第第頁2023年湖南省新高考教學教研聯盟高一（下）期中數學試卷（含解析）2023年湖南省新高考教學教研聯盟高一（下）期中聯考

數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知函數，則下列結論錯誤的是()

A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱

C.的一個零點為D.在區間上單調遞減

3.如果一組數據，，，，的方差是，那么另一組數據，，，，的方差為()

A.B.C.D.

4.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是()

A.B.C.D.

5.已知定義在上的奇函數滿足：當時，，則的解集為()

A.B.

C.D.

6.記函數的最小正周期為，若，且，則()

A.B.C.D.

7.很多人的童年都少不了折紙的樂趣，如今傳統意義上的手工折紙已經與數學聯系在一起，并產生了許多需要縝密論證的折紙問題有一張矩形紙片，，為的中點，將和分別沿，翻折，使點與點重合于點，若，三棱錐的所有頂點都在球的表面上，則球的表面積為()

A.B.C.D.

8.已知為的外心，若，，則的最大值為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列說法正確的有()

A.若復數滿足，則

B.若復數，為虛數單位，則的共軛復數

C.復數一定都滿足

D.若復數滿足，則復數在復平面上對應的點的軌跡為圓

10.如圖，在中，，，，，分別是邊上的三個四等分點，若，則()

A.B.

C.D.

11.已知、為正實數，，則()

A.B.的最大值為

C.的最小值為D.的最大值為

12.如圖，在三棱柱中，側面為矩形，若平面平面，平面平面，記平面與平面的夾角為，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，則()

A.側面為矩形

B.若為的中點，為的中點，則平面

C.

D.若，滿足且為常數，則

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.數據、、、、、、、的第百分位數為______．

14.已知向量，，，若、、三點共線，則______．

15.如圖，在平行四邊形中，，，為線段的中點，，則______．

16.如圖，在中，，點與點分別在直線的兩側，且，則的最大值為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

某實驗中學對選擇生物學科的名學生的高一下學期期中考試成績進行統計，得到如圖所示的頻率直方圖已知成績均在區間內，不低于分視為優秀，低于分視為不及格同一組中數據用該組區間中間值做代表值．

根據此次成績采用分層抽樣從中抽取人開座談會，求在區間應抽取多少人？

根據頻率直方圖，估計這次考試成績的平均數和中位數．

18.本小題分

已知函數．

求的最小正周期和單調遞增區間；

若在區間上有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．

19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為線段上一點，平面．

證明：為的中點；

若直線與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積．

20.本小題分

記銳角的內角，，的對邊分別為，，，已知

求證：；

若，求的最大值．

21.本小題分

如圖，已知是邊長為的等邊三角形，、分別是、的中點，將沿著翻折，使點到點處，得到四棱錐．

若，證明：平面平面；

若，求直線與平面所成角的正弦值．

22.本小題分

已知函數，，．

若的最大值為，求的值；

當時，設，若的最小值為，求實數的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因為，，

，

因此，．

故選：．

求出集合、，利用交集的定義可求得集合．

本題考查集合的運算，考查補集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

2.【答案】

【解析】解：由于的最小正周期為，所以A正確．

因為，為最小值，所以的圖象關于直線對稱，故B正確．

因為，所以的一個零點為，所以C正確．

由，得，而在上遞減，在上遞增，

所以在區間上不單調遞減，所以D錯誤．

故選：．

對于，利用周期公式分析判斷，對于，將代入函數判斷是否能取得最值，對于，將代入函數中計算判斷，對于，由求出的范圍，然后根據余弦函數的性質判斷．

本題主要考查余弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．

3.【答案】

【解析】解：根據題意，數據，，，，的方差是，

則另一組數據，，，，的方差．

故選：．

根據題意，由方差的性質分析可得答案．

本題考查數據的方差計算，注意方差的計算公式，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】解：因為向量與的夾角為，且，，

所以，

所以在方向上的投影向量為．

故選：．

根據數量積的定義求出，再根據在方向上的投影向量為計算可得．

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題．

5.【答案】

【解析】解：因為定義在上的奇函數滿足：當時，，

則，解得，

故當時，，

因為、在上均為增函數，故函數在上為增函數，

且當時，，

令，則函數的定義域為，

，故函數為偶函數，

且，

由可得，即，

因為函數在上為增函數，則函數在上為增函數，

所以，解得或．

故選：．

由奇函數的性質可得出，求出的值，分析函數在上的單調性，令，分析函數的奇偶性及其在上的單調性，將所求不等式變形為，結合函數的單調性可得出原不等式的解集．

本題主要考查了函數的奇偶性及單調性在不等式求解中的應用，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：根據最小正周期，可得，解得；

又，即是函數的一條對稱軸，

所以，，解得，，

又，當時，．

故選：．

由最小正周期，可得，再由即可得，，從而求出的值．

本題主要考查三角函數的周期性，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】解：由題意可得，，，

，又，

，，故以，，為同一個頂點的正方形的外接球即為三棱錐的外接球，

設外接球的半徑為，則，

三棱錐的所有頂點都在球的表面積為．

故選：．

由題意可得以，，為同一個頂點的正方形的外接球即為三棱錐的外接球，求解可得球的表面積．

本題考查求空間幾何體的外接球的表面積，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：在中，設內角、、的對邊分別為、、，

，，

，

，，，

如下圖所示：

取線段的中點，連接，則，

，同理，

，則，

即，，

，即，

，

聯立可得，，

，

當且僅當時，等號成立，故的最大值為．

故選：．

由三角恒等變換化簡可得出的值，推導出，，利用平面向量的數量積可得出、的表達式，利用基本不等式可求得的最大值，

本題主要考查平面向量基本定理，向量數量積運算，考查運算求解能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于：若，則，顯然為純虛數，故A錯誤；

對于：，所以，故B正確；

對于：若，則，，

顯然，故C錯誤；

對于：復數滿足，所以復數在復平面上對應的點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，故D正確．

故選：．

利用反例說明、，根據復數的乘方及共軛復數判斷，根據復數的幾何意義判斷．

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：對于：，故A正確；

對于：在中，，，，

，即，

，故B正確；

對于：，故C正確；

對于：，

，

，故D錯誤．

故選：．

根據圖形，結合向量加，減，數乘運算，即可判斷；利用向量表示，利用數量積公式，判斷；根據的判斷，代入數量積和模的公式，即可判斷．

本題考查平面向量的線性運算，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題，

11.【答案】

【解析】解：因為、為正實數，，

對于選項，，當且僅當時，等號成立，對；

對于選項，因為，則，

故，當且僅當時，等號成立，

所以，的最大值為，對；

對于選項，，

當且僅當時，等號成立，故的最小值為，錯；

對于選項，，

當且僅當時，即，時等號成立，故的最大值為，對．

故選：．

利用基本不等式可判斷選項，利用二次函數的基本性質可判斷選項．

本題主要考查了基本不等式及二次函數性質在最值求解中的應用，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對于：是矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面，平面，，

過點作，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

又平面，，

，，，平面，

平面，又平面，

．

在三棱柱中為平行四邊形，所以為矩形，故A正確；

對于：取的中點，連接、，

因為為的中點，為的中點，所以，平面，

平面，所以平面，

又，平面，

平面，所以面，

，，平面，所以平面平面，

平面，所以平面，故B正確

對于、：由棱柱知，又平面，平面，

以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系如下所示，

不妨設，，，

則，

取平面的一個法向量，

，則，

取平面的一個法向量，

設為平面的法向量，

則，，令，則，，

由，

，

，則，

，

則，

，．

且，

，

故，故C錯誤，D正確．

故選：．

證明平面，即可得到，從而判斷，取的中點，連接、，即可證明平面平面，從而判斷，對于、，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得．

本題考查空間角、距離，利用空間向量法可以將幾何問題轉化為代數計算等相關知識，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：將數據由小到大進行排列為、、、、、、、，共個數，

因為，故該組數據的第百分位數為．

故答案為：．

將數據由小到大排列，利用百分位數的定義可求得該組數據的第百分位數．

本題主要考查百分位數的定義，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：已知向量，，，

則，，

因為、、三點共線，則，所以，，解得．

故答案為：．

計算出、的坐標，由題意可知，利用平面向量共線的坐標表示可求得實數的值．

本題考查了向量坐標的減法運算，向量減法的幾何意義，共線向量的坐標關系，考查了計算能力，屬于基礎題．

15.【答案】

【解析】解：在平行四邊形中，為中點，則有，

因為，，所以在中，

，，

因為，所以，

則

，

故答案為：．

以不共線的兩個向量作為平面向量基底，用基底表示出需要的向量，在求解過程中涉及到垂直，可用數量積為來突破，留意向量的方向，準確找出兩向量的夾角．

本題考查平面向量數量積的應用，屬基礎題．

16.【答案】

【解析】解：設，則由，得，

在中，，由正弦定理得，

所以，得，

因為，所以，

所以，

設，因為，

所以，

所以，

在中由正弦定理得，，

所以，得，

所以，

在中，，，，

由余弦定理得

，

所以，

所以當，即時，取得最大值．

故答案為：．

由結合正弦定理可求得，則，設，在中由正弦定理可求得，則，然后在中由余弦定理表示出，再結合正弦函數的性質可求得結果．

本題主要考查三角形中的幾何計算，考查轉化能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：由頻率分布直方圖可知的頻數為人，

所以在區間中應抽取人．

由頻率分布直方圖可知平均數為：

，

又，，

所以中位數位于之間，

設中位數為，則，解得，

故中位數為．

【解析】首先求出中的頻數，按照分層抽樣計數可得；

根據頻率分布直方圖中平均數與中位數計算規則計算可得．

本題主要考查頻率分布直方圖，平均數、中位數的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題．

18.【答案】解：

，

最小正周期；

令，，得，

所以函數的單調遞增區間是，；

，

令，得，

令，如圖，畫出函數的圖象，

若在區間上有兩個不同的零點，則與的圖象，有個不同的交點，即可，

得

所以實數的取值范圍是．

【解析】首先化簡函數，再根據三角函數的性質判斷周期和單調遞增區間；

將方程轉化為，再結合函數的圖象，轉化為兩個函數圖象的交點問題，即可求解．

本題主要考查三角函數的圖象與性質，考查轉化能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：連接，設，連接，

因為平面，平面，平面平面，

所以，又底面為矩形，所以為的中點，

所以為的中點．

因為平面，平面，所以，

又，，，平面，所以平面，

所以為直線與平面所成的角，即，

又，所以，則，

由平面，平面，所以，

所以在中，

所以．

【解析】連接，設，連接，根據線面平行的性質得到，即可證明；

首先證明平面，則為直線與平面所成的角，再求出，最后根據計算可得．

本題考查線面平行的性質定理，三棱錐的體積的求解，屬中檔題．

20.【答案】解：證明：因為，

所以，

所以，

所以，

因為為銳角三角形，

所以，

所以，

所以，

因為為銳角三角形，

所以，

所以，

所以；

因為，，

所以，

所以，

因為，所以，

所以，

所以，

，

，

，

，

因為，所以，

所以，

所以，

所以當時，取得最大值．

【解析】利用三角函數恒等變換公式對已知式子化簡變形可證得結論；

由已知條件結合正弦定理可得，，從而可得，然后利用三角函數恒等變換公式化簡變形可求得結果．

本題考查解三角形相關知識，屬于中檔題．

21.【答案】解：證明：翻折前，、分別是、的中點，則，

，，

為等邊三角形，所以，，

且，，

翻折后，取的中點，連接、，如下圖所示：

由題意可知，是邊長為的等邊三角形，

為的中點，所以，，且，

，，，

由余弦定理可得，