2023/9/21

目錄第二章解析函數第三章復變函數的積分第四章解析函數的級數表示第五章留數及其應用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復數與復變函數2023/9/22第七章拉普拉斯變換

上一章介紹的傅立葉變換在許多領域中發揮了重要的作用，特別是在信號處理領域，直到今天它仍然是最基本的分析和處理工具，甚至可以說信號分析本質上即是傅氏分析（譜分析）．但是任何東西都有它的局限性，傅氏變換也是如此．因而人們針對傅氏變換一些不足進行了各種各樣的改進．這些改進大體分為兩個方面，其一是提高它對問題的刻畫能力；其二是擴大它本身的適用范圍．本章介紹的是后面這種情況．

2023/9/23第七章拉普拉斯變換

7.1拉普拉斯變換的概念

7.2拉氏變換的性質7.3拉普拉斯逆變換7.4拉氏變換的應用及綜合舉例本章小結思考題2023/9/24第一節拉普拉斯變換的概念

1．拉普拉斯變換的定義

2023/9/25例1．解：1/s的拉氏逆變換為哪個？？？2023/9/26例2．解：由上式可得：2023/9/27第二節拉氏變換的性質1．線性性質一、線性與相似性質

2023/9/28例1．解：

w偶函數

w奇函數2023/9/29例2．解：2．相似性質2023/9/210二、微分性質

1．導數的象函數推廣：此性質使我們有可能將函數的微分方程轉化為的代數方程，因此它對分析線性系統有重要的作用．2023/9/211例3．解：利用線性性質及微分性質，有:代入初值:有前面結果，可以得到：對方程兩邊取拉氏變換，有:利用線性性質，有:解得:2023/9/2122．象函數的導數一般地有例4．解：同理例5．2023/9/213三、積分性質

1．積分的象函數推廣：２．象函數的積分推廣：2023/9/214例5．解：2023/9/215四、延遲與位移性質

1．位移性質若則有證明：這個性質表明：象原函數乘以指數函數其象函數做位移的拉氏變換等于2023/9/216例6．設求解：令則據積分性質得：所以2023/9/2172．延遲性質若或證明：由定義2023/9/218例7．求函數的拉氏變換．解：已知由延遲性知例8．求函數的拉氏變換．解：因為所以2023/9/219五、周期函數的拉氏變換

設逐段光滑，則證明：由定義有2023/9/220幾個常用函數的拉氏變換2023/9/221六、卷積與卷積定理

1．卷積的概念前面討論兩函數傅氏卷積為則記作：2023/9/222例1．解：2．卷積的性質2023/9/2233．卷積定理或證明：2023/9/224推論：則這性質說明：函數卷積的拉氏變換等于其象函數的乘積．例2．求下列卷積的拉氏變換解：2023/9/225第三節拉普拉斯逆變換一、反演積分公式

構成一對互逆的積分變換公式，拉氏變換對．2023/9/226二、利用留數計算反演積分

定理2：

即：計算復變函數積分通常比較困難，可以利用留數方法拉計算這個反演積分．2023/9/227例1．解：法一利用部分分式求解解：法二利用卷積求解2023/9/228根據卷積定理有：解：法二利用留數求解及留數計算法則有：2023/9/229第四節拉普拉斯變換的應用及綜合題

對于一個系統，無論是機械的，電的，要想真正了解、分析與研究，就應該對該系統建立描述系統數量特性的數學模型或把面放窄一點來考慮就要建立該系統的微分方程，尤其在一些線性電路上，因為這一類線性電路是滿足疊加定原理的系統，它們在自動控制中占有很重要的地位，本節著重是對建立的微分方程，通過用拉氏變換的一套方法來解微分方程．

2023/9/230例1．解：方程兩邊取拉氏變換，得：由拉氏變換的性質及初始條件得：取逆變換，得：2023/9/231用拉