2.1微擾動的傳播當(dāng)彈丸在空氣中以超音速飛行或者超音速氣流圍繞固定的彈丸時，如圖所示，自彈丸頭部以及其他部位發(fā)出的暗線，都是擾動傳播的結(jié)果。顯然，這種擾動是由于氣流在彈體表面發(fā)生折轉(zhuǎn)而形成的，擾動在超音速氣流中傳播開來就形成了這些暗線。隨著彈丸運動或者氣流流過彈丸，彈丸表面各點不斷發(fā)出擾動，我們把這種連續(xù)發(fā)出擾動的點叫擾動源，將連續(xù)地發(fā)出微擾動的點叫微擾動源?，F(xiàn)在考慮在靜止均勻的氣體中以速度V運動的微擾動源，其微擾動的傳播速度為a，在某一瞬時t擾動的傳播情況分以下四種：2.1微擾動的傳播當(dāng)彈丸在空氣中以超音速飛行12.1微擾動的傳播一、點擾動源的速度為零擾動以o點為球心往四面八方傳播，如果擾動源以每隔一秒發(fā)出一個擾動，那么在t秒末就有t個同心的擾動球面。當(dāng)時間足夠長時，擾動就會遍及于全流場，如圖(a)所示。二、點擾動源的速度為亞音速在t瞬時，擾動源運動到o點，要找在該瞬時擾動的傳播情況。就是要找t以前擾動源所發(fā)出的擾動到t時傳播的情況。當(dāng)V<a時，擾動源發(fā)出的擾動，連續(xù)地布滿全部空間。2.1微擾動的傳播一、點擾動源的速度為零擾動以o22.1微擾動的傳播三、點擾動源的速度等于音速用相樣的方法可以作出t瞬時擾動的傳播圖形。因為V=a，2V=2a…所得的擾動球面均通過o點。且在o點與垂直于V的平面相切(見圖c)，即擾動不能通過此平面，只能傳播到擾動源所經(jīng)過的那一邊。該平面以左為作用區(qū)或擾動區(qū)，以右為寂靜區(qū)。當(dāng)V=a時，擾動連續(xù)地布滿以通過擾動源垂直于V的平面為界的半空間。2.1微擾動的傳播三、點擾動源的速度等于音速用相32.1微擾動的傳播四、點擾動源的速度大于音速用同樣的方法可以作出在t瞬時擾動的傳播圖形，因為V>a,2V>2a……所有的擾動球面均與一圓錐面相切。此圓柱面以o點為頂點，以V為軸，包圍擾動源所經(jīng)過的區(qū)域(如圖d)。由此可見，當(dāng)V>a時，擾動連續(xù)布滿圓錐形空間。2.1微擾動的傳播四、點擾動源的速度大于音速用同4求圓錐的母線與其軸的夾角μ，即圓錐的半頂角。由圖看出2.1微擾動的傳播OA為擾動空間和未擾動空間的分界面，叫微擾動波（馬赫波），μ叫微擾動角（馬赫角），也就是速度V與微擾動波的夾角?？偨Y(jié)：(1)當(dāng)V≥a時才出現(xiàn)馬赫角；當(dāng)V=a時μ=π/2；當(dāng)V>a時，。(2)微弱擾動傳播的區(qū)域：M<1時，微弱擾動可傳播到整個區(qū)域；M≥1時，微弱擾動可傳播到馬赫錐以內(nèi)的區(qū)域，馬赫波和馬赫錐只在超音速流場中存在。求圓錐的母線與其軸的夾角μ，即圓錐的半頂角。2.1微擾5

2.2膨脹波的形成及其特點一、膨脹波的形成設(shè)有流速為M的定常直勻超音速氣流沿直壁AOB由左向流來，如圖所示，略去壁面的摩擦作用，直壁AOB和氣流完全平行，它對氣流是不產(chǎn)生任何擾動的。現(xiàn)假定在壁面的o點有一微小毛疵，這毛疵會對流場產(chǎn)生一個極微弱的擾動，擾動的傳播線是馬赫線OL，OL和壁面之間的夾角是對應(yīng)于M的馬赫角μ。2.2膨脹波的形成及其特點一、膨脹波的形成62.2膨脹波的形成及其特點現(xiàn)在若壁面在O點不是一小毛疵，而是一微小外凸角dδ角。此時沿壁面流動的氣流也就隨著向外折轉(zhuǎn)一個dδ角，繼續(xù)沿壁面流動，折轉(zhuǎn)點O為擾動源，氣流經(jīng)O點產(chǎn)生一道微弱擾動波OL，弱擾動波與波前氣流的夾角也為μ，并且。2.2膨脹波的形成及其特點現(xiàn)在若壁面在O點不是一小72.2膨脹波的形成及其特點這說明超音速氣流受外凸擾動時，流管截面積是增大的，此時氣流速度必然要加速，同時壓強、溫度、密度等參數(shù)相應(yīng)地降低。因此，超音速氣流流經(jīng)由微小外折角所引起的微弱擾動波是膨脹波。其中dδ—氣流折轉(zhuǎn)角，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負。在圖所示的情況下，dδ<0,故∠BOL=μ-dδ。由于,所以dA>0。氣流向外折轉(zhuǎn)時其截面面積要發(fā)生變化，變化量dA為2.2膨脹波的形成及其特點這說明超音速氣流受82.2膨脹波的形成及其特點設(shè)想超音速氣流在O點外折了一個微小角度dδ后，在O1、O2等一系列點，繼續(xù)外折一系列微小的角度dδ1、dδ2‥‥‥。在壁面的每一個折轉(zhuǎn)處，都產(chǎn)生一道膨脹波O1L1、O2L2‥‥‥，個膨脹波與波前氣流方向的夾角為μ1μ2

‥‥‥，因氣流每經(jīng)過一道膨脹波，M數(shù)都有所增加，那么μ則逐漸減小，膨脹波沿流線越來越傾斜，是發(fā)散形的。根據(jù)極限的概念，曲線可以看成是由無數(shù)段微元折線所組成的。因此，超音速氣流繞外凸曲壁流動的問題與上述問題的本質(zhì)是相同的。曲壁上每一點都相當(dāng)于一個折點，都有一道膨脹波，氣流每經(jīng)過一條膨脹波就折轉(zhuǎn)一個微小的角度dδ，參數(shù)就發(fā)生一個微小的變化。經(jīng)過無限多個微小量的變化后，參數(shù)將累積發(fā)生一個有限值的變化，并折轉(zhuǎn)一個有限的角度δ。2.2膨脹波的形成及其特點設(shè)想超音速氣流在O點外折91.定常直勻超音速氣流繞外凸壁流動時，在壁面折轉(zhuǎn)處必定產(chǎn)生一扇形膨脹波系，此扇形膨脹波系是由無限多的馬赫波所組成。2.氣流經(jīng)過膨脹波系時氣流參數(shù)是連續(xù)的變化(速度增大，壓強、溫度、密度相應(yīng)減小)。3.氣流穿過膨脹波系的流動過程是等熵的膨脹過程。氣流穿過膨脹波系后，將平行于壁面流動，即氣流方向朝著離開波面的方向轉(zhuǎn)折。4.沿著膨脹波系中的任意一條馬赫波，所有的氣流參數(shù)相同，而且馬赫波都是直線。5.對于給定的起始條件，膨脹波系中的任意一點的速度大小只與該點的氣流方向有關(guān)或轉(zhuǎn)折角的大小有關(guān)。二、超音速氣流繞外凸壁流動的特點2.2膨脹波的形成及其特點1.定常直勻超音速氣流繞外凸壁流動時，在壁面折轉(zhuǎn)處必定產(chǎn)生一102.3膨脹波計算公式（一）膨脹波前后氣流速度變化與折轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系設(shè)超音速氣流以速度V流過一具有微小外凸角dδ的外凸壁，在折轉(zhuǎn)處產(chǎn)生與波前氣流方向V成μ角的膨脹波(如圖)。在波上取一控制區(qū)“aa1bb1”，aa1和bb1與波面平行且無限接近，而ab1和a1b與波面垂直。波前氣流參數(shù)為M、V、ρ、p、T，氣流經(jīng)過此波后折轉(zhuǎn)了dδ角。波后氣流參數(shù)為M1=M+dM，V1=V+dV，p1=p+dp，ρ1=ρ+dρ，T1=T+dT。為了分析方便．將速度V、V1分解成平行OL被面的Vt、V1t與垂直于OL波面的Vn、V1n。設(shè)m表示單位時間內(nèi)通過OL波面的單位面積的質(zhì)量。一、超音速氣流小角向外折轉(zhuǎn)（）2.3膨脹波計算公式（一）膨脹波前后氣流速度變化與折轉(zhuǎn)角的11根據(jù)連續(xù)方程展開并略去二階小量，得或作用在控制面上的力在法向的分力為根據(jù)動量方程有(a)2.3膨脹波計算公式根據(jù)連續(xù)方程展開并略去二階小量，得或作用在控制面上的力在法向12將代入上式，得將(a)代入上式得(b)由于，故有說明膨脹波前氣流法向分速必等于當(dāng)?shù)匾羲佟?.3膨脹波計算公式將代入上式，得將(a)代入上式得(b)由于13由于在平行波面方向上沒有壓強變化，因此作用在控制區(qū)表面上的合力在該方向的分量為零。根據(jù)動量方程即上式說明氣流經(jīng)過膨脹波時，在平行于波面方向上的分速Vt保持不變?？梢娛街衐δ<0，將cos(μ-dδ)展開得由于dδ為無限小量，故，。(c)(d)(e)2.3膨脹波計算公式由于在平行波面方向上沒有壓強變化，因此作用在控制區(qū)14因故代入（e）式有此式就是超音速氣流沿外凸壁流動的基本微分方程，也是膨脹波前后的流速變化關(guān)系式。二、膨脹波前后壓強、密度、溫度等變化與轉(zhuǎn)折角流速變化關(guān)系式1.壓強關(guān)系式根據(jù)微分形式的動量方程可求得超音速氣流流過微小外凸角dδ后，膨脹前后的壓強變化關(guān)系式。2.3膨脹波計算公式因故代入（e）式有此式就是超音速氣流沿外凸壁流動的基本微分方15一維形式動量方程或者將式代入上式，得2.密度關(guān)系式根據(jù)音速公式可得膨脹波前后密度變化關(guān)系式所以2.3膨脹波計算公式一維形式動量方程或者將式代入上式，得2.密度關(guān)系163.溫度關(guān)系根據(jù)音速公式可得膨脹波前后密度變化關(guān)系式由得代入壓強關(guān)系式和密度關(guān)系式得說明：外凸角dδ越大，超音速氣流折轉(zhuǎn)后的壓強、密度、溫度下降越多；氣流M數(shù)增大，等式右邊分子項要隨增大，而分母項要隨氣流M數(shù)增大，因此壓強、密度、強度降低較或的比例為小。2.3膨脹波計算公式3.溫度關(guān)系根據(jù)音速公式可得膨脹波前后密度變化關(guān)系式由172.3膨脹波計算公式二、超音速氣流大角向外折轉(zhuǎn)由前面的分析知，超音速氣流大角向外折轉(zhuǎn)時，在折轉(zhuǎn)處要產(chǎn)生扇形膨脹波系。氣流通過扇形區(qū)域過程，連續(xù)地向外折轉(zhuǎn)，氣流參數(shù)連續(xù)變化，所以此時膨脹過程可看作是等熵過程。為了導(dǎo)出氣流的方向角δ和M數(shù)之間的變化。首先從超音速氣流沿外凸壁流動的基本微分方程出發(fā)，即：為了積分上式。要知道V和M之間的關(guān)系，利用V=aM取對數(shù)積分得2.3膨脹波計算公式二、超音速氣流大角向外折轉(zhuǎn)182.3膨脹波計算公式而絕能等熵過程時，a0=常數(shù)，對上式積分整理得代入基本微分方程得積分得2.3膨脹波計算公式而絕能等熵過程時，a0=常數(shù)，對上式積192.3膨脹波計算公式令于是式中δ為氣流流動的方向角，即氣流速度方向?qū)τ趚軸正向的傾角(規(guī)定逆時針方向為正，順時針方向為負)。

ν(M)稱為普朗特-邁耶(Prandtl-Meyer)函數(shù)，其值取決于氣體性質(zhì)(k值)和M數(shù)。顯然，ν(M)的單位是角度單位。至于積分常數(shù)C_,可由已知的未被擾動氣流的方向角δ1和Ml數(shù)來確定。即則有2.3膨脹波計算公式令于是式中δ為氣流流動的方向角，即氣流202.3膨脹波計算公式若M1=1得由此可見，普朗特-邁耶函數(shù)表示由M=1氣流膨脹到M數(shù)大于1時的氣流折轉(zhuǎn)角，稱之為普朗特-邁耶角。當(dāng)最終M數(shù)為無限大時，普朗特-邁耶角為最大值。2.3膨脹波計算公式若M1=1得由此可見，普朗特-邁耶函數(shù)212.3膨脹波計算公式

如果超音速氣流沿著如圖所示的外凸壁面流動，則在折轉(zhuǎn)處會產(chǎn)生右伸膨脹波系(由無限多的右伸馬赫線所組成)。此時氣流穿過每道膨脹波，折轉(zhuǎn)角dδ是正的，因此用上述相同的方法可導(dǎo)得積分得或2.3膨脹波計算公式如果超音速氣流沿著如圖222.3膨脹波計算公式

由上式可見，在給定波前的氣流參數(shù)的條件下，只需知道壁面的折轉(zhuǎn)角就可確定ν(M2)，從而就可確定波后氣流的馬赫數(shù)M2。最后即可確定波后其它的氣流參數(shù)。因此超音速氣流繞外凸壁流動時，氣流參數(shù)值的總變化只決定于波前氣流參數(shù)和總共的折轉(zhuǎn)角度，而與氣流的折轉(zhuǎn)方式無關(guān)。即不論是一次折轉(zhuǎn)，還是多次折轉(zhuǎn)，也不論是壁面突然折轉(zhuǎn)還是經(jīng)曲壁的逐漸折轉(zhuǎn)，只要總的折轉(zhuǎn)角度相同，其最后的參數(shù)值是相同的。設(shè)膨脹波系后的氣流方向角為δ2，馬赫數(shù)為M2。則對于右伸膨脹波系為2.3膨脹波計算公式由上式可見，在給定波232.3膨脹波計算公式例題：M數(shù)為1的均勻空氣流繞外凸壁膨脹流動，氣流按逆時針方向折轉(zhuǎn)20，計算經(jīng)膨脹波系后的最終M數(shù)。。解：因為初始來流M1=1，故，而氣流穿過膨脹波系為逆時針方向折轉(zhuǎn)，故此膨脹波系為右伸膨脹波系，有將帶入上式，則得查表得2.3膨脹波計算公式例題：M數(shù)為1的均勻空氣流繞外凸壁膨脹242.4微弱壓縮波

如圖所示，超音速直勻氣流沿內(nèi)凹壁AOB流動，壁面在O點向內(nèi)折轉(zhuǎn)一個微小的角度dδ，于是在折轉(zhuǎn)處將產(chǎn)生一道馬赫波OL，氣流穿過波OL流動方向向內(nèi)折轉(zhuǎn)了一個微小的角度dδ（dδ>0）與壁面OB相平行，氣流參數(shù)也發(fā)生一個微小的變化。從圖上所示流管截面積的變化可以看出，通過波OL時，流管截面積是減小的。即這說明超音速氣流受內(nèi)凹擾動時，流管截面積變小，此時壓強、溫度、密度等參數(shù)將相應(yīng)地增大。這種微弱擾動波就是微弱壓縮波。2.4微弱壓縮波如圖所示，超音速直勻氣流沿內(nèi)252.4微弱壓縮波但是超音速氣流大角向外折轉(zhuǎn)的處理方法對大角向內(nèi)折轉(zhuǎn)是不適用的。這是因為氣流經(jīng)壓縮波是減速的，這樣，每經(jīng)過一道壓縮波，氣流已向內(nèi)折轉(zhuǎn)了一個角度，再加上μ角又是逐漸加大的，各壓縮波將會相交聚集而成強壓縮波(即激波)。有關(guān)激波的理論將在下一章詳細研究。關(guān)于微弱壓縮波后氣流參數(shù)的計算，如果是左伸微弱壓縮波仍用式：如果是右伸微弱壓縮波仍用式2.4微弱壓縮波但是超音速氣流大角向外折轉(zhuǎn)的處理方262.5波的反射和相交上面討論的都是在流場中只存在單波系(左伸波系或右伸波系)的流動情況。但實際情況是，往往同時存在著左伸和右伸波系的問題。例如：膨脹波(或微弱壓縮波)在固壁面或自由邊界面上的反射、兩族膨脹波(或微弱壓縮波)的相交等問題。

為了簡化對問題的討論，把每個微小角度的折轉(zhuǎn)所引起的膨脹波系用一條膨脹波來替代。這條膨脹波的方向由波前氣流方向和波前馬赫角來決定(當(dāng)然也可以較為準(zhǔn)確地用波前后平均氣流方向和波前后平均馬赫角來決定)，見圖（a）。如果δ角較大，則實際存在的扇形膨脹區(qū)較大，再用一條波替代就欠準(zhǔn)確，此時可把δ角分成幾等分，由幾條膨脹波來替代，見圖（b）。2.5波的反射和相交上面討論的都是在流場中只存在單波272.5波的反射和相交在每條膨脹波之間的狹小扇形區(qū)域中氣流參數(shù)認(rèn)為是均勻的，即氣流參數(shù)的變化僅在膨脹波上發(fā)生。換句話說，每條膨脹波對應(yīng)著一個氣流折轉(zhuǎn)角，在相鄰兩條膨脹波之間的區(qū)域中，氣流的普朗特-邁耶角保持不變。2.5波的反射和相交在每條膨脹波之間的狹小扇形區(qū)域282.5波的反射和相交一、膨脹波的相交如圖所示，氣流在兩壁面上的A及A’處分別外折δl及δu

。此時在折點A和A’

分別產(chǎn)生一條膨脹波，相交于B點。I區(qū)的氣流經(jīng)波AB和A’B進入Ⅱ、Ⅲ區(qū)，方向分別與A、A’后的上下壁面平行。如果繼續(xù)保持這個方向流下去的話，則將在交點B以后會形成一個楔形真空區(qū)。但這是不可能的，氣流將自行在此膨脹而布滿此空間。因此，在B點也產(chǎn)生兩道膨脹波BC和BC’，而且在波后Ⅳ區(qū)內(nèi)上下兩股氣流又匯合在一起，根據(jù)平衡條件，兩股氣流應(yīng)具有相同的方向、壓強和速度。膨脹波相交仍為膨脹波。2.5波的反射和相交一、膨脹波的相交如圖所示，氣流在292.5波的反射和相交二、膨脹波在直固壁上的反射如圖（a），Ⅰ區(qū)初始氣流經(jīng)膨脹波AB進入Ⅱ區(qū)，方向和A點以后的下壁面平行。由于上壁面是直的，故氣流和上壁面之間會形成一個楔形真空區(qū)，這相當(dāng)于Ⅱ區(qū)氣流在B點又產(chǎn)生一條膨脹波BC，而波后氣流又折轉(zhuǎn)成與上壁面平行。新產(chǎn)生的波即為反射波。一般反射角并不等于入射角。如果上壁面在B點向內(nèi)折δ角（如圖b）

，使B點以后的壁面與Ⅱ區(qū)氣流平行，不產(chǎn)生新膨脹波，即反射波消失。2.5波的反射和相交二、膨脹波在直固壁上的反射如圖302.5波的反射和相交三、膨脹波在自由界面上的反射

如圖所示，射流與外界靜止氣體間的邊界就是一種自由邊界。這種邊界的特性是，在接觸面兩邊的壓強相等。若超音速射流出口壓強P1大于外界環(huán)境壓強Pa，則氣流出口后經(jīng)膨脹波AB和A’B外折