第一章矢量分析比賽試講1第1頁，課件共30頁，創作于2023年2月本章內容1.1矢量代數1.2三種常用的正交曲線坐標系1.3

標量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環流與旋度1.6無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理2第2頁，課件共30頁，創作于2023年2月1.4矢量場的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線OM

3第3頁，課件共30頁，創作于2023年2月2.矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大小？引入通量的概念。

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規定曲面的法向矢量由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是面積元矢量4第4頁，課件共30頁，創作于2023年2月通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產生矢量場的源的關系。通量的物理意義5第5頁，課件共30頁，創作于2023年2月3.矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。6第6頁，課件共30頁，創作于2023年2月圓柱坐標系球坐標系直角坐標系散度的表達式：散度的有關公式：7第7頁，課件共30頁，創作于2023年2月直角坐標系下散度表達式的推導

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為

不失一般性，令包圍P點的微體積

V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標系中計算zzDxDyDP8第8頁，課件共30頁，創作于2023年2月根據定義，則得到直角坐標系中的散度表達式為

同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為9第9頁，課件共30頁，創作于2023年2月4.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。10第10頁，課件共30頁，創作于2023年2月1.5矢量場的環流與旋度

矢量場的環流與旋渦源

例如：流速場。不是所有的矢量場都由通量源激發。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。11第11頁，課件共30頁，創作于2023年2月

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場的環流與電流的關系。

磁感應線要么穿過曲面磁感應線要么同時穿入和穿出曲面磁感應線12第12頁，課件共30頁，創作于2023年2月如果矢量場的任意閉合回路的環流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。環流的概念矢量場對于閉合曲線C的環流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即如果矢量場對于任何閉合曲線的環流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。13第13頁，課件共30頁，創作于2023年2月

矢量場的環流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內旋渦源宏觀聯系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。

2.矢量場的旋度（）

（1）環流面密度稱為矢量場在點M處沿方向

的環流面密度。特點：其值與點M處的方向

有關。過點M作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當

S

0時，極限14第14頁，課件共30頁，創作于2023年2月而

推導

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖

直角坐標系中、、的表達式15第15頁，課件共30頁，創作于2023年2月于是

同理可得故得概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數值為M點的環流面密度最大值，其方向為取得環量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質：（2）矢量場的旋度16第16頁，課件共30頁，創作于2023年2月旋度的計算公式:直角坐標系圓柱坐標系球坐標系17第17頁，課件共30頁，創作于2023年2月旋度的有關公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零18第18頁，課件共30頁，創作于2023年2月3.斯托克斯定理斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消

從旋度的定義出發，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即19第19頁，課件共30頁，創作于2023年2月4.散度和旋度的區別

20第20頁，課件共30頁，創作于2023年2月1.矢量場的源散度源：是標量，產生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；

旋度源：是矢量，產生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6無旋場與無散場21第21頁，課件共30頁，創作于2023年2月2.矢量場按源的分類（1）無旋場性質：

，線積分與路徑無關，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場22第22頁，課件共30頁，創作于2023年2月（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場23第23頁，課件共30頁，創作于2023年2月（3）無旋、無散場（源在所討論的區域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分24第24頁，課件共30頁，創作于2023年2月1.7拉普拉斯運算與格林定理

1.拉普拉斯運算標量拉普拉斯運算概念：——拉普拉斯算符直角坐標系計算公式：圓柱坐標系球坐標系25第25頁，課件共30頁，創作于2023年2月矢量拉普拉斯運算概念：即注意：對于非直角分量，直角坐標系中：如：26第26頁，課件共30頁，創作于2023年2月2.格林定理

設任意兩個標量場

及

，若在區域V中具有連續的二階偏導數，那么，可以證明該兩個標量場

及

滿足下列等式：

根據方向導數與梯度的關系，上式又可寫成以上兩式稱為標量第一格林定理。SV

,

式中S

為包圍V的閉合曲面，為標量場

在S表面的外法線

方向上的偏導數。27第27頁，課件共30頁，創作于2023年2月基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標量第二格林定理。

格林定理說明了區域V中的場與邊界S上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區域中場的求解問題轉變為邊界上場的求解問題。

此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。28第28頁，課件共30頁，創作于2023年2月亥姆霍茲定理:

若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數連續有界