排列組合問題經(jīng)典題文章中沒有格式錯(cuò)誤，但第二段中的例2有問題，因?yàn)轭}目中給出的條件不足以確定答案，需要?jiǎng)h除。同時(shí)，每段話可以稍微改寫一下，如下：1.相鄰問題捆綁法：當(dāng)題目規(guī)定相鄰的元素必須捆綁成一個(gè)組時(shí)，可以把這個(gè)組看作一個(gè)大元素，參與排列。例如，A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排列方式有多少種呢？2.相離問題插空排：當(dāng)元素之間不能相鄰時(shí)，可以先把無位置要求的元素全排列，再把規(guī)定的相離元素插入上述元素的空位和兩端。例如，七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排列方式有多少種呢？3.定序問題縮倍法：當(dāng)題目規(guī)定某幾個(gè)元素必須保持一定的順序時(shí)，可以使用縮小倍數(shù)的方法。例如，A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（可以不相鄰），那么不同的排列方式有多少種呢？4.標(biāo)號(hào)排位問題分步法：當(dāng)需要把元素排到指定位置上時(shí)，可以先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，再排另一個(gè)元素，以此類推。例如，將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，那么每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有多少種呢？5.有序分配問題逐分法：當(dāng)需要把元素分成若干組時(shí)，可以使用逐步下量分組法。例如，有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)有多少種呢？6.全員分配問題分組法：當(dāng)需要把所有元素分配到不同的組中時(shí)，可以使用分組法。例如，4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，不同的保送方案有多少種呢？7.名額分配問題隔板法：當(dāng)需要把一定數(shù)量的元素分配到多個(gè)組中時(shí)，可以使用隔板法。例如，10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案呢？8.限制條件的分配問題分類法：當(dāng)題目中有多個(gè)限制條件時(shí)，可以使用分類法。例如，5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)有多少種呢？8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)。其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧。求共有多少種不同的派遣方案？9.多元問題分類法可以將問題分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)再相加。例如：（1）由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少種？（A）210種（B）300種（C）464種（D）600種（2）從1到100這100個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？（3）從1到100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使它們的和能被4整除的取法（不計(jì)順序）有多少種？10.交叉問題集合法可以用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)解決。例如：從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？11.定位問題優(yōu)先法可以先排指定位置的元素，再排其它元素。例如：現(xiàn)有1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有多少種不同的排法？12.多排問題單排法可以將多排問題歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例如：（1）6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，不同的排法種數(shù)是（A）36種（B）120種（C）720種（D）1440種（2）8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？13.“至少”“至多”問題可以用間接排除法或分類法解決。例如：從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有（A）140種（B）80種（C）70種（D）35種14.選排問題先取后排法可以先從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上。例如：（1）四個(gè)不同的球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，分別為5名男性和4名女性，他們現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練。問有多少種不同的分組方法？解答：根據(jù)組合數(shù)的公式，可以得到答案為C(9,2)*C(7,2)*C(5,2)*C(3,2)=1260種。問題15：在一個(gè)正方體的頂點(diǎn)上選取4個(gè)頂點(diǎn)，可以組成多少個(gè)四面體？解答：正方體的頂點(diǎn)共有8個(gè)，根據(jù)組合數(shù)的公式，可以得到答案為C(8,4)/4!=70種。問題16：有5對(duì)姐妹要站成一圈，每對(duì)姐妹必須相鄰，問有多少種不同的站法？解答：將每對(duì)姐妹看作一個(gè)整體，那么就有5個(gè)整體要站成一圈，根據(jù)圓排列的計(jì)算方法，可以得到答案為4!*5=120種。問題17：有6名實(shí)習(xí)生要分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)，問有多少種不同的分配方法？解答：每名實(shí)習(xí)生可以分配到7個(gè)車間中的任意一個(gè)，因此總的分配方法數(shù)為7的6次方，即為117649種。問題18：有9盞路燈，要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，問滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解答：可以先考慮沒有限制條件時(shí)的總方案數(shù)，即C(9,3)=84種。然后再排除不符合條件的方案數(shù)。根據(jù)對(duì)稱性，可以將問題簡化為只考慮關(guān)掉1號(hào)、4號(hào)、7號(hào)三盞路燈的情況。此時(shí)，可以將問題轉(zhuǎn)化為在6個(gè)空位中選取3個(gè)空位的方案數(shù)，即C(6,3)=20種。因此，符合條件的關(guān)燈方案數(shù)為84-20=64種。問題19：有5個(gè)球和5個(gè)盒子，其中恰好有2個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，問有多少種不同的放球方法？解答：首先將2個(gè)球放入對(duì)應(yīng)的盒子中，剩下的3個(gè)球可以任意放置在3個(gè)盒子中，因此總的放球方法數(shù)為5*4*3=60種。問題20：（1）30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除？（2）正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可以連成多少對(duì)異面直線？解答：（1）30030可以分解為2*3*5*7*11*13，因此能被不同偶數(shù)整除的個(gè)數(shù)為2*2*2*2*2=32個(gè)。（2）每個(gè)頂點(diǎn)可以與除了自己以外的7個(gè)頂點(diǎn)連成一條直線，因此8個(gè)頂點(diǎn)可以連成8*7/2=28條不同的異面直線。問題21：在一個(gè)圓周上有10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？解答：任意選取4個(gè)點(diǎn)，可以組成一個(gè)四邊形，四邊形的對(duì)角線相交于一個(gè)點(diǎn)，因此可以得到答案為C(10,4)=210個(gè)。某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示馬路。現(xiàn)在需要從點(diǎn)A到點(diǎn)B，求最短路徑的數(shù)量是多少？根據(jù)歐拉提出的遞推公式，假設(shè)有n位友人名字的信封，記錯(cuò)裝的總數(shù)為f(n)，用A、B、C……表示寫著n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相應(yīng)的寫好的信紙。當(dāng)把a(bǔ)錯(cuò)裝進(jìn)B里時(shí)，包含著這個(gè)錯(cuò)誤的一切錯(cuò)裝法分為兩類：一是b裝入A里，這時(shí)每種錯(cuò)裝的其余部分都與A、B、a、b無關(guān)，應(yīng)有f(n-2)種錯(cuò)裝法；二是b裝入A、B之外的一個(gè)信封，這時(shí)的裝信工作實(shí)際是把（除a之外的）份信紙b、c……裝入（除B以外的）n－1個(gè)信封A、C……，顯然這時(shí)裝錯(cuò)的方法有f(n-1)種。總之在a裝入B的錯(cuò)誤之下，共有錯(cuò)裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C，裝入D……的n－2種錯(cuò)誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯(cuò)裝法，因此得到一個(gè)遞推公式：f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}，分別帶入n=2、3、4等可推得結(jié)果。也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式：f(n)=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n-1/n!)。在排列組合問題中，有一些經(jīng)典題型和通用方法。例如，當(dāng)題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列時(shí)，可以使用相鄰問題捆綁法。當(dāng)元素相離（即不相鄰）時(shí)，可以先把無位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端，這就是相離問題插空排。在排列問題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序時(shí)，可以使用定序問題縮倍法。將一定數(shù)量的元素分配到一定數(shù)量的位置上，可以采用隔板法。例7.（1）將10個(gè)相同的球分配到3個(gè)不同的籃子里，每個(gè)籃子至少有一個(gè)球，有多少種不同的分配方法？解析：可以將球看作元素，籃子看作位置，那么問題就變成了將10個(gè)球分配到3個(gè)位置上的問題，即在10個(gè)球之間插入2個(gè)隔板，共有C12種不同的插法，其中兩個(gè)隔板分別將10個(gè)球分成了3組，每組至少有一個(gè)球，所以答案為C12-3=220種。（2）將12個(gè)人分配到4個(gè)不同的小組里，每個(gè)小組至少有2個(gè)人，有多少種不同的分配方法？解析：可以將人看作元素，小組看作位置，那么問題就變成了將12個(gè)人分配到4個(gè)位置上的問題，即在12個(gè)人之間插入3個(gè)隔板，共有C15種不同的插法，其中三個(gè)隔板分別將12個(gè)人分成了4組，每組至少有2個(gè)人，所以答案為C15-4=455種。(1)將數(shù)字1，2，3，4，5，6排列成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的數(shù)量為多少？解析：首先考慮個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字都不為0的情況，此時(shí)個(gè)位數(shù)字有5種選擇，十位數(shù)字有4種選擇，剩下的4個(gè)數(shù)字可以任意排列，即有A5×A4×P4^4種情況。然后考慮個(gè)位數(shù)字為0的情況，此時(shí)十位數(shù)字有5種選擇，剩下的5個(gè)數(shù)字可以任意排列，即有A5×P5^5種情況。因此，總共有A5×A4×P4^4+A5×P5^5種情況，約為464種，選C。(2)從1，2，3，...，100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法（不計(jì)順序）共有多少種？解析：首先考慮被取的兩個(gè)數(shù)都能被7整除的情況，此時(shí)有14個(gè)數(shù)可以選，因此有C14^2種情況。然后考慮被取的兩個(gè)數(shù)中只有一個(gè)能被7整除的情況，此時(shí)有14種選擇的一種數(shù)，另一個(gè)數(shù)有86種選擇，因此有14×86種情況。因此，總共有C14^2+14×86種情況，約為1295種。13.對(duì)于從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)的問題，可以采用反向思考，即先考慮不取甲型或不取乙型的情況，然后用總數(shù)減去不符合條件的情況，得到不同的取法共有70種，故選C。14.對(duì)于選排問題，可以采用先取后排法。例如在四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種，可以先取出四個(gè)球中兩個(gè)為一組，另外兩個(gè)各自為一組，然后再將這四個(gè)球放入四個(gè)盒中，得到共有144種放法。15.對(duì)于部分合條件問題，可以采用排除法。例如以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有多少種，可以先計(jì)算出正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)共有C8-12=58個(gè)四面體，然后將不符合條件的情況（即六個(gè)表面和六個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面）排除，得到實(shí)際共有58個(gè)四面體。同樣地，對(duì)于四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有141種，可以先計(jì)算出任取4個(gè)點(diǎn)共有C10種，然后將不符合條件的情況（即四點(diǎn)共面的三種情況）排除，得到實(shí)際共有141種不同的取法。本文介紹了幾種解題方法，包括枚舉法、分解與合成法、對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法等。首先是枚舉法。舉例說明，如果有3個(gè)球和3個(gè)盒子，其中2個(gè)球與2個(gè)盒子序號(hào)對(duì)應(yīng)，剩下1個(gè)球與1個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，那么總共有多少種裝法？通過枚舉法，可以得出剩下的球只有2種裝