2021年“超級全能生”高考數學聯(lián)考試卷（文科）（丙）

（B卷）（1月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知i是虛數單位，若復數z滿足(2+3i)z=—1+i,則|z|=()

A史B.-C.立D.0

13131313

2.已知集合4={2,4,6,7},B={x6/V|log2(x-1)<3},則品4的元素的個數為()

A.2B.3C.4D.5

3.從裝有2個紅球與3個白球的口袋中任選2個球，那么得到的2個球顏色相同的概

率是（）

A.iB.IC.義D.

551010

4.在某次數學測試中6名同學的成績分別為91,100,95,92,x,92,且91<%<95,

x為正整數，若6名同學的數學成績的中位數與眾數相等，則這6名同學的數學成

績的平均數是（）（結果保留一位小數）

A.93.0B.92.5C.94.5D.93.7

5.已知數列｛%｝是等差數列，且。3,是方程-一10%+9=0的兩根，則。5=（）

A.3B.4C.5D.6

6,已知函數/（x）=的圖象如圖所示，則滿足解集為｛x|—1<x<

A./(x)>log2(x+1)B./(%)>log2(x+1)

C./(x)>log2(x+2)D./(x)>log2(x+2)

(y^x

7.已知變量x,y滿足約束條件卜+yS1,則目標函數z=3x+2y的最小值為()

[y<2%4-4

A.3B.-5C.-10D.-20

8.如圖所示，在正方體4BCD-4iBiGDi中，E,尸分別

是BC,。/的中點，則異面直線EF與&G所成角的余

弦值為()

A,3

3

B..

6

C虺

2

D.更

4

9.已知函數/(%)=Asin(a)x+p)(4>0,a)>0,\(p\<TT)的圖象上最高點的坐標為

第2)，相鄰最低點的坐標為小,-2),將函數/(x)的圖象向右平移7n(m>0)個單

位長度后，得到函數g(x)的圖象，其圖象關于y軸對稱，則機的值可能為()

A-ZB二C.=D考

2

10.過雙曲線a―y2=1(m>0)的右焦點F作X軸的垂線與雙曲線的兩條漸近線分別

交于A,B兩點,。為坐標原點，當AAB。的面積取得最小值時，雙曲線的漸近線

方程為()

A.y=±[xB.y=±^xC.y=±xD.y=±|x

11.在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，且tcmA=a=3,△ABC的

面積為2,則AZBC的周長為()

A.V13B.10C.1+V13D.3+V13

12.已知圓好+y2=4與x軸的交點分別為A,8,點P是直線/：y=—x+6上的任意

一點，橢圓C以A,8為焦點且過點尸，則橢圓C的離心率e的取值范圍為()

A.巳爭B.(0,圖C.[1,V2]D.[|,1)

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.曲線/(x)=xex+3x-1在點(0/(0))處的切線的斜截式方程為.

14.已知五=(cosa,-si九a),3=(1,8)，且五J_B，aG(0,TT),則1=.

15.已知cos(a+/?)=gsin(7r_6)=。，且a,/?E(05)，則tan(a-￡)=____.

513N4

16.已知函數/(x)是R上的奇函數，且對任意的x都有=一/Q)成立,/(—2)>1,

/(17)=E，則實數a的取值范圍為______.

2a+5

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

第2頁，共17頁

17.已知正項數列｛即｝的前〃項和為右,且Sn=1-an(nGN*).

(I)求數列｛即｝的通項公式；

(II)若勾=，。%即+2”,求數列｛砥｝的前〃項和加

18.某商場隨機抽取在一年中7個月的月平均促銷費x(單位：萬元)與月平均利潤y(單

位：萬元)作統(tǒng)計，如表:

月份i1234567

月平均促銷費

10.81.31.80.91.21.4

x(萬元)

月平均利潤y(

13.51115.319.211.716.517.8

萬元)

經計算得羽=1項％=132,27=1(%-x)Oi-y)=6,￡7=*=10.78,27=1%=

8.4,斤=1%=105)］工1=式看一H2￡；=式力-y)2~6.31-

(I)求丫關于x的線性回歸方程;=匕》+；(結果保留兩位小數)；

(II)求8，%)(i=1,2,3,4,5,6,7)的相關系數r,并回答該商場的月利潤額與

促銷費的相關關系如何？

附.卜—1aLi5-3)_工匕%%一族亍_)左=1(?一乃汕一〃)「

°一第-%海-￡2a=y-bx'J況0-可詠式以萬產

19.在正方體ABC。-p/Ci%中,E,尸分別是4ml

的中點.

(I)求證：EF〃平面BQDi；

(II)若正方體的棱長為2,求三棱錐。-BGD1的體積.

20.已知/(x)=7％+ax,aG/?.

(I)討論/'(%)的單調性；

(II)若a<-l,證明：/(x)<-1.

21.已知拋物線C：y?=2px(p>0)的焦點在直線％-y-2=0上.

(1)求拋物線。的方程；

(II)設P,M,N為拋物線C上的不同三點，點P(2,4),且PM1PN.求證：直線

過定點(10,-4).

第4頁，共17頁

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數方程是｛；二而。@為參數）.以。為極

點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線G的極坐標方程是psinO

（I）求曲線G的極坐標方程和直線的直角坐標方程；

（口）過點。的直線/與Q異于點。的交點為點A,與C2的交點為點B,求|0川?|0B|

的值.

23.(I)若b€R,且滿足a+?=3,證明：a2+y>6；

(口)若a,be/?,且滿足a+?+；=Vn,證明：a2+《+《N6.

N323

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因為(2+3i)z=—1+if

所以2=就

故時舄J=^=等

故選：A.

利用復數模的運算性質進行求解即可.

本題考查了復數模的求解，主要考查了復數模的運算性質的運用，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：：A={2,4,6,7},B={xe/V|0<x-1<8}={xe/V|l<%<9)={2,3,

4,5,6,7,8,9},

ACBA=[3,5,8,9},

???CBZ的元素個數為：4.

故選：C.

可求出集合8,然后進行補集的運算求出品4然后即可得出GA的元素個數.

本題考查了列舉法和描述法的定義，對數函數的單調性，補集及其運算，考查了計算能

力，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：從2個紅球與3個白球的口袋中任選2個球的所有選法有廢=10種等可

能結果，

得到的2個球顏色相同的情況有最+4=4種結果，

故「*=1?

故選：B.

先求出從2個紅球與3個白球的口袋中任選2個球的可能情況，然后求出2個球顏色相

同的情況，結合古典概率公式可求.

本題主要考查了古典概率公式的應用，屬于基礎題.

4.【答案】D

第6頁，共17頁

【解析】解：將已知成績按從小到大排列為：91,92,92,95,100,

又x的值必定在92,93,94之中，

若x為92,則眾數為92,中位數也是92,符合題意；

若x為93,則中位數是92.5,不可能與眾數92相等，不符合題意；

若為94,則中位數為93,與眾數92不相等，不符合題意.

故x為92,

所以這6名同學的數學成績的平均數是為91+92+9272+95+1。。^

故選：D.

利用中位數與眾數的定義求出x的值，然后由平均數的計算公式求解即可.

本題考查了平均數的求解與計算，主要考查了中位數、眾數定義的理解，考查了邏輯推

理能力與運算能力，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：因為數列｛斯｝是等差數列，且<13,是方程--10%+9=0的兩根,

所以+a7=2a5=10,

則=5.

故選：C.

由已知結合方程的根與系數關系可求+。7,然后根據等差數列的性質可求.

本題主要考查了等差數列的性質，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：當x=0時，/(0)=0+2=a,

解得a=2,

由滿足解集為｛x|-1cx<1｝,則只要將

y=logzx的圖象向左移一個單位即可，

即不等式為/(x)>log2(x+l),

故選：B.

先求出。的值，再根據圖象的平移即可求出.

本題考查了函數圖象的識別和應用，考查了數形結合的能力，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

由z=3x+2y,得y=—|x+；,由圖可知，當直線y=-|x+：過A時，

直線在y軸上的截距最小，z有最小值為-20.

故選：D.

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數形結合思想，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】

【分析】取AB的中點。，連結OE,OF,由中位線定理結合異面直線所成角的定義可

知，NFE。即為異面直線EF與&Ci所成的角，在AEFO中，由余弦定理求解即可.

本題考查了異面直線所成角的求解，解題的關鍵是尋找平行線確定異面直線所成的角,

考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于基礎題.

【解答】解：取AB的中點。，連結OE,OF,AC,

因為E為BC的中點，所以。E//4C,

又AC〃AG，所以OE〃4G，

故NFE。即為異面直線與46所成的角，

設正方體ABC。-&B1C1D1的棱長為2,

則。E="C=&,DO=A/22+l2=V5，

所以F。=FE=y/DO2+FD2=(V5)2+l2=V6-

“2+。后2一。產6+2-6_V3

在AEF。中,由余弦定理可得,cosZ-FEO=

2EFOE2X很在—6

第8頁，共17頁

所以異面直線跖與&C1所成角的余弦值為更.

6

故選:B.

9.【答案】C

【解析】解：函數/(x)-As譏(3X+9)(4>0,(0>0,\<p\<兀)的圖象上最高點的坐標

為(￡，2)，

相鄰最低點的坐標為(拳-2),

A=2,1?^-=Y—7,：-3=2,/(x)—2sin(2x+<p).

結合五點法作圖，2理+少=a”嗎故f(x)=2sin(2x+[).

將函數/(x)的圖象向右平移mO>0)個單位長度后，得到y(tǒng)=2s譏(2x+%-2m)的圖

象.

再根據所得圖象關于y軸對稱，故所得函數g(x)為偶函數，故合2m="+壬keZ,

口nk冗n

即加=_三一1

則機的值可能是a此時，k=—l,

故選：C.

由函數的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出3,由五點法作圖求出9的值，可得/(x)的

解析式.再根據函數y=4s譏(3x+a)的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象的對稱性，求

得機的值.

本題主要考查由函數y=Asin(a)x+w)的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標

求出A,由周期求出3,由五點法作圖求出W的值.函數y=4s譏(3X+9)的圖象變換

規(guī)律，三角函數的圖象的對稱性，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：雙曲線a―y2=1(/72>0)的右焦點F(Jl+7n2,0),

漸近線的方程為'=±2

令％=Vl+m2?可得y=土'

則44B。的面積為S=--V14-m2-2'=1+m=m+—>2?

2mmm

當且僅當m=l時，上式取得等號.

所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.

故選：C.

求得雙曲線的焦點廠的坐標和漸近線方程，可得4B的坐標，運用三角形的面積公式

和基本不等式，可得相，進而得到所求方程.

本題考查雙曲線的方程和性質，以及基本不等式的運用：求最值，考查方程思想和運算

能力，屬于中檔題.

11.【答案】D

【解析】解：因為tan4=—%

所以cos4=-1,sinA=

因為△2BC的面積S=|bcsinA=|bc=2,

則be=5,

由余弦定理得，a2=9=b2+c2-2bccosA=(b+c)2—10+10X|,

故b+c=V13>

△ABC的周長為a+b+c=3+V13.

故選：

由已知結合同角平方關系可求siiM,cosA,然后結合三角形的面積公式可求歷，由余弦

定理可求b+c,進而可求.

本題主要考查了余弦定理及三角形的面積公式，屬于基礎題.

12.【答案】B

【解析】解：圓M+y2=4與x軸的交點分

別為A,B,點P是直線/：y=-x+6上的

任意一點，橢圓C以A,B為焦點且過點P,

可知4(一2,0),B(2,0),c=2,P是直線/上

的點，P到A、8兩點距離之和的最小值為：

B關于直線的對稱性B'與A的距離，

(―=1

設B'0n,n),可得呼時2，解得n=

+6

4,m=6,

第10頁，共17頁

所以B'(6,4),\AB'\=7(6+2)2+(4-0)2=4遍，

所以橢圓的長軸長2a=4近，所以a的最小值為2而，

橢圓的離心率的最大值為：盍=，.

橢圓C的離心率e的取值范圍為(O,g].

故選：B.

利用已知條件求出橢圓的半焦距，求出B關于y=-x+6的對稱點的坐標，推出橢圓半

長軸的最小值，推出離心率的最大值，即可得到結果.

本題考查橢圓的簡單性質的應用，直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計

算能力，是中檔題.

13.【答案】y=4x-1

【解析】解：f(x)=xex+3x-1的導數為f'(x)=(x+l)ex+3,

可得在點(O,f(O))處的切線的斜率為尸(0)=4,

切點為(0,-1)，

則切線的斜截式方程為y=4x-l.

故答案為：y=4x-l.

求得門x)的導數，可得切線斜率和切點，由直線的斜截式方程可得所求.

本題考查導數的運用：求切線的方程，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題.

14.【答案】O

【解析】解：a=(cosa,—sina),b=(1,V3)>且五1/??a-b=cosa—^3sina=0>

故tana=—,

3

結合ae(0,7r),則a=9，

故答案為:I

由題意利用兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式，計算求得tana的值，可得a

的值.

本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式，屬于基礎題.

15.【答案】一弓

07

【解析】解：???sin(7r-B)=*.?.s譏/?=*

又￡€(0，》，???cosS=!|,

vcos(a4-/?)=|,且a,￡€(0,1),

???sin(a+夕)=￡

???cosa=cos[(a+/?)-￡]=cos(a+S)cos￡+sin(a+/?)sin0=-x—+^x—=—,

51351365

"aG(0,》

sina=Vn.I--—--c-o--s25-a=—33,t,ana=-si-n-a=一33,

65cosa56

...tan(a—弓==…味=封=_*.

'471+tanatan-i+—89

456

故答案為：一^|.

07

由a=(a+/?)-￡,結合誘導公式、同角三角函數的平方關系和兩角差的余弦公式，可

得cosa的值，進而得sina和tana的值，然后由兩角差的正切公式，得解.

本題考查三角恒等變換與三角函數的綜合，熟練掌握兩角差公式、同角三角函數的關系

和誘導公式是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

16.［答案］(―|,一|)

【解析】解：根據題意，對任意的X都有/。+|)=-/。)成立，

則f(x+5)=-/(x+j)=/(X)，則有/(17)=/(2+15)=f(2)=—/(一2)，

又由-2)>1,則/(17)=募=一/(—2)<—1,

則有；於<-1,變形可得：j-yf<0,

2a+52a+S

解可得：—|<a<—|,即a的取值范圍為(一I，-|),

故答案為:(一荔一|).

根據題意，由f(x+|)=—f(x)分析可得+5)=以x),則有了(17)=-/(一2),進而

可得照<-1,解可得“的取值范圍，即可得答案.

本題考查抽函數的性質以及應用，涉及函數的奇偶性的性質以及應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(I)正項數列｛即｝的前"項和為S”，且％=1—an,①

當n=l時，2al=1,解得的=土

第12頁，共17頁

當九N2時，Sn_]=l-an_i，②

故①-②得：an=an-l-Qn，

整理得2azi=%_1，即普="常數）,

所以數列｛a.｝是以《為首項，3為公比的等比數列：

所以與=：X（I）"-1=《產（首項符合通項），

n

故an=（1）-

bnn

（口）由（I）得：n=log1an+2=n+2,

n+1

所以7；=（1+2+…+n）+（21+22+..+2與=+生=^22+2-2.

【解析】（I）直接利用遞推關系式求出數列的通項公式；

（口）利用分組法的應用求出數列的和.

本題考查的知識要點：數列的遞推關系式，數列的通項公式的求法及應用，數列的求和,

分組法在求和中的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題.

18.【答案】解：(I)由題意可知，i=(1+0.8+1.3+1.8+0.94-1.2+1.4)=1.2,

-_羽=1"__—

V——----

z77

由公式可得,b_EiLiXtyi-nxy_132-7x1.2x15857,

-ZjLiXp-nx2-10.78-7X1.22卷=

故a=y-bx=15-8.57X1.2=4.72'

所以線性回歸方程為y=8,57x+4.72；

_________%式*力6

0.95>0.75

（D相關系數際ME?6.31

故該商場的月利潤額與促銷費具有很強的相關性.

【解析】（I）求出樣本中心，利用公式求出;和;，即可得到線性回歸方程;

（n）求出相關系數r的值進行分析判斷即可.

本題考查了線性回歸方程的求解，要掌握線性回歸方程必過樣本中心這一知識點，考查

了邏輯推理能力與運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】（I）證明：取BG的中點O,連結劣0,EO,

因為E,O分別為BBi，BG的中點，所以。E〃B】G，且

AB

OE=\B1C1,

又F為42的中點，故。/〃B1G，且

故。E〃D1F且0E=D1F,

所以四邊形DiFE。為平行四邊形，

故E/7/Di。，

又EF<4平面BCiDi，CiOu平面BC15,

所以EF〃平面BGDi；

(口)解：正方體的棱長為2,

所以SADQD]—~X2X2=2,

在正方體中，BC_L平面CODiG，

故8C為三棱錐B-。。傳1的高，

所以%-do1cl=gX2x2=],

由等體積法可得，^D-BCJDJ—%-DDaCi=3，

所以三棱錐。-BC15的體積為g.

【解析】(I)取BG的中點O,連結Di。，EO,利用中位線定理證明四邊形/FEO為平

行四邊形，從而證明EF〃Z?iO,再由線面平行的判定定理證明即可；

(II)利用等體積法外)-Bq。1求解即可.

本題考查了線面平行的證明以及錐體體積的求解，主要考查了等體積法求解體積的應用,

考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)/(%)的定義域為(0,+8),

由已知，/'(x)=a+二=空匕，

①當aNO時，f'(x)NO恒成立，

此時/(%)在(0,+8).上單調遞增;

②當a<0時，令/(x)>0恒，得

所以/(%)在(0,—》上單調遞增，在(一1+8)上單調遞減，

綜上所述，當a20時，/(x)的單調增區(qū)間為(0,+8),無單調遞減區(qū)間；

當a<0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,-》，單調遞減區(qū)間為(―1+8).

第14頁，共17頁

(口)由(I)a<—1時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,-，單調遞減區(qū)間為(一1+8),

■:CLV—1,-u>1,ln(-a)>0,—ln(-CL)V0?

?1?/(x)的最大值是f(-，)=ln(—+a,(―：)=-ln(—a)—1<—1,

故若a<—1,則/(x)<-L

【解析】(I)對a分a20和a<0討論，利用導數求函數的單調區(qū)間；

(II)根據函數的單調性求出函數的最大值，結合“的取值范圍證明結論成立即可.

本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，考查轉化思

想，是中檔題.

21.【答案】解：(I)拋物線C的焦點為g,0),

因為拋物線C：y2=2Px(p>0)的焦點在直線x-y-2=0上，

所以￡-0-2=0,解得p=4,

所以拋物線的方程為/=8x.

(H)證明：設/V(x2>y2)'直線MN的方程為％=my+n,

聯(lián)立。得V-8my-8n=0,

所以月%=—8幾，乃+=8m,

nmn2

所以=(mji+)(72+九)=m2yly2+mn(y1+y2)+

222

=m?(—8n)+mn?8m+n=nf

2

xT+x2=(血yi+九)+(my2+n)=m(y1+y2)+2n=m-8m+2n=8m+2n,

因為PM1PN,

所以麗^麗=0,

所以(%i-2,yt-4)?(x2-2必一4)=0,

所以(%1-2)?(口-2)(%-4)-(y2-4)=0,

所以x/2-2(%i+&)+4+yry2-4仇+y2)+16=0,

所以小一2(8m2+2兀)+4+(-8n)-4-8m+16=0,

解得九=4m+2(舍去)或九=4m+10,

所以直線MN為：無=my+4m4-10=m(y+4)+10,

所以直線MN過點(10,-4).

【解析】(I)拋物