試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第二篇函數與導數專題4不等式微點1均值不等式第二篇函數與導數專題4

不等式微點1

均值不等式【微點綜述】在數學研究中，有許多形式優美而且具有重要應用價值的不等式，一般稱其為重要不等式．本文著重探討均值不等式基本形式、變形及其應用．【典例刨析】一、高等數學知識：1．從二元、三元到元均值不等式，，．以上不等式等號當且僅當各字母相等時取等號．2．二元和三元的幾個變形用好不等式，等不等式．以上不等式等號當且僅當各字母相等時取等號．3．幾種平均數的比較（均值不等式鏈），記，分別稱為這個正數調和平均、幾何平均、代數平均、平方平均，則有，當且僅當時取等號．即個正數調和平均不超過它們的幾何平均，不超過它們的代數平均，不超過它們的平方平均．證明：首先證明，即要證．不妨設，于是，等號當且僅當時成立．因為，即．（*）下面用數學歸納法證明．顯然當時，成立；當n＝2時，也成立．假設當且時成立，那么對，，…，和這k個數有，從而有，兩邊同乘以，得．由（*）式得，即得．所以對n＝k＋1也成立，得證．在中，將，，．．．，分別換成，，…，得不等式，即．【反思】均值不等式常常用來證明一些其他的不等式、求解函數的極值和確定函數的值域等，特別是當n＝2時的不等式，更是隨處可見．4．不等式的對稱性設是一個元函數．若將中任意的兩個變元互相交換位置，得到的與原式是恒等的，則稱是完全對稱的，如，等．設是一個元函數．若作置換，得到的與原式是恒等的，則稱是輪換對稱的，如，等．顯然，完全對稱的一定是輪換對稱的．二、應用（一）應用均值不等式求函數的最值（值域）1．求函數的值域．【答案】【分析】利用基本不等式計算即可得到答案.【詳解】由基本不等式知，當且僅當，即時等號成立．所以函數的值域為．2．某加工廠有一塊三角形的鐵板余料（如圖），經測量得知：，，．工人師傅計劃用它加工成一個無蓋直三棱柱型水箱，設計方案為：將圖中的陰影部分（含的3個角）切去，再把它沿虛線折起，請計算當容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？【答案】當容器的高為時，容器的容積最大，最大容積是【分析】設容器的高為x，由題意可得，，，，于是可求得，從而可得容器的容積V的表達式，通過湊“定值”，利用均值不等式求最值即可．【詳解】設容器的高為x，由，，，得．從而，，，，于是，，．又由，可得．設容器的容積為V，則，當且僅當，即時，．【反思】建立目標函數、湊“定值”是利用均值不等式求最值的關鍵．本題也可利用求導進行處理．，令，由，得．當時，．3．已知x＞0，y＞0，且+=1，求x+y的最小值.【答案】16【分析】利用“”的代換的方法化簡，再結合基本不等式求得的最小值.【詳解】∵+=1，∴x+y=(x+y)·(+)=10+.

∵x＞0，y＞0，∴≥2=6.當且僅當，即y=3x時，取等號.又+=1，∴x=4，y=12.∴當x=4，y=12時，x+y取得最小值16.（二）應用均值不等式研究函數的單調性4．證明：數列為嚴格單調遞增數列．【答案】證明見解析【分析】根據遞增數列的定義，取，，利用均值不等式證明即可.【詳解】證明：取，，則由均值不等式可得，即得，所以數列為嚴格單調遞增數列．（三）應用均值不等式證明不等式5．已知a，b，c為正數，且a＋b＋c＝1，證明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.【答案】證明見解析.【分析】根據已知對不等式左邊的式子進行變形，結合基本不等式進行證明即可.【詳解】證明：(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)，(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8abc.當且僅當b＝c＝a＝時，等號成立.【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了推理論證能力.6．設正實數a、b、c滿足：，求證：對于整數，有．【答案】證明見解析【分析】本不等式是對稱不等式，顯然當時取等號．從不等式局部入手，當時，，用元均值不等式即可求解．【詳解】因為，所以.同理可得.三式相加可得：【點睛】對于對稱型不等式,有時從整體考慮較難入手,故比較管用的手法是從局部入手,從局部導出一些性質為整體服務,這里的局部可以是某一單項也可以是其中的若干項.【反思】對于對稱型不等式，有時從整體考慮較難入手，故比較管用的手法是從局部入手，從局部導出一些性質為整體服務，這里的局部可以是某一單項也可以是其中的若干項．7．已知，，求證：．【答案】證明見解析【分析】根據式子特征，將化成，同理變形其它，即可將原不等式等價轉化為證明成立，利用均值不等式即可容易證出.【詳解】因為，所以原不等式可等價于而，即成立，∴．【反思】如果沒有明顯的解題思路時，分析法是不等式的一種證明方法．8．設正實數滿足，正實數滿足，求證：．【答案】證明見解析【分析】如果從不等式局部入手，相乘，得，而，不等式方向不能傳遞，因此考慮多項式展開，再作打算．【詳解】證明：，，，，，故.【反思】注意均值不等式是“和大于等于積”，依此確定配湊方法．9．設是正實數，求證：．【答案】證明見解析【分析】將原不等式兩邊平方轉化為，結合換元法與均值不等式即可證明結論.【詳解】兩邊平方，并將所要證明的不等式改寫為：記于是有，且由均值不等式得：【反思】本題用了數列中的裂項相消法，配出和為定值是關鍵．10．求最小的實數m，使得對于滿足的任意正實數a，b，c，都有．【答案】27【分析】方法一：先利用均值不等式證明得，從而得到的最大值，進而利用恒成立問題的解法即可得解，解析過程要注意等號成立的條件.【詳解】因為當時，有，所以下面只需證明不等式對于滿足a+b+c=1的任意正實數a，b，c都成立．[方法一]：因為，所以，即，當且僅當時，等號成立；同理，，當且僅當時，等號成立；所以，當且僅當時，等號成立；因為，所以，當且僅當時，等號成立，即；因為，，，當且僅當時，等號成立；所以，當且僅當時，等號成立；所以，當且僅當時，等號成立，即；又因為，所以，當且僅當時，等號成立，即，因為，則，所以，即的最大值為，而恒成立，即恒成立，所以，即m的最小值為27.[方法二]：，，則，①由冪平均不等式，得，②①②相加得證，∴m的最小值為27．[方法三]：∵對于，構造函數，，由題意在處取得極小值，∴解得：，故，，故，．∴，把上面三個不等式相加，得，∴m的最小值為27．【針對訓練】11．當時，求的最大值．【答案】【分析】利用湊項法使得兩式和為定值，再利用基本不等式即可得解.【詳解】因為，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為．12．求出最大的正實數，使得對于滿足的任何實數成立不等式：．【答案】2【分析】根據式子結構，把變為，利用基本不等式，根據取等號的條件求出的值.【詳解】要求的最大值成立，根據式子結構，構造出．所以，（當且僅當，即當時，上述兩個等號可同取到）.令，且為正實數，解得：．13．是直角三角形的三邊，為斜邊，求使恒成立的的最大值．【答案】【分析】解法一：令，則，利用同角三角函數關系式，轉化為函數關系，利用導數確定單調性及取值情況，即可求得的最大值．解法二：令根據利用基本不等式求得最值即可.【詳解】解法一：令，則再令，則，，∴在上是減函數，故當即時，，從而．解法二：猜測時，．，∵，又，，，所以，從而，當且僅當時，等號成立，故，從而．14．設，且，求證：【答案】證明見解析【分析】根據均值不等式結合三角函數關系求證即可.【詳解】令，則，且則，同理所以又，所以.15．，，求證：【答案】證明見解析【分析】先利用均值不等式及不等式的性質證明，再結合分析法及均值不等式、函數的最值證明，得證.【詳解】因為，所以，即，當且僅當時，等號成立；欲證明，只需證明，①設，則，當且僅當時，等號成立；設，則，當且僅當時，等號成立；從而①等價于，即成立，因為，所以，所以成立，所以成立，綜上，.16．為互不相等的正數，求證：【答案】證明見解析【分析】根據時，可得，從而結合均值不等式類推得證.【詳解】當時，所以所以.17．已知，，求證：.【答案】證明見解析【分析】由得，結合已知得①，又得②，結合①②即可得證.【詳解】當且僅當即時，取等號，故由得，①，又當且僅當時，取等號，，當且僅當時，取等號，②，結合①②兩式得，即．18．正數滿足，證明：【答案】證明見解析【分析】由已知可得，從而，結合基本不等式即可證得結論.【詳解】∵，∴，∴．19．為正數，證明：【答案】證明見解析【分析】利用分析法，結合基本不等式證明即可.【詳解】，原不等式等價于，展開即需證明．令，則只需證明，即證，而，三式相加可得，所以原不等式得證．20．實數滿足，證明：．【答案】證明見解析【分析】利用均值不等式證明【詳解】．21．對正數，證明【答案】證明見解析【分析】不妨設，由原不等式逐步尋找使不等式成立的等價條件，利用分析法證明.【詳解】不妨設，原不等式，這是顯然成立的，當且僅當取等號．所以原不等式成立．22．已知：，，求證：【答案】證明見解析【分析】注意到當時，有，于是有，利用作差法可證得，同理有，兩式相加即可證得結論．【詳解】從不等式局部入手，注意到當時，有，因為，于是有，而，故，同理有，兩式相加得，故原不等式得證．23．，，求證：【答案】證明見解析【分析】從不等式局部入手，由，證得，同理，兩式相乘即可證得結論．【詳解】，即同理，，兩式相乘得，原不