第7章平面向量7.4向量的內(nèi)積創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入Fs圖7—21O如圖7－21所示，水平地面上有一輛車(chē)，某人用100N的力，角的方向拉小車(chē)，使小車(chē)前進(jìn)了100m．朝著與水平線(xiàn)成那么，這個(gè)人做了多少功？做功等于力與在力的方向上移動(dòng)的距離的乘積．力F是水平方向的力W＝｜F｜c(diǎn)os30°·｜s｜＝100×·10＝500與垂直方向的力的和，垂直方向上沒(méi)有產(chǎn)生位移，沒(méi)有做功，水平方向上產(chǎn)生的位移為s，即動(dòng)腦思考探索新知W＝｜F｜c(diǎn)os30°·｜s｜＝100×·10＝500這里，力F與位移s都是向量，而功W是一個(gè)數(shù)量，它等于由兩個(gè)向量F，s的模及它們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量F與向量s的內(nèi)積,它是一個(gè)數(shù)量，又叫做數(shù)量積．BAOab如圖，設(shè)有兩個(gè)非零向量a，b，作由射線(xiàn)OA與OB所形成的的角叫做向量a與向量b的夾角，記作<a，b>．兩個(gè)向量a，b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b，即

a·b＝|a||b|cos<a，b>(7.10)

由內(nèi)積的定義可知a·0＝0,0·a＝0.動(dòng)腦思考探索新知?jiǎng)幽X思考探索新知由內(nèi)積的定義可以得到下面幾個(gè)重要結(jié)果：當(dāng)a＝b時(shí)，有<a，a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝cos<a,b>＝當(dāng)<a,b>＝0時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)<a,b>=時(shí)，a·b＝?|a||b|．a(chǎn)·b＝0ab.

對(duì)非零向量a，b，有動(dòng)腦思考探索新知可以驗(yàn)證，向量的內(nèi)積滿(mǎn)足下面的運(yùn)算律：a·b＝b·a.

(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

a·(b·c)≠(a·b)

·c.

一般地，向量的內(nèi)積不滿(mǎn)足結(jié)合律，即鞏固知識(shí)典型例題例1

已知|a|＝3,|b|＝2,<a，b>＝60°，求a·b．解

a·b＝|a||b|cos<a，b>＝3×2×cos60°＝3．鞏固知識(shí)典型例題例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．解

cos<a,b>＝由于0≤<a,b>≤180°，所以<a,b>＝運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1.已知|a|＝7,|b|＝4，a和b的夾角為60°，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|.3.已知|a|＝2,|b|＝3,<a,b>＝30°，求(2a＋b)·b

．動(dòng)腦思考探索新知設(shè)平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j，故i·j

＝0,又|i|＝|j|＝1,所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)

＝x1

x2

i?i＋x1

y2

i?j＋x2

y1i?j

＋y1

y2

j?j

＝x1

x2|j|2＋y1

y2|j|2

＝x1

x2＋y1

y2.

這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即

a·b＝x1

x2＋y1

y2

(7.11)

設(shè)a＝(x,y)，則，即動(dòng)腦思考探索新知

cos<a,b>＝(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出兩個(gè)向量的夾角.由于a⊥ba·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0

x1

x2＋

y1

y2＝0．因此a⊥b

x1

x2＋

y1

y2＝0．

(7.14)

由平面向量?jī)?nèi)積的定義可以得到，當(dāng)a，b是非零向量時(shí)，鞏固知識(shí)典型例題例3求下列向量的內(nèi)積：（1）a＝(2,?3),b＝(1,3)；（2）a＝(2,?1),b＝(1,2)；（3）a＝(4,2),b＝(?2,?3)．解

(1)a·b＝2×1＋(?3)×3＝?7；

(2)a·b＝2×1＋(?1)×2＝0；

(3)a·b＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14．

鞏固知識(shí)典型例題例4

已知a＝(?1,2)，b＝(?3,1)．求a·b,|a|,|b|,<a,b>．

解

a·b＝(?1)(?3)＋2×1＝5.

|a|＝|b|＝cos<a，b>＝所以<a，b>＝鞏固知識(shí)典型例題例5判斷下列各組向量是否互相垂直：(1)a＝(?2,3),

b＝(6,4)；(2)a＝(0,?1),

b＝(1,?2)．解(1)因?yàn)閍·b＝(?2)×6＋3×4＝0，所以a⊥b．(2)因?yàn)閍·b＝0×1＋(?1)×(?2)＝2，所以a與b不垂直．運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1.已知a＝(5,?4)，b＝(2,3)，求a·b．2.已知a＝(2,?3)，b＝(3,?4)，c＝(?1,3),求a·(b＋c)．本節(jié)知識(shí)點(diǎn)：1.向量?jī)?nèi)積定義：2.特殊情況：(1)(2)當(dāng)<a,b>＝90°時(shí)，cos<a，b>=0

a·b＝0；(3)

a·b＝|a||b|cos<a，b>

當(dāng)<a,b>＝0°時(shí)，

cos<a，b>=1

a·b＝|a||b|；當(dāng)<a,b>=時(shí)，cos<a，b>=-1

a·b＝?|a||b|．(4)a·0＝0,0·a＝0.3.運(yùn)算律：(1)交換律：a·b＝b·a.

(2)結(jié)合律：注意：結(jié)合律中是一個(gè)實(shí)數(shù)，兩個(gè)向量，三個(gè)向量相乘是不滿(mǎn)足結(jié)合律的。

a·(b·c)≠(a·b)

·c.

(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

（1）cos<a,b>＝4.設(shè)a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),

a·b＝x1

x2＋y1

y2.(5.求向量的模長(zhǎng)：設(shè)a