./一元二次方程與二次函數提高練習題一．選擇題〔共11小題1．已知關于x的方程〔m+2x2﹣3x+1=0有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍是〔A．且m≠﹣2 B．且m≠﹣2 C．D．2．若△ABC的一邊a為4,另兩邊b、c分別滿足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,則△ABC的周長為〔A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或103．〔2008?隨州如圖,要使輸入的x值與輸出的y值相等,則這樣的x值有〔A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．若a,b,c為三角形三邊,則關于的二次方程x2+〔a﹣bx+c2=0的根的情況是〔A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．沒有實數根 D．無法確定5．如果關于x的方程7x2+px+q=0的兩個根為2和﹣3,那么二次三項式7x2+px+q可分解為〔A．〔x﹣2〔x+3 B．〔x+2〔x﹣3 C．7〔x﹣2〔x+3 D．7〔x+2〔x﹣36．在同一平面直角坐標系中,函數y=ax2+bx與y=bx+a的圖象可能是〔A． B． C． D．7．若拋物線y=〔x﹣m2+〔m+1的頂點在第一象限,則m的取值范圍為〔A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜08．如圖為二次函數y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象,則下列說法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④當﹣1＜x＜3時,y＞0其中正確的個數為〔A．1 B．2 C．3 D．49．設b＞0,二次函數y=ax2+bx+a2﹣1的圖象為下列之一,則a的值為〔A．﹣1 B．1 C．D．10．拋物線y=2x2,y=﹣2x2,共有的性質是〔A．開口向下 B．對稱軸是y軸C．都有最高點 D．y隨x的增大而增大11．小智將如圖兩水平線L1、L2的其中一條當成x軸,且向右為正向；兩鉛直線L3、L4的其中一條當成y軸,且向上為正向,并在此坐標平面上畫出二次函數y=ax2+2ax+1的圖形．關于他選擇x、y軸的敘述,下列何者正確？〔〔第11小題圖〔第15小題圖A．L1為x軸,L3為y軸 B．L1為x軸,L4為y軸C．L2為x軸,L3為y軸 D．L2為x軸,L4為y軸二．填空題〔共6小題12．定義：給定關于x的函數y,對于該函數圖象上任意兩點〔x1,y1,〔x2,y2,當x1＜x2時,都有y1＜y2,稱該函數為增函數,根據以上定義,可以判斷下面所給的函數中,是增函數的有〔填上所有正確答案的序號①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2〔x＞0；④y=﹣．13．下列函數〔其中n為常數,且n＞1①y=〔x＞0；②y=〔n﹣1x；③y=〔x＞0；④y=〔1﹣nx+1；⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0中,y的值隨x的值增大而增大的函數有個．14．在直角坐標系xOy中,對于點P〔x,y和Q〔x,y′,給出如下定義：若y′=,則稱點Q為點P的"可控變點"．例如：點〔1,2的"可控變點"為點〔1,2,點〔﹣1,3的"可控變點"為點〔﹣1,﹣3．〔1若點〔﹣1,﹣2是一次函數y=x+3圖象上點M的"可控變點",則點M的坐標為．〔2若點P在函數y=﹣x2+16〔﹣5≤x≤a的圖象上,其"可控變點"Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16＜y′≤16,則實數a的取值范圍是．15．如圖,在平面直角坐標系中,點A在第二象限,以A為頂點的拋物線經過原點,與x軸負半軸交于點B,對稱軸為直線x=﹣2,點C在拋物線上,且位于點A、B之間〔C不與A、B重合．若△ABC的周長為a,則四邊形AOBC的周長為〔用含a的式子表示．16．如圖,拋物線y=ax2+bx+c〔a＞0的對稱軸是過點〔1,0且平行于y軸的直線,若點P〔4,0在該拋物線上,則4a﹣2b+c的值為．17．請寫出一個開口向上,并且與y軸交于點〔0,1的拋物線的解析式,y=．三．解答題〔共13小題18．已知關于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2x+2=0．〔1證明：不論m為何值時,方程總有實數根；〔2m為何整數時,方程有兩個不相等的正整數根．19．某商場銷售一批名牌襯衣,平均每天可售出20件,每件襯衣盈利40元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施．經調查發現,如果每件襯衣降價10元,商場平均每天可多售出20件．若商場平均每天盈利1200元,每件襯衣降價多少元？20．閱讀下面的例題與解答過程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化為|x|2﹣|x|﹣2=0．設|x|=y,則y2﹣y﹣2=0．解得y1=2,y2=﹣1．當y=2時,|x|=2,∴x=±2；當y=﹣1時,|x|=﹣1,∴無實數解．∴原方程的解是：x1=2,x2=﹣2．在上面的解答過程中,我們把|x|看成一個整體,用字母y代替〔即換元,使得問題簡單化、明朗化,解答過程更清晰．這是解決數學問題中的一種重要方法﹣﹣換元法．請你仿照上述例題的解答過程,利用換元法解下列方程：〔1x2﹣2|x|=0；〔2x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．21．閱讀下列材料：求函數的最大值．解：將原函數轉化成x的一元二次方程,得．∵x為實數,∴△==﹣y+4≥0,∴y≤4．因此,y的最大值為4．根據材料給你的啟示,求函數的最小值．22．如圖,四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED邊長,易知,這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為"勾系一元二次方程"．請解決下列問題：〔1寫出一個"勾系一元二次方程"；〔2求證：關于x的"勾系一元二次方程"必有實數根；〔3若x=﹣1是"勾系一元二次方程"的一個根,且四邊形ACDE的周長是6,求△ABC面積．23．已知點A〔﹣2,n在拋物線y=x2+bx+c上．〔1若b=1,c=3,求n的值；〔2若此拋物線經過點B〔4,n,且二次函數y=x2+bx+c的最小值是﹣4,請畫出點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的圖象,并說明理由．24．如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M〔1,1,則稱此拋物線為定點拋物線．〔1張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的一個解析式．小敏寫出了一個答案：y=2x2+3x﹣4,請你寫出一個不同于小敏的答案；〔2張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y=﹣x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式,請你解答．25．如圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的邊長為4,頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸,拋物線y=﹣x2+bx+c經過B、C兩點,點D為拋物線的頂點,連接AC、BD、CD．〔1求此拋物線的解析式．〔2求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABCD的面積．26．如圖,拋物線y=x2﹣bx+c交x軸于點A〔1,0,交y軸于點B,對稱軸是x=2．〔1求拋物線的解析式；〔2點P是拋物線對稱軸上的一個動點,是否存在點P,使△PAB的周長最小？若存在,求出點P的坐標；若不存在,請說明理由．27．已知關于x的方程kx2+〔2k+1x+2=0．〔1求證：無論k取任何實數時,方程總有實數根；〔2當拋物線y=kx2+〔2k+1x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數,且k為正整數時,若P〔a,y1,Q〔1,y2是此拋物線上的兩點,且y1＞y2,請結合函數圖象確定實數a的取值范圍；〔3已知拋物線y=kx2+〔2k+1x+2恒過定點,求出定點坐標．28．如圖,某足球運動員站在點O處練習射門,將足球從離地面0.5m的A處正對球門踢出〔點A在y軸上,足球的飛行高度y〔單位：m與飛行時間t〔單位：s之間滿足函數關系y=at2+5t+c,已知足球飛行0.8s時,離地面的高度為3.5m．〔1足球飛行的時間是多少時,足球離地面最高？最大高度是多少？〔2若足球飛行的水平距離x〔單位：m與飛行時間t〔單位：s之間具有函數關系x=10t,已知球門的高度為2.44m,如果該運動員正對球門射門時,離球門的水平距離為28m,他能否將球直接射入球門？29．為滿足市場需求,某超市在五月初五"端午節"來臨前夕,購進一種品牌粽子,每盒進價是40元．超市規定每盒售價不得少于45元．根據以往銷售經驗發現；當售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒．〔1試求出每天的銷售量y〔盒與每盒售價x〔元之間的函數關系式；〔2當每盒售價定為多少元時,每天銷售的利潤P〔元最大？最大利潤是多少？〔3為穩定物價,有關管理部門限定：這種粽子的每盒售價不得高于58元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,那么超市每天至少銷售粽子多少盒？30．為了解都勻市交通擁堵情況,經統計分析,都勻彩虹橋上的車流速度v〔千米/小時是車流密度x〔輛/千米的函數,當橋上的車流密度達到220輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0千米/小時；當車流密度為20輛/千米時,車流速度為80千米/小時．研究表明：當20≤x≤220時,車流速度v是車流密度x的一次函數．〔1求彩虹橋上車流密度為100輛/千米時的車流速度；〔2在交通高峰時段,為使彩虹橋上車流速度大于40千米/小時且小于60千米/小時,應控制彩虹橋上的車流密度在什么范圍內？〔3當車流量〔輛/小時是單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數,即：車流量=車流速度×車流密度．當20≤x≤220時,求彩虹橋上車流量y的最大值．一元二次方程與二次函數提高練習題參考答案與試題解析一．選擇題〔共11小題1．〔2010?XX區一模已知關于x的方程〔m+2x2﹣3x+1=0有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍是〔A．且m≠﹣2 B．且m≠﹣2 C． D．[考點]根的判別式．[專題]壓軸題．[分析]在與一元二次方程有關的求值問題中,必須滿足下列條件：〔1二次項系數不為零；〔2在有不相等的實數根下必須滿足△=b2﹣4ac＞0．[解答]解：根據題意列出方程組：,解得m且m≠﹣2,故選A．[點評]總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：〔1△＞0?方程有兩個不相等的實數根；〔2△=0?方程有兩個相等的實數根；〔3△＜0?方程沒有實數根．2．〔2010?濱湖區一模若△ABC的一邊a為4,另兩邊b、c分別滿足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,則△ABC的周長為〔A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或10[考點]根與系數的關系；三角形三邊關系．[專題]壓軸題．[分析]由于兩邊b、c分別滿足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,可求出b,c的值,而△ABC的一邊a為4,由此即可求出△ABC的一邊a為4周長．[解答]解：∵兩邊b、c分別滿足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,解得：b=3或2,c=2或3,△ABC的一邊a為4,①若b=c,則b=c=3或b=c=2,但2+2=4,所以三角形不成立,故b=c=3．∴△ABC的周長為4+3+3=10②若b≠c,∴△ABC的周長為4+5=9．故選C．[點評]此題主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周長結合起來,利用三角形三邊關系得出是解題關鍵．3．〔2008?隨州如圖,要使輸入的x值與輸出的y值相等,則這樣的x值有〔A．4個 B．3個 C．2個 D．1個[考點]一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；解分式方程．[專題]計算題；壓軸題．[分析]本題實際是分為兩種情況：〔1當x≤2時,有方程x2﹣2=x,分別解得x的值；〔2當x＞2時,由=x,解得x的值；看看究竟有幾個符合題意的x的值．[解答]解：〔1當x≤2時,由方程x2﹣2=x,解得：x=2或x=﹣1；〔2當x＞2時,由=x,解得：x=±,x=﹣應舍去,因而這樣的x的值有3個,分別是2,﹣1和．故選B．[點評]正確理解題意,把圖表問題轉化為方程問題是解決本題的關鍵．4．〔1999?XX若a,b,c為三角形三邊,則關于的二次方程x2+〔a﹣bx+c2=0的根的情況是〔A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．沒有實數根 D．無法確定[考點]根的判別式；三角形三邊關系．[專題]壓軸題．[分析]先求出△=b2﹣4ac,再結合a,b,c為三角形的三邊,即可判斷根的情況．[解答]解：∵x2+〔a﹣bx+c2=0,∴△=b2﹣4ac==〔a﹣b2﹣c2=〔a﹣b﹣c〔a﹣b+c∵a,b,c為三角形三邊,∴b+c＞a,a+c＞b∴a﹣b﹣c＜0,a﹣b+c＞0∴〔a﹣b﹣c〔a﹣b+c＜0,即二次方程x2+〔a﹣bx+c2=0無實數根．故選C．[點評]本題考查了一元二次方程根的判別式的應用及三角形三邊的關系．5．〔1998?XX如果關于x的方程7x2+px+q=0的兩個根為2和﹣3,那么二次三項式7x2+px+q可分解為〔A．〔x﹣2〔x+3 B．〔x+2〔x﹣3 C．7〔x﹣2〔x+3 D．7〔x+2〔x﹣3[考點]解一元二次方程-因式分解法．[專題]計算題；壓軸題．[分析]根據方程的兩根,即可將多項式分解因式．[解答]解：∵7x2+px+q=0的兩個根為2和﹣3,∴二次三項式7x2+px+q=7〔x﹣2〔x+3．故選C[點評]此題考查了解一元二次方程﹣因式分解,弄清題意是解本題的關鍵．6．〔2015?XX在同一平面直角坐標系中,函數y=ax2+bx與y=bx+a的圖象可能是〔A． B． C． D．[考點]二次函數的圖象；一次函數的圖象．[專題]壓軸題．[分析]首先根據圖形中給出的一次函數圖象確定a、b的符號,進而運用二次函數的性質判斷圖形中給出的二次函數的圖象是否符合題意,根據選項逐一討論解析,即可解決問題．[解答]解：A、對于直線y=bx+a來說,由圖象可以判斷,a＞0,b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說,對稱軸x=﹣＜0,應在y軸的左側,故不合題意,圖形錯誤．B、對于直線y=bx+a來說,由圖象可以判斷,a＜0,b＜0；而對于拋物線y=ax2+bx來說,圖象應開口向下,故不合題意,圖形錯誤．C、對于直線y=bx+a來說,由圖象可以判斷,a＜0,b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說,圖象開口向下,對稱軸x=﹣位于y軸的右側,故符合題意,D、對于直線y=bx+a來說,由圖象可以判斷,a＞0,b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說,圖象開口向下,a＜0,故不合題意,圖形錯誤．故選：C．[點評]此主要考查了一次函數、二次函數圖象的性質及其應用問題；解題的方法是首先根據其中一次函數圖象確定a、b的符號,進而判斷另一個函數的圖象是否符合題意；解題的關鍵是靈活運用一次函數、二次函數圖象的性質來分析、判斷、解答．7．〔2015?XX若拋物線y=〔x﹣m2+〔m+1的頂點在第一象限,則m的取值范圍為〔A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0[考點]二次函數的性質．[專題]壓軸題．[分析]利用y=ax2+bx+c的頂點坐標公式表示出其頂點坐標,根據頂點在第一象限,所以頂點的橫坐標和縱坐標都大于0列出不等式組．[解答]解：由y=〔x﹣m2+〔m+1=x2﹣2mx+〔m2+m+1,根據題意,,解不等式〔1,得m＞0,解不等式〔2,得m＞﹣1；所以不等式組的解集為m＞0．故選B．[點評]本題考查頂點坐標的公式和點所在象限的取值范圍,同時考查了不等式組的解法,難度較大．8．〔2015?XX如圖為二次函數y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象,則下列說法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④當﹣1＜x＜3時,y＞0其中正確的個數為〔A．1 B．2 C．3 D．4[考點]二次函數圖象與系數的關系．[專題]壓軸題．[分析]由拋物線的開口方向判斷a與0的關系,由x=1時的函數值判斷a+b+c＞0,然后根據對稱軸推出2a+b與0的關系,根據圖象判斷﹣1＜x＜3時,y的符號．[解答]解：①圖象開口向下,能得到a＜0；②對稱軸在y軸右側,x==1,則有﹣=1,即2a+b=0；③當x=1時,y＞0,則a+b+c＞0；④由圖可知,當﹣1＜x＜3時,y＞0．故選C．[點評]本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系,會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系,以及二次函數與方程之間的轉換,根的判別式的熟練運用．9．〔2014?XX設b＞0,二次函數y=ax2+bx+a2﹣1的圖象為下列之一,則a的值為〔A．﹣1 B．1 C． D．[考點]二次函數的圖象．[分析]由拋物線的開口方向與對稱軸的位置選擇選擇函數的正確圖象,再根據圖象性質計算a的值即可．[解答]解：由圖①和②得,b=0,與b＞0矛盾,所以此兩圖錯誤；由圖③得,a＜0,∵對稱軸為x=﹣＞0,∴a、b異號,即b＞0,符合條件；∵過原點,由a2﹣1=0,得a=±1,∴a=﹣1；由圖④得,a＞0,∵對稱軸為x=﹣＞0,∴a、b異號,即b＜0,與已知矛盾．故選A．[點評]此題考查了二次函數的圖象和性質,解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．10．〔2014?XX市拋物線y=2x2,y=﹣2x2,共有的性質是〔A．開口向下 B．對稱軸是y軸C．都有最高點 D．y隨x的增大而增大[考點]二次函數的性質．[分析]根據二次函數的性質解題．[解答]解：〔1y=2x2開口向上,對稱軸為y軸,有最低點,頂點為原點；〔2y=﹣2x2開口向下,對稱軸為y軸,有最高點,頂點為原點；〔3y=x2開口向上,對稱軸為y軸,有最低點,頂點為原點．故選：B．[點評]考查二次函數頂點式y=a〔x﹣h2+k的性質．二次函數y=ax2+bx+c〔a≠0的圖象具有如下性質：①當a＞0時,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的開口向上,x＜﹣時,y隨x的增大而減小；x＞﹣時,y隨x的增大而增大；x=﹣時,y取得最小值,即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的開口向下,x＜﹣時,y隨x的增大而增大；x＞﹣時,y隨x的增大而減小；x=﹣時,y取得最大值,即頂點是拋物線的最高點．11．〔2014?XX小智將如圖兩水平線L1、L2的其中一條當成x軸,且向右為正向；兩鉛直線L3、L4的其中一條當成y軸,且向上為正向,并在此坐標平面上畫出二次函數y=ax2+2ax+1的圖形．關于他選擇x、y軸的敘述,下列何者正確？〔A．L1為x軸,L3為y軸 B．L1為x軸,L4為y軸C．L2為x軸,L3為y軸 D．L2為x軸,L4為y軸[考點]二次函數的性質．[分析]根據二次函數的解析式y=ax2+2ax+1,得到與y軸交點坐標為〔0,1,確定L2為x軸；根據拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,確定L4為y軸．[解答]解：∵y=ax2+2ax+1,∴x=0時,y=1,∴拋物線與y軸交點坐標為〔0,1,即拋物線與y軸的交點在x軸的上方,∴L2為x軸；∵對稱軸為直線x=﹣=﹣1,即對稱軸在y軸的左側,∴L4為y軸．故選D．[點評]本題考查了二次函數的性質,難度適中．根據二次函數的解析式求出與y軸交點坐標及對稱軸是解題的關鍵．二．填空題〔共6小題12．〔2015?XX定義：給定關于x的函數y,對于該函數圖象上任意兩點〔x1,y1,〔x2,y2,當x1＜x2時,都有y1＜y2,稱該函數為增函數,根據以上定義,可以判斷下面所給的函數中,是增函數的有①③〔填上所有正確答案的序號①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2〔x＞0；④y=﹣．[考點]二次函數的性質；一次函數的性質；正比例函數的性質；反比例函數的性質．[專題]壓軸題；新定義．[分析]根據一次函數、二次函數、反比例函數的性質進行分析即可得到答案．[解答]解：y=2x,2＞0,∴①是增函數；y=﹣x+1,﹣1＜0,∴②不是增函數；y=x2,當x＞0時,是增函數,∴③是增函數；y=﹣,在每個象限是增函數,因為缺少條件,∴④不是增函數．故答案為：①③．[點評]本題考查的是一次函數、二次函數、反比例函數的性質,掌握各種函數的性質以及條件是解題的關鍵．13．〔2015?XX下列函數〔其中n為常數,且n＞1①y=〔x＞0；②y=〔n﹣1x；③y=〔x＞0；④y=〔1﹣nx+1；⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0中,y的值隨x的值增大而增大的函數有3個．[考點]二次函數的性質；一次函數的性質；正比例函數的性質；反比例函數的性質．[分析]分別根據正比例函數、一次函數、反比例函數和二次函數的性質進行分析即可．[解答]解：①y=〔x＞0,n＞1,y的值隨x的值增大而減小；②y=〔n﹣1x,n＞1,y的值隨x的值增大而增大；③y=〔x＞0n＞1,y的值隨x的值增大而增大；④y=〔1﹣nx+1,n＞1,y的值隨x的值增大而減小；⑤y=﹣x2+2nx〔x＜0中,n＞1,y的值隨x的值增大而增大；y的值隨x的值增大而增大的函數有3個,故答案為：3．[點評]此題主要考查了正比例函數、一次函數、反比例函數和二次函數的性質,關鍵是掌握正比例函數y=kx〔k≠0,k＞0時,y的值隨x的值增大而增大；一次函數的性質：k＞0,y隨x的增大而增大,函數從左到右上升；k＜0,y隨x的增大而減小,函數從左到右下降；二次函數y=ax2+bx+c〔a≠0當a＜0時,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0的開口向下,x＜﹣時,y隨x的增大而增大；反比例函數的性質,當k＜0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每一象限內y隨x的增大而增大．14．〔2015?XX在直角坐標系xOy中,對于點P〔x,y和Q〔x,y′,給出如下定義：若y′=,則稱點Q為點P的"可控變點"．例如：點〔1,2的"可控變點"為點〔1,2,點〔﹣1,3的"可控變點"為點〔﹣1,﹣3．〔1若點〔﹣1,﹣2是一次函數y=x+3圖象上點M的"可控變點",則點M的坐標為〔﹣1,2．〔2若點P在函數y=﹣x2+16〔﹣5≤x≤a的圖象上,其"可控變點"Q的縱坐標y′的取值范圍是﹣16＜y′≤16,則實數a的取值范圍是≤a＜4．[考點]二次函數圖象上點的坐標特征；一次函數圖象上點的坐標特征．[專題]壓軸題；新定義．[分析]〔1直接根據"可控變點"的定義直接得出答案；〔2根據題意可知y=﹣x2+16圖象上的點P的"可控變點"必在函數y=的圖象上,結合圖象即可得到答案．[解答]解：〔1根據"可控變點"的定義可知點M的坐標為〔﹣1,2；〔2依題意,y=﹣x2+16圖象上的點P的"可控變點"必在函數y′=的圖象上〔如圖．∵﹣16＜y′≤16,∴﹣16=﹣x2+16．∴x=4．當x=﹣5時,x2﹣16=9,當y′=9時,9=﹣x2+16〔x≥0．∴x=．∴a的取值范圍是≤a＜4．故答案為〔﹣1,2,≤a＜4．[點評]本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征,解答本題的關鍵是熟練掌握新定義"可控變點",解答此題還需要掌握二次函數的性質,此題有一定的難度．15．〔2014?XX如圖,在平面直角坐標系中,點A在第二象限,以A為頂點的拋物線經過原點,與x軸負半軸交于點B,對稱軸為直線x=﹣2,點C在拋物線上,且位于點A、B之間〔C不與A、B重合．若△ABC的周長為a,則四邊形AOBC的周長為a+4〔用含a的式子表示．[考點]二次函數的性質．[專題]計算題．[分析]根據拋物線的對稱性得到：OB=4,AB=AO,則四邊形AOBC的周長為AO+AC+BC+OB=△ABC的周長+OB．[解答]解：如圖,∵對稱軸為直線x=﹣2,拋物線經過原點、x軸負半軸交于點B,∴OB=4,∵由拋物線的對稱性知AB=AO,∴四邊形AOBC的周長為AO+AC+BC+OB=△ABC的周長+OB=a+4．故答案為：a+4．[點評]本題考查了二次函數的性質．此題利用了拋物線的對稱性,解題的技巧性在于把求四邊形AOBC的周長轉化為求〔△ABC的周長+OB是值．16．〔2014?XX如圖,拋物線y=ax2+bx+c〔a＞0的對稱軸是過點〔1,0且平行于y軸的直線,若點P〔4,0在該拋物線上,則4a﹣2b+c的值為0．[考點]拋物線與x軸的交點．[專題]數形結合．[分析]依據拋物線的對稱性求得與x軸的另一個交點,代入解析式即可．[解答]解：設拋物線與x軸的另一個交點是Q,∵拋物線的對稱軸是過點〔1,0,與x軸的一個交點是P〔4,0,∴與x軸的另一個交點Q〔﹣2,0,把〔﹣2,0代入解析式得：0=4a﹣2b+c,∴4a﹣2b+c=0,故答案為：0．[點評]本題考查了拋物線的對稱性,知道與x軸的一個交點和對稱軸,能夠表示出與x軸的另一個交點,求得另一個交點坐標是本題的關鍵．17．〔2013?北京請寫出一個開口向上,并且與y軸交于點〔0,1的拋物線的解析式,y=x2+1〔答案不唯一．[考點]二次函數的性質．[專題]開放型．[分析]根據二次函數的性質,開口向上,要求a值大于0即可．[解答]解：拋物線y=x2+1開口向上,且與y軸的交點為〔0,1．故答案為：x2+1〔答案不唯一．[點評]本題考查了二次函數的性質,開放型題目,答案不唯一,所寫拋物線的a值必須大于0．三．解答題〔共13小題18．〔2015?XX已知關于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2x+2=0．〔1證明：不論m為何值時,方程總有實數根；〔2m為何整數時,方程有兩個不相等的正整數根．[考點]根的判別式；解一元二次方程-公式法．[專題]證明題．[分析]〔1求出方程根的判別式,利用配方法進行變形,根據平方的非負性證明即可；〔2利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根,根據題意求出m的值．[解答]〔1證明：△=〔m+22﹣8m=m2﹣4m+4=〔m﹣22,∵不論m為何值時,〔m﹣22≥0,∴△≥0,∴方程總有實數根；〔2解：解方程得,x=,x1=,x2=1,∵方程有兩個不相等的正整數根,∴m=1或2,m=2不合題意,∴m=1．[點評]本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的應用,掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△＞0?方程有兩個不相等的實數根；△=0?方程有兩個相等的實數根；△＜0?方程沒有實數根是解題的關鍵．19．〔2015?詔安縣校級模擬某商場銷售一批名牌襯衣,平均每天可售出20件,每件襯衣盈利40元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施．經調查發現,如果每件襯衣降價10元,商場平均每天可多售出20件．若商場平均每天盈利1200元,每件襯衣降價多少元？[考點]一元二次方程的應用．[專題]銷售問題．[分析]利用襯衣平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可．[解答]解：設每件襯衫應降價x元．根據題意,得〔40﹣x〔20+2x=1200整理,得x2﹣30x+200=0解得x1=10,x2=20．∵"擴大銷售量,減少庫存",∴x1=10應略去,∴x=20．答：每件襯衫應降價20元．[點評]此題主要考查了一元二次方程的應用,利用基本數量關系：平均每天售出的件數×每件盈利=每天銷售的利潤是解題關鍵．20．〔2015春?沙坪壩區期末閱讀下面的例題與解答過程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化為|x|2﹣|x|﹣2=0．設|x|=y,則y2﹣y﹣2=0．解得y1=2,y2=﹣1．當y=2時,|x|=2,∴x=±2；當y=﹣1時,|x|=﹣1,∴無實數解．∴原方程的解是：x1=2,x2=﹣2．在上面的解答過程中,我們把|x|看成一個整體,用字母y代替〔即換元,使得問題簡單化、明朗化,解答過程更清晰．這是解決數學問題中的一種重要方法﹣﹣換元法．請你仿照上述例題的解答過程,利用換元法解下列方程：〔1x2﹣2|x|=0；〔2x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．[考點]換元法解一元二次方程．[專題]閱讀型；換元法．[分析]〔1結合例題,利用換元法求解即可．〔2結合例題,利用換元法求解即可．[解答]解：〔1原方程可化為|x|2﹣2|x|=0,設|x|=y,則y2﹣2y=0．解得y1=0,y2=2．當y=0時,|x|=0,∴x=0；當y=2時,∴x=±2；∴原方程的解是：x1=0,x2=﹣2,x3=2．〔2原方程可化為|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．設|x﹣1|=y,則y2﹣4y+4=0,解得y1=y2=2．即|x﹣1|=2,∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1,x2=3．[點評]本題主要考查了換元法解一元二次方程,解題的關鍵是理解換元的實質是轉化．21．〔2014?XX模擬閱讀下列材料：求函數的最大值．解：將原函數轉化成x的一元二次方程,得．∵x為實數,∴△==﹣y+4≥0,∴y≤4．因此,y的最大值為4．根據材料給你的啟示,求函數的最小值．[考點]一元二次方程的應用．[專題]壓軸題．[分析]根據材料內容,可將原函數轉換為〔y﹣3x2+〔2y﹣1x+y﹣2=0,繼而根據△≥0,可得出y的最小值．[解答]解：將原函數轉化成x的一元二次方程,得〔y﹣3x2+〔2y﹣1x+y﹣2=0,∵x為實數,∴△=〔2y﹣12﹣4〔y﹣3〔y﹣2=16y﹣23≥0,∴y≥,因此y的最小值為．[點評]本題考查了一元二次方程的應用,這樣的信息題,一定要熟讀材料,套用材料的解題模式進行解答．22．〔2012?民勤縣校級模擬如圖,四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED邊長,易知,這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為"勾系一元二次方程"．請解決下列問題：〔1寫出一個"勾系一元二次方程"；〔2求證：關于x的"勾系一元二次方程"必有實數根；〔3若x=﹣1是"勾系一元二次方程"的一個根,且四邊形ACDE的周長是6,求△ABC面積．[考點]一元二次方程的應用；勾股定理的證明．[專題]幾何圖形問題；壓軸題．[分析]〔1直接找一組勾股數代入方程即可；〔2通過判斷根的判別式△的正負來證明結論；〔3利用根的意義和勾股定理作為相等關系先求得c的值,根據完全平方公式求得ab的值,從而可求得面積．[解答]〔1解：當a=3,b=4,c=5時勾系一元二次方程為3x2+5x+4=0；〔2證明：根據題意,得△=〔c2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2〔a2+b2﹣4ab=2〔a﹣b2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有實數根；〔3解：當x=﹣1時,有a﹣c+b=0,即a+b=c∵2a+2b+c=6,即2〔a+b+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4,a+b=2∵〔a+b2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1．[點評]此類題目要讀懂題意,根據題目中所給的材料結合勾股定理和根的判別式解題．23．〔2015?XX已知點A〔﹣2,n在拋物線y=x2+bx+c上．〔1若b=1,c=3,求n的值；〔2若此拋物線經過點B〔4,n,且二次函數y=x2+bx+c的最小值是﹣4,請畫出點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的圖象,并說明理由．[考點]二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的最值．[專題]壓軸題．[分析]〔1代入b=1,c=3,以及A點的坐標即可求得n的值；〔2根據題意求得拋物線的解析式為y=〔x﹣12﹣4,從而求得點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的關系式為y=x′2﹣4,然后利用5點式畫出函數的圖象即可．[解答]解：〔1∵b=1,c=3,A〔﹣2,n在拋物線y=x2+bx+c上．∴n=4+〔﹣2×1+3=5．〔2∵此拋物線經過點A〔﹣2,n,B〔4,n,∴拋物線的對稱軸x==1,∵二次函數y=x2+bx+c的最小值是﹣4,∴拋物線的解析式為y=〔x﹣12﹣4,令x﹣1=x′,∴點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的關系式為y=x′2﹣4,點P〔x﹣1,x2+bx+c的縱坐標隨橫坐標變化的如圖：[點評]本題考查了二次函數的性質,二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的最值等,根據題意求得拋物線的解析式是解題的關鍵．24．〔2015?義烏市如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M〔1,1,則稱此拋物線為定點拋物線．〔1張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的一個解析式．小敏寫出了一個答案：y=2x2+3x﹣4,請你寫出一個不同于小敏的答案；〔2張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y=﹣x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式,請你解答．[考點]二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的性質．[分析]〔1根據頂點式的表示方法,結合題意寫一個符合條件的表達式則可；〔2根據頂點縱坐標得出b=1,再利用最小值得出c=﹣1,進而得出拋物線的解析式．[解答]解：〔1依題意,選擇點〔1,1作為拋物線的頂點,二次項系數是1,根據頂點式得：y=x2﹣2x+2；〔2∵定點拋物線的頂點坐標為〔b,c+b2+1,且﹣1+2b+c+1=1,∴c=1﹣2b,∵頂點縱坐標c+b2+1=2﹣2b+b2=〔b﹣12+1,∴當b=1時,c+b2+1最小,拋物線頂點縱坐標的值最小,此時c=﹣1,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x．[點評]本題考查拋物線的形狀與拋物線表達式系數的關系,首先利用頂點坐標式寫出來,再化為一般形式．25．〔2015?XX如圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的邊長為4,頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸,拋物線y=﹣x2+bx+c經過B、C兩點,點D為拋物線的頂點,連接AC、BD、CD．〔1求此拋物線的解析式．〔2求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABCD的面積．[考點]待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特征．[專題]計算題．[分析]〔1根據題意確定出B與C的坐標,代入拋物線解析式求出b與c的值,即可確定出解析式；〔2把拋物線解析式化為頂點形式,找出頂點坐標,四邊形ABDC面積=三角形ABC面積+三角形BCD面積,求出即可．[解答]解：〔1由已知得：C〔0,4,B〔4,4,把B與C坐標代入y=﹣x2+bx+c得：,解得：b=2,c=4,則解析式為y=﹣x2+2x+4；〔2∵y=﹣x2+2x+4=﹣〔x﹣22+6,∴拋物線頂點坐標為〔2,6,則S四邊形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．[點評]此題考查了待定系數法求二次函數解析式,以及二次函數圖象上點的坐標特征,熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．26．〔2015?XX如圖,拋物線y=x2﹣bx+c交x軸于點A〔1,0,交y軸于點B,對稱軸是x=2．〔1求拋物線的解析式；〔2點P是拋物線對稱軸上的一個動點,是否存在點P,使△PAB的周長最小？若存在,求出點P的坐標；若不存在,請說明理由．[考點]待定系數法求二次函數解析式；軸對稱-最短路線問題．[分析]〔1根據拋物線經過點A〔1,0,對稱軸是x=2列出方程組,解方程組求出b、c的值即可；〔2因為點A與點C關于x=2對稱,根據軸對稱的性質,連接BC與x=2交于點P,則點P即為所求,求出直線BC與x=2的交點即可．[解答]解：〔1由題意得,,解得b=4,c=3,∴拋物線的解析式為．y=x2﹣4x+3；〔2∵點A與點C關于x=2對稱,∴連接BC與x=2交于點P,則點P即為所求,根據拋物線的對稱性可知,點C的坐標為〔3,0,y=x2﹣4x+3與y軸的交點為〔0,3,∴設直線BC的解析式為：y=kx+b,,解得,k=﹣1,b=3,∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3,則直線BC與x=2的交點坐標為：〔2,1∴點P的坐標為：〔2,1．[點評]本題考查的是待定系數法求二次函數的解析式和最短路徑問題,掌握待定系數法求解析式的一般步驟和軸對稱的性質是解題的關鍵．27．〔2015?荊州已知關于x的方程kx2+〔2k+1x+2=0．〔1求證：無論k取任何實數時,方程總有實數根；〔2當拋物線y=kx2+〔2k+1x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數,且k為正整數時,若P〔a,y1,Q〔1,y2是此拋物線上的兩點,且y1＞y2,請結合函數圖象確定實數a的取值范圍；〔3已知拋物線y=kx2+〔2k+1x+2恒過定點,求出定點坐標．[考點]拋物線與x軸的交點；根的判別式；二次函數圖象上點的坐標特征．[分析]〔1分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當該方程為一元二次方程時,根的判別式△≥0,方程總有實數根；〔2通過解kx2+〔2k+1x+2=0得到k=1,由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2,結合圖象回答問題．〔3根據題意得到kx2+〔2k+1x+2﹣y=0恒成立,由此列出關于x、y的方程組,通過解方程組求得該定點坐標．[解答]〔1證明：①當k=0時,方程為x+2=0,所以x=﹣2,方程有實數根,②當k≠0時,∵△=〔2k+12﹣4k×2=〔2k﹣12≥0,即△≥0,∴無論k取任何實數時,方程總有實數根；〔2解：令y=0,則kx2+〔2k+1x+2=0,解關于x的一元二次方程,得x1=﹣2,x2=﹣,∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數,且k為正整數,∴k=1．∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2,由圖象得到：當y1＞y2時,a＞1或a＜﹣4．〔3依題意得kx2+〔2k+1x+2﹣y=0恒成立,即k〔x2+2x+x﹣y+2=0恒成立,則,解得或．所以該拋物線恒過定點〔0,2、〔﹣2,0．[點評]本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關系及二次函數圖象上點的坐標特征,解答〔1題時要注意分類討論．28．〔2015?隨州如圖,某足球運動員站在點O處練習射門,將足球從離地面0.5m的A處正對球門踢出〔點A在y軸上,足球的飛行高度y〔單位：m與飛行時間t〔單位：s之間滿足函數關系y=at2+5t+c,已知足球飛行0.8s時,離地面的高度為3.5m．〔1足球飛行的時間是多少時,足球離地面最高？最大高度是多少？〔2若足球飛行的水平距離x〔單位：m與飛行時間t〔單位：s之間具有函數關系x=10t,已知球門的高度為2.44m,如果該運動員正對球門射門時,離球門的水平距離為28m,他能否將球直接射入球門？[考點]二次函數的應用．[分析]〔1由題意得：函數y=at2+5t+c的圖象經過〔0,0.5〔0.8,3.5,于是得到,求得拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+,當t=時,y最大=4.5；〔2把x=28代入x=10t得t=2.8,當t=2.8時,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44,于是得到他能將球直接射入球門．[解答]解：〔1由題意得：函數y=at2+5t+c的圖象經過〔0,0.5〔0.8,3.5,∴,解得：,∴拋物線的解析式為：y=﹣t2+5t+,∴當t=時,y最大=4.5；〔2把