廣東省揭陽市五經富中學2022年高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設數列是等差數列，且，則這個數列的前5項和=（

）A．10

B．15

C．20

D．25參考答案：D2.設是函數的反函數，則使成立的的取值范圍為A、

B、

C、

D、參考答案：答案：A3.隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質量的關注度也逐步增大，如圖是某城市1月至8月的空氣質量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質量等級，一級空氣質量最好，一級和二級都是質量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數超過20天的月份有5個B．第二季度與第一季度相比，空氣達標天數的比重下降了C．8月是空氣質量最好的一個月D．6月份的空氣質量最差參考答案：D【考點】頻率分布直方圖．【分析】在A中，1月至8月空氣合格天數超過20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5個；在B中，分別求出第一季度合格天數的比重和第二季度合格天氣的比重，能求出結果；在C中，8月空氣質量合格的天氣達到30天；在D中，5月空氣質量合格天氣只有13天．【解答】解：在A中，1月至8月空氣合格天數超過20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5個，故A正確；在B中，第一季度合格天數的比重為：，第二季度合格天氣的比重為：≈0.6263，∴第二季度與第一季度相比，空氣達標天數的比重下降了，故B正確；在C中，8月空氣質量合格的天氣達到30天，是空氣質量最好的一個月，故C正確；在D中，5月空氣質量合格天氣只有13天，5月份的空氣質量最差，故D錯誤．故選：D．4.將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有1個小球，且每個盒子中的小球個數都不同，則不同的放法共有（

）A.15種

B.18種

C.19種

D.21種參考答案：B5.復數（為虛數單位）的模是（

）A.

B.

C.5

D.8參考答案：A6.已知直線與兩個不同的平面，則下列每題正確的是（

）A．若，則

B．若則C．若則

D．若則參考答案：B7.設G是△ABC的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a+b+c=，則角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°參考答案：D【考點】余弦定理；平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據三角形重心的性質得到，可得．由已知向量等式移項化簡，可得=，根據平面向量基本定理得到，從而可得a=b=c，最后根據余弦定理加以計算，可得角A的大小．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移項化簡，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，設c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A為三角形的內角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故選：D8.已知直線y=kx與函數f（x）=的圖象恰好有3個不同的公共點，則實數k的取值范圍是(

) A．（﹣1，+∞） B．（0，﹣1） C．（﹣﹣1，﹣1） D．（﹣∞，﹣﹣1）∪（﹣1，+∞）參考答案：A考點：函數的零點與方程根的關系．專題：計算題；作圖題；函數的性質及應用．分析：作直線y=kx與函數f（x）=的圖象，結合圖象，由排除法確定選項即可．解答： 解：作直線y=kx與函數f（x）=的圖象如下，由圖象可知，k不可能是負數，故排除C，D；且k可以取到1，故排除B；故選A．點評：本題考查了函數的圖象的作法及應用，屬于基礎題．9.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的S值為（

）A．15

B．37

C．83

D．177參考答案：B執行程序，可得，不符合，返回循環；，不符合，返回循環；，不符合，返回循環；，不符合，返回循環；，符合，輸出；故選：B

10.已知點A（1，0），若曲線G上存在四個點B，C，D，E．使△ABC與△ADE都是正三角形，則稱曲線G為“雙正曲線”．給定下列四條曲線：

①4x+3y2=0； ②4x2+4y2=1； ③x2+2y2=2； ④x2－3y2=3其中，“雙正曲線”的個數是（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量，滿足，則的最大值是

.A.4 B.7

C.10

D.12參考答案：C12.下列四個命題：①函數f（x）=cosxsinx的最大值為1；②命題“?x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“?x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC為銳角三角形，則有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“a≤0”是“函數f（x）=|x2﹣ax|在區間（0，+oo）內單調遞增”的充分必要條件．其中所有正確命題的序號為．參考答案：②③④【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】對四個命題分別進行判斷，即可得出結論．【解答】解：①函數f（x）=cosxsinx=sin2x的最大值為，不正確；②命題“?x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“?x∈R，x﹣2＞lgx”，正確；③∵△ABC為銳角三角形，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∵y=sinx在（0，）上是增函數，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosCsinA，正確；④a≤0，函數f（x）=|x2﹣ax|的零點是a，0，結合二次函數的對稱軸，可得函數f（x）=|x2﹣ax|在區間（0，+∞）內單調遞增；若函數f（x）=|x2﹣ax|在區間（0，+∞）內單調遞增，結合二次函數的對稱軸，可得≤0，∴a≤0，∴“a≤0”是“函數f（x）=|x2﹣ax|在區間（0，+∞）內單調遞增”的充分必要條件，正確．故答案為：②③④．13.已知矩陣A=，矩陣B=，計算：AB=

．參考答案：略14.在三棱錐D-ABC中，,，則三棱錐D-ABC外接球的表面積為__________．參考答案：6π.【分析】根據所給數據可得垂直關系，結合模型可求外接球的表面積.【詳解】因為，；所以,所以三棱錐的外接球就是以分別為長寬高的長方體的外接球，故其對角線就是外接球的直徑，設外接球的半徑為，則,即，故外接球的面積為.【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積，借助長方體這個模型可以簡化求解過程，側重考查直觀想象和數學運算的核心素養.15.如圖是函數的圖象，則其解析式是____.參考答案：16.展開式中，常數項是

．參考答案：17.下列命題：①；②命題“，”的否定是“，”；③已知，則“”是“”的充分不必要條件；④已知，，則在上的投影為；⑤已知函數的導函數的最大值為3，則函數的圖像關于對稱，其中正確的命題是

。參考答案：③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的一個焦點是，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設經過點的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求的取值范圍．參考答案：(1)設橢圓的半焦距是依題意，得因為橢圓的離心率為，所以故橢圓的方程為(2)當軸時，顯然當與軸不垂直時，可設直線的方程為由消去并整理得

設線段的中點為

則所以線段的垂直平分線的方程為

在上述方程中，令x＝0，得當時，當時，

所以或綜上，的取值范圍是略19.在水域上建一個演藝廣場，演藝廣場由看臺Ⅰ，看臺Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺BCDE四個部分構成（如圖），看臺Ⅰ，看臺Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個半圓形區域，且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，矩形表演臺BCDE中，CD=10米，三角形水域ABC的面積為平方米，設∠BAC=θ．（1）求BC的長（用含θ的式子表示）；（2）若表演臺每平方米的造價為0.3萬元，求表演臺的最低造價．參考答案：【考點】GL：三角函數中的恒等變換應用；HN：在實際問題中建立三角函數模型．【分析】（1）根據看臺的面積比得出AB，AC的關系，代入三角形的面積公式求出AB，AC，再利用余弦定理計算BC；（2）根據（1）得出造價關于θ的函數，利用導數判斷函數的單調性求出最小造價．【解答】解：（1）∵看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，∴（）2=3×（）2，∴AB=AC，∵S△ABC==AC2sinθ=400，∴AC2=，∴AB2=，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosθ=，∴BC=40．（2）設表演臺的造價為y萬元，則y=120，設f（θ）=（0＜θ＜π），則f′（θ）=，∴當0時，f′（θ）＜0，當時，f′（θ）＞0，∴f（θ）在（0，）上單調遞減，在（，π）上單調遞增，∴當θ=時，f（θ）取得最小值f（）=1，∴y的最小值為120，即表演臺的最小造價為120萬元．【點評】本題考查了解三角形，函數最值計算，余弦定理，屬于中檔題．20.甲乙丙丁四個人做傳球練習，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等概率地傳給其余三個人之一，設表示經過n次傳遞后球回到甲手中的概率，求：

(1)之值

(2)(以n表示之)參考答案：【答案解析】(1)

(2)解析：(1)經過一次傳球后，落在乙丙丁手中的概率分別為，而落在甲手中概率0，因此=0，兩次傳球后球落在甲手中的概率為=×+×+×＝(2)要想經過n次傳球后球落在甲的手中，那么在n－1次傳球后球一定不在甲手中，所以＝(1－),n＝1,2,3,4,…,因此＝(1－)＝×＝,＝(1－)＝×＝,＝(1－)＝×＝,＝(1－)＝×＝,∵＝(1－)

∴－＝－(－)－＝(－)所以＝－.

略21.(12分)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．（1）求A；（2）若，求sinC．參考答案：解：（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因為，所以．（2）由（1）知，由題設及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．

22.自駕游從地到地有甲乙兩條線路，甲線路是，乙線路是，其中段、段、段都是易堵車路段.假設這三條路段堵車與否相互獨立.這三條路段的堵車概率及平均堵車時間如表1所示.

CD段EF段GH段堵車概率平均堵車時間（單位：小時）21（表1）堵車時間（單位：小時）頻數86382424（表2）

經調查發現，堵車概率在上變化，在上變化.在不堵車的情況下.走線路甲需汽油費500元，走線路乙需汽油費545元.而每堵