第六章數字濾波器根本結構

第一節

數字濾波器結構的表示方法

數字濾波器的作用是對輸入信號起到數字濾波的作用；DF是由差分方程描述的一類特殊的離散時間系統。數字濾波實際上是一種運算過程，其功能是將一組輸入的數字序列通過一定的運算后轉變為另一組輸出的數字序列。因此數字濾波器本身就是一臺數字式的處理設備。不同的運算處理方法決定了濾波器的實現結構的不同。

一、什么是數字濾波器數字濾波器一般可以用兩種方法實現：一種是根據描述數字濾波器的數學模型或信號流圖，用數字硬件裝配成一臺專門的設備，構成專用的信號處理機；另一種方法就是直接利用通用計算機，將所需要的運算編成程序讓計算機來執行，這也就是用軟件來實現數字濾波器。由第1章已經知道，一個輸入序列x(n)，通過一個單位脈沖響應為h(n)的線性時不變系統后，其輸出響應y(n)為將上式兩邊經過傅里葉變換，可得式中，Y(ejω)、X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數，H(ejω)是系統的頻率響應函數。b=1;a=[1,-0.9];%y(n)-0.9y(n-1)=x(n)，即H(Z)=1/(1-0.9z)x=[ones(1,10),zeros(1,40)];y=filter(b,a,x);N=64;X=fft(x,N);Y=fft(y,N);可以看出，輸入序列的頻譜X(ejω)經過濾波后，變為X(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些頻率上是比較小的，那么輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適中選擇H(ejω)，使得濾波后的X(ejω)H(ejω)符合人們的要求，這就是數字濾波器的濾波原理。和模擬濾波器一樣，線性數字濾波器按照頻率響應的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如下圖。〔系統的頻率響應H(ejω)是以2π為周期的。)圖

數字濾波器的理想幅頻特性二、數字濾波器的工作原理h(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)那么LSI系統的輸出為：三、數字濾波器表示方法有兩種表示方法：方框圖表示法；流圖表示法.數字濾波器中,信號只有延時，乘以常數和相加三種運算。所以DF結構中有三個根本運算單元：單位延時，乘常數的乘法器，加法器。

數字濾波器是離散時間系統，所處理的信號是離散時間信號。一般時域離散系統或網絡可以用差分方程、單位脈沖響應以及系統函數進行描述。如果系統輸入、輸出服從N階差分方程(6-1)那么其系統函數，即濾波器的系統函數為(6-2)為了用專用硬件或軟件實現對輸入信號的處理，需要把式〔6-1〕或式(6-2)變換成一種算法。對于同一個系統函數H(z)，對輸入信號的處理可實現的算法有很多種，每一種算法對應于一種不同的運算結構。例如：

(6-3)觀察式(6-3)可知，對應于每一種不同的運算結構，我們都可以用三種根本的運算單元：乘法器、加法器和單位延時器來實現。這三種根本運算單元的常用流圖表示方法如圖6-1所示。圖6-1三種根本運算的方框圖及信號流圖表示把上述三個根本單元互聯，可構成不同數字網絡或運算結構，也有方框圖表示法和流圖表示法。單位延時系數乘相加圖6-2一階系統的方框圖及信號流圖表示

圖6-3二階系統的方框圖及信號流圖表示

可通過流圖或方框圖看出系統的運算步驟和運算結構。以后我們用流圖來分析數字濾波器結構。四、數字濾波器的分類濾波器的種類很多，分類方法也不同。1.從功能上分；低通、帶通、高通、帶阻。2.從實現方法上分:FIR、IIR3.從設計方法上來分：Chebyshev(切比雪夫〕,Butterworth〔巴特沃斯〕4.從處理信號分：經典濾波器、現代濾波器1、經典濾波器假定輸入信號x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的頻帶。當x(n〕經過一個線性系統〔即濾波器〕后即可將欲去除的成分有效地去除。但如果信號和噪聲的頻譜相互重疊，那么經典濾波器將無能為力。wc|H(ejw)||X(ejw)|wwc有用無用|Y(ejw)|wwc2.現代濾波器它主要研究內容是從含有噪聲的數據記錄〔又稱時間序列〕中估計出信號的某些特征或信號本身。一旦信號被估計出，那么估計出的信號將比原信號會有高的信噪比。現代濾波器把信號和噪聲都視為隨機信號，利用它們的統計特征〔如自相關函數、功率譜等〕導出一套最正確估值算法，然后用硬件或軟件予以實現。現代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作，這一類濾波器的代表為：維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、線性預測器、自適應濾波器。本課程主要講經典濾波器。3.模擬濾波器和數字濾波器經典濾波器從功能上分又可分為：低通濾波器〔LPAF/LPDF):Lowpassanalogfilter帶通濾波器(BPAF/BPDF):Bandpassanalogfilter高通濾波器(HPAF/HPDF):Highpassanalogfilter帶阻濾波器(BSAF/BSDF):Bandstopanalogfilter即它們每一種又可分為：數字(Digital)和模擬(Analog)濾波器。4.模擬濾波器的理想幅頻特性LPAFHPAFBPAFBSAF5.數字濾波器的理想幅頻特性數字濾波器按照頻率響應的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如下圖。〔系統的頻率響應H(ejω)是以2π為周期的。)LPDFHPDFBPDFBSDF五、研究DF實現結構意義1.濾波器的根本特性〔如有限長沖激響應FIR與無限長沖激響應IIR〕決定了結構上有不同的特點。2.不同結構所需的存儲單元及乘法次數不同，前者影響復雜性，后者影響運算速度。3.有限精度〔有限字長〕實現情況下，不同運算結構的誤差及穩定性不同。4.好的濾波器結構應該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實現，便于時分復用。六、本章介紹主要的內容1.介紹IIR濾波器實現的根本結構。2.介紹FIR濾波器實現的根本結構。第二節

IIRDF的根本結構一、IIRDF特點1.單位沖激響應h(n)是無限長的n→∞2.系統函數H(z)在有限Z平面〔0<|Z|<∞)有極點存在。3.結構上存在輸出到輸入的反響，也即結構上是遞歸型的。二、IIRDF根本結構IIRDF類型有：直接型、級聯型、并聯型。直接型結構：直接I型、直接II型〔典范型〕。1、IIRDF系統函數及差分方程

一個N階IIRDF的系統函數可表示為：以下我們討論M<=N情況。那么這一系統差分方程為：

從這個差分方程表達式可以看出，系統的輸出y(n)由兩部分構成：第一部分 是一個對輸入x(n)的M階延時鏈結構，每階延時抽頭后加權相加，構成一個橫向結構網絡。第二部分 是一個對輸出y(n)的N階延時鏈的橫向結構網絡，是由輸出到輸入的反饋網絡。由這兩部分相加構成輸出，從圖上可以看出，直接Ⅰ型結構需要（N＋M）個延時器和（N＋M

＋1）個乘法器。2、直接I型

〔1)直接I型流圖圖6-4直接Ⅰ型結構

第一個網絡實現系統的零點，第二個網絡實現系統的極點。(2)結構的特點此結構的特點為：(1)兩個網絡級聯：第一個橫向結構M節延時網絡實現零點，第二個有反響的N節延時網絡實現極點。(2)共需(N+M)級延時單元(3)系數ai,bi不是直接決定單個零極點，因而不能很好地進行濾波器性能控制。(4)極點對系數的變化過于靈敏，從而使系統頻率響應對系統變化過于靈敏，也就是對有限精度〔有限字長〕運算過于靈敏，容易出現不穩定或產生較大誤差。3、直接II型〔正準型/典范型〕

〔1)直接II型原理將上面直接型結構的兩局部看成兩個獨立的網絡〔即兩個子系統〕。原理：一個線性時不變系統，假設交換其級聯子系統的次序，系統函數不變。把此原理應用于直接I型結構。即：〔1〕交換兩個級聯網絡的次序〔2〕合并兩個具有相同輸入的延時支路。得到另一種結構即直接II型。(2)直接II型的結構流圖過程

1--對調x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bM-1bMZ-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1第一局部第二局部對調x(n)y(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM-1bMZ-1Z-1對調(3)直接II型的結構流圖過程

2--合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bM+1bMy(n)y(n)

由于對調后前后兩路都有一條內容完全相同的延時鏈，可以合并為一條即可。這就是直接II型的結構流圖。(4)直接II型特點直接II型結構特點：(1)兩個網絡級聯。第一個有反響的N節延時網絡實現極點；第二個橫向結構M節延時網絡實現零點。(2)實現N階濾波器〔一般N>=M)只需N級延時單元，所需延時單元最少。故稱典范型。(3)同直接I型一樣，具有直接型實現的一般缺點。例子IIRDF系統函數，畫出直接I型、直接II型的結構流圖。例子IIRDF系統函數，畫出直接I型、直接II型的結構流圖。解：為了得到直接I、II型結構，必須將H(z)代為Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反響局部系數符號4、級聯型結構

(1)系統函數因式分解一個N階系統函數可用它的零、極點來表示即系統函數的分子、分母進行因式分解：(2)系統函數系數分析(3)根本二階節的級聯結構(4)濾波器的根本二階節所以，濾波器就可以用假設干個二階網絡級聯起來構成。這每一個二階網絡也稱濾波器的根本二階節〔即濾波器的二階節〕。一個根本二階節的系統函數的形式為：一般用直接II型〔正準型、典范型表示〕x(n)β1ia2iZ-1Z-1a1iβ2iy(n)(5)用二階節級聯表示的濾波器系統整個濾波器那么是多個二階節級聯x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...A例子設IIR數字濾波器系統函數為：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)(6)級聯結構的特點從級聯結構中看出：它的每一個根本節只關系到濾波器的某一對極點和一對零點。調整β1i,β2i,只單獨調整濾波器第I對零點，而不影響其它零點。同樣，調整a1i,a2i,……只單獨調整濾波器第I對極點，而不影響其它極點。級聯結構特點：(a)每個二階節系數單獨控制一對零點或一對極點，有利于調整濾波器頻率響應性能。(b)分子分母中二階因子可以配合成各種根本二階節的方式，而各二階根本節的排列次序也可以不同，它們都能代表同一個系統函數H(z)。但是，當用二進制表示時，只能采用有限位長，其所帶來的誤差，對各種實現方案是不一樣的。因而對于配合與排列次序，都存在著最優化的問題。5、并聯型

(1)系統函數的局部分式展開將系統函數展成局部分式的形式：用并聯的方式實現DF。“相加〞在電路中實現用并聯。如果遇到某一系數為復數，那么一定有另一個為共軛復數，將它們合并為二階實數的局部分式。(2)并聯型根本二階節結構并聯型的根本二階節的形式：其中：要求分子比分母小一階x(n)β0a2Z-1Z-1a1β1y(n)(3)根本二階節的并聯結構AN1Z-1a1x(n)aN1a11Z-1Z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2其實現結構為：Z-1Z-1Z-1(4)并聯型特點(1)可以單獨調整極點位置，但不能象級聯那樣直接控制零點(因為只為各二階節網絡的零點，并非整個系統函數的零點)。(2)其誤差最小。因為并聯型各根本節的誤差互不影響，所以比級聯誤差還少。假設某一支路a1誤差為1％，但總系統的誤差仍可到達少1％。(因為分成a1,a2…...支路).注意：(1)為什么二階節是最根本的？因為二階節是實系數，而一階節一般為復系數。(2)統一用二階節表示，保持結構上的一致性，有利于時分多路復用。(3)級聯結構與并聯結構的根本二階節是不同的。〔5〕例子其并聯結構為：x(n)Z-1Z-114y(n)161-61Z-1〔5〕例子其并聯結構為：x(n)Z-1Z-1-3/4y(n)1/2將網絡中所有支路的方向顛倒，但保持支路增益不變，并將輸入與輸出也顛倒過來，以使得源節點變成匯節點，匯節點變成源節點，那么得到了系統的一種新的結構。這一過程，成為轉置。轉置流圖與原流圖有相同的系統函數。z-1y[n]x[n]az-1y[n]x[n]a轉置按前向通道從左到右z-1y[n]x[n]a容易看出，轉置前后，系統函數均為：6、轉置形式直接I型與轉置…………z-1z-1z-1z-1z-1z-1b0b1b2bM-1bMa1a2aN-1aNy[n]x[n]直接I型…………z-1z-1z-1z-1z-1z-1b0a1a2aN-1aNb1b2bM-1bMy[n]x[n]轉置直接II型與轉置轉置直接II型………z-1z-1z-1b0a1a2aN-1aNb1b2bN-1bNy[n]x[n]………z-1z-1z-1b0b1b2bN-1bNa1a2aN-1aNy[n]x[n]關于轉置形式的幾個要點轉置前后系統函數不變。轉置前后的根本結構不變，信號流圖中的支路、延遲環節個數和系數也都不變。信號流圖的支路是有方向性的，這種方向性決定了信號的流向，以及各個環節的時間先后，因此結構的轉置，必然引起實現上的不同。轉置形式的主要意義，在于提供實現結構的多種可能。第三節

FIRDF的結構

〔有限長沖激響應濾波器〕一、FIRDF的特點(1)系統的單位沖激響應h(n)在有限個n值處不為零。即h(n)是個有限長序列。(2)系統函數|H(z)|在|z|>0處收斂，極點全部在z=0處(即FIR一定為穩定系統)(3)結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入反響。但有些結構中〔例如頻率抽樣結構〕也包含有反響的遞歸局部。二、FIR的系統函數及差分方程長度為N的單位沖激響應h(n)的系統函數為：三、FIR濾波器實現根本結構〔1〕FIR的橫截型結構〔直接型〕〔2〕FIR的級聯型結構〔3〕FIR的線性相位結構〔4〕FIR的快速卷積結構1.FIR直接型結構

〔卷積型、橫截型〕

(1)流圖h(0)h(1)h(2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)轉置〔2〕框圖Z-1Z-1Z-1Z-1…….x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2.級聯型結構

〔1〕流圖當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將H(z)系統函數分解成二階實系數因子的形成：即可以由多個二階節級聯實現，每個二階節用橫截型結構實現。x(n)β11Z-1Z-1β21β12Z-1Z-1β22β1N/2Z-1Z-1β2N/2y(n)…...β01β02β0N/21〔2〕級聯型結構特點由于這種結構所需的系數比直接型多，所需乘法運算也比直接型多，很少用。由于這種結構的每一節控制一對零點，因而只能在需要控制傳輸零點時用。3.線性相位FIR型結構

〔1〕定義所謂線性相位：是指濾波器產生的相移與輸入信號頻率成線性關系。〔2〕線性相位FIRDF具有特性h(n)是因果的，為實數，且滿足對稱性。即滿足約束條件：h(n)=±h(N-1-n)其中:h(n)為偶對稱時，h(n)=h(N-1-n);h(n)為奇對稱時，h(n)=-h(N-1-n);下面我們針對h(n)奇、偶進行討論。〔3〕h(n)為偶對稱，N=偶數時(a)FIR的線性相位的特性令n'=N-1-n代入用n=n'再用n=n',并應用