個正方體已知2，3，5且不同的面上寫的數字各不相同，則可知1對面標的是5，2對面標的是4，3對面標的是6，故選D．3(★★)北方的冬天戶外冰天雪地，若水管裸露在外，則管內的水就會結冰從而凍裂水管，給用戶生活帶來不便．每年冬天來臨前，工作人員就會給裸露在外的水管“保暖”在水管外面包裹保溫帶，用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位．某工作人員采用四層包裹法(除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層)如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線，相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一．設水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm．在圖2水管的側面展開圖中，此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是(保溫帶厚度忽略不計)()A．14B．14πC．1+4π【答案】D【解析】過點A作AE⊥D′B′，垂足為E，其展開圖如圖所示由水管直徑為4cm，所以水管的周長為AE=4πcm，則∠AB'E=α，又BE=所以cos∠α=B'E故選D．4(★★)如圖，把邊長為a的正方形剪去圖中的陰影部分，沿圖中所畫的折成一個正三棱錐，則這個正三棱錐的高是()A．133+23a B．133?【答案】D【解析】折疊之后的正三棱錐如圖，其中PA=PB=PC=a，AB=AC=BC=b，AO=2∴PO=PA2∵∠PAC=30°，∴AC即b2代入①，得PO=1+故選D．5(★★)如圖所示,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由頂點B沿棱柱側面(經過棱A(1)三棱柱側面展開圖的對角線長;(2)從B經M到C1的最短路線長及此時A1MAMQUOTE【答案】(1)210【解析】沿側棱BB1將正三棱柱的側面展開,得到一個矩形(1)矩形BB1B1所以三棱柱側面展開圖的對角線長為62(2)由側面展開圖可知:當B,M,C1三點共線時,由B經M到所以最短路線長為BC1=42顯然Rt△ABM≌Rt△A所以A1M=AM,即【題型三】斜二測畫法【典題1】如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中A'B'=A'C'，A'B'∥x'軸，A'C'∥y'軸，那么△ABC是()A．等腰三角形B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【解析】根據斜二測畫法中平行與坐標軸的直線，平行關系不變，且平行于x軸的線段，長度不變，平行于y軸的線段，長度變為原來的一半，∴直觀圖△A'B'C'的原來圖形△ABC是直角三角形，且AC=2AB，不是等腰直角三角形．故選：D．【點撥】斜二測法：平行于x軸的線段，長度不變，平行于y軸的線段，長度變為原來的一半.【典題2】梯形A1B1C1D1(如圖)是一水平放置的平面圖形ABCD的直觀圖(斜二測)，若AA.5 B.10 C.52 D.【解析】方法一如圖，根據直觀圖畫法的規則，直觀圖中A1D1∥O'y'，A1從而得出AD⊥DC，且AD=2A直觀圖中A1B1∥C1D1，即四邊形ABCD上底和下底邊長分別為2，3，高為2，如圖．故其面積S=12(2+3)×2=5方法二∵∠A1∴S梯