--#-/25應該指出，除了離散型，連續型以外，隨機變量還有其它類型，例如0,x<0F（x）=J土,0<x<121,x>1是分布函數，它不是離散型的，也不是連續型的（因為它不連續）.以后如果對一般的隨機變量進行討論，就用分布函數；如果對離散型情形，主要就用分布列；如果對連續型，則主要用密度函數,不另提其它類型了。基礎訓練2.3第四節隨機變量函數的分布在實際中，我們不僅要研究隨機變量，還要討論隨機變量的函數.例如在測量圓軸的截面積時，往往只能測量到圓軸的直徑，然后由函數得到截面積的值。在這一節中，我們討論如何由已知隨機變量的分布去求它的函數的分布，這里是已知的連續函數。一離散型隨機變量函數的分布設隨機變量的分布律為顯然，的連續函數也是一個離散型的隨機變量.如何由的概率分布導出Y的概率分布？第一步，先由可能取到值確定的所有可能取到的值；第二步，如果隨機變量取不同的值時，隨機變量函數也取不同的值，則Y的分布列為如果隨機變量取不同的值時，而隨機變量函數的取值中有相等的，則應把那些相等的值分別合并，并根據概率的可加性把對應的概率相加，就得到Y的分布列.【例1【例1】設的分布列為012345求（1）的分布律；（2）的分布律【解】（1）Y的可能取值為1,3,5,7,9,11,它們互不相同,所以Y的分布律為1357911（2）Y的可能取值為0，1，4，9它們有相同的則；同理可得，；.所以Y的分布律為0149二連續型隨機變量的函數分布設已知連續型隨機變量的分布函數為或其密度函數為，那么應當如何確定隨機變量的概率密度？1.分布函數法從的分布函數為，而Y的概率密度函數可由得到.【例2】設隨機變量具有概率密度函數求隨機變量的概率密度函數。【解】先求的分布函數.當時，事件為不可能事件，所以當時，有根據的概率密度函數表達式，有當，即時，有當，即時，有綜上，我們得到Y的分布函數為

于是Y的概率密度函數為【例3】對一圓片的直徑進行測量，其值在［5,6］上服從均勻分布，求圓片面積的概率密度.【解】設圓片的直徑為，則圓片的面積為⑴因為’所以FX(x)十⑴因為’所以FX(x)十x-5,5<x<6；1,x>6⑵Fy(⑵Fy(y)=P(Y<y)=為x2<y}T0,y<0律<X<2P{-21)而當時，將代入的分布函數中，得2)綜合式(1)、式(2)，得到Y的分布函數FY(y)FY(y)<y<9k對Y的分布函數求導，得到Y的概率密度函數f125k門I/—，<y<9兀f(y)=L：ky4

y|o,其它【例4】設隨機變量具有概率密度函數，求隨機變量的概率密度函數.【解】由于，故當時，；當時有由此知Y的概率密度函數為0,y<0.(y)二d-F(y)」占m小-?y>0;ydyy0,y<0.注15】根據本例，若，的概率密度函數為

則的概率密度函數為則的概率密度函數為I1_1_于y>0;y<o.Iy2e2y>0;y<o.f(y)十仏'Io,此時稱Y服從自由度為1的卡方分布，記為分布.2.定理法定理2設隨機變量具有概率密度函數，為內的嚴格單調的可導函數，則隨機變量的概率密度函數為（2.22）其中是的反函數，且證不妨設嚴格單調增加，則，它的反函數存在，且也嚴格單調增加.因為在區間之間取值，所以當時,；當時；當時，于是，Y的概率密度函數為對于嚴格單調下降的情形可以類似證明，此時有合并以上兩式，即得（2.22）式.【例5】設隨機變量證明也服從正態分布.【證】因為，所以；由為嚴格單調函數，得，，且根據定理，得所以【注16】由上面的討論知，求隨機變量的函數的分布，關鍵的一步是在事件中，解得的取值范圍，而Y的分布函數就是的概率密度函數在此取值范圍上的積分。當是嚴格單調函數時，可應用定理給出的結果。要注意的是，由事件得出的的取值范圍可能不止一個區間，此時則應在各個區間上對的概率密度函數積分，然后得出Y的分布函數。【例6】*設X的概率密度函數為0<x<兀;其他2xf(x)=<0<x<兀;其他I0,求的概率密度函數.【解】因為Y在［0，1］上取值，所以當時，

當時，；當時，.當時，滿足的落在區間和之內（圖2-13），故若記則Y的分布函數為于是