6.5三角形內角和定理的證明主講人：周嘉慶6.5三角形內角和定理的證明主講人：周嘉慶1學習目標三角形內角和定理：三角形三個內角之和等于180°。了解輔助線的作用，逐步學會添加輔助線證明和解決幾何問題。學習目標三角形內角和定理：三角形三個內角之和等于180°。2概念復習我們通過什么判定兩直線平行？我們可以通過同位角、內錯角相等，同旁內角互補來判定兩直線平行我們還學過平行線的什么性質？我們可以通過兩直線平行來得到同位角、內錯角相等，同旁內角互補今天我們就要用這些概念來證明三角形內角和定理，并去解決相關的一些問題。概念復習我們通過什么判定兩直線平行？我們可以通過同位角、內錯3方法回想我們知道三角形三個內角的和等于180°。你還記得這個結論的探索過程嗎?(1)如圖,當時我們是把三角形“撕開”，把∠A移到了∠1的位置∠B移到了∠2的位置構成平角180°(2)根據(jù)前面的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結論的證明思路嗎?你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.1D2123CAB如果不實際移動∠A和∠B,那么你還有其它方法可以達到同樣的效果?方法回想我們知道三角形三個內角的和等于180°。你還記4證明研究ABC已知:如圖,△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°分析:延長BC到D,過點C作射線CE∥AB,這樣,就相當于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置。證明:作BC的延長線CD,過點C作CE∥AB∴∠1=∠A∠2=∠B又∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°123DE這就是“證明”三角形內角和定理:三角形的內角和等于180°證明研究ABC已知:如圖,△ABC.分析:延長BC到D,過點5

在這里為了證明三個角的和為180°,我們把三角形的三個角轉化為一個平角。這種轉化思想是數(shù)學中的常用方法。過程分析ABC123DE在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線。這就叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。在這里為了證明三個角的和為180°,我們把三角形的三個角6證明三角形內角和定理，還有一種方法可以把三個角“湊”到一起。比如過點A作直線PQ//BC（如圖）。這個方法可行嗎？ABCQP靈活多變證明三角形內角和定理，還有一種方法可以把三個角“湊”到一起。7添加輔助線方法：在三角形頂點，一邊，或者三角形外添加EABCDF圖2ABNCTS圖3PQRMANBCTS圖4PQRM花樣賞析ABCE圖1F添加輔助線方法：在三角形頂點，一邊，或者三角形外添加EABC8課堂練習1.光線以如圖的角度照射到平面鏡,然后在平面鏡和之間來回反射，已知=60°，=50°，則等于多少度？ABC思路分析：由反射角等于入射角可得∠1=

∠2=∠3等于∠，所以求出∠BAC是關鍵。123解：∵在△ABC中，得∠1=60°，∠2=50°∴∠BAC=180°-60°-50°=70°∴∠=（180°-70°）=55°課堂練習1.光線以如圖的角度照射到平面鏡,然后在平面2.如圖，已知△ABC中，∠B和∠C的平分線BD，CE交點O.求證：∠BOC=90°+1/2∠AABCDEO小試牛刀證明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A又∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)∴∠BOC=180°－（∠OBC+∠OCB)=180°－1/2（∠ABC+∠ACB）=180°－1/2（180°－∠A）=180°－90°+1/2∠A=90°+1/2∠A2.如圖，已知△ABC中，∠B和∠C的平分線BD，CE交點10擴展提高CAEDB3.如圖，已知在△ABC中，AC=AD,BC=BE,∠ACB=100°求∠ECD的度數(shù)。解：∵AC=AD∴∠ACD=∠ADC=90°－1/2∠A同理可得：∠BCE=∠BEC=90°－1/2∠B又∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°且∠A=∠B=180°－100°=80°∴∠ECD=180°－∠CED－∠CDE=180°－∠ADC－∠BEC=180°－（90°－1/2∠A）－（90°－1/2∠B）=1/2∠A+1/2∠B=40°擴展提高CAEDB3.如圖，已知在△ABC中，AC=AD,B114.如圖，已知AD是△ABD和△ACD的公共邊.求證：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD12妙題巧解∴∠1+∠2=180°-（∠BAC+∠ABD+∠ACD），∴∠1+∠2=180°-∠BDC∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD（等量代換）即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C（方法一）證明：連接BC，得到∠1、∠2在△ABC中，∠BAC+∠ABD+∠ACD+∠1+∠2=180°同理可證：在△BDC中，∠1+∠2+∠BDC=180°4.如圖，已知AD是△ABDABCD12妙題巧解∴∠1+∠124.如圖，已知AD是△ABD和△ACD的公共邊.求證：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定義）∴∠BDC＝360°－（180°－∠B－∠3）－（180°－∠C－∠4）＝∠B+∠C+∠3+∠4即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC妙題巧解（方法二）證明：∵在△ABD中,∠1＝180°－∠B－∠3，同理可得,∠2＝180°－∠C－∠412344.如圖，已知AD是△ABDABCD又∵∠BDC＝360方法總結證明題的一般步驟:(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結論(求證);(2)根據(jù)題意,畫出圖形;(3)結合圖形,用符號語言寫出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路;(5)依據(jù)思路,運用數(shù)學符號和數(shù)學語言條理清晰地

寫出證明過程;(6)檢查表達過程是否正確,完善.方法總結證明題的一般步驟:(1)理解題意:分清命題的條件(已14隨堂練習課本P239?1.直角三角形兩銳角之和是多少？正三角形一個內角是多少？ABCDE2.如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，求∠ADE的度數(shù)?隨堂練習課本P239?1.直角三角形兩銳角之和是多15用運動變化的觀點理解認識數(shù)學在△ABC中,如果BC不動,把點A“壓”向BC,那么當點A越來越接近BC時,∠A就越來越接近180°而∠B和∠C越來越接近0°由此你能想到什么?如果BC不動,把點A“拉離”BC,那么當A越來越遠離BC時,∠A就越來越接近0°而∠B和∠C則越來越大,它們的和越來越接近1800,當把點A拉到無窮遠時,便有AB∥AC,∠B和∠C成為同旁內角,它們的和等于180°由此你能想到什么?CBACBA大膽猜想

讀一讀P240用運動變化的觀點理解認識數(shù)學在△ABC中,如果BC不動,把點16課堂小結

本節(jié)主要學習了三角形內角和定理的證明及其應用。我們在學習過程中加強對圖形的感知能力，結合條件和結論，尋求二者之間的橋梁，然后運用定理、公理解決問題。

在運用三角形內角和定理解題時，關鍵是如何把與條件和結論有通過輔助線整理在一起。課堂小結本節(jié)主要學習了三角形內角和定理的證明及其應用17已知：如圖，∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，求證：AB∥CDDFNMBAC課后思考已知：如圖，∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，DFNM18知能強化ACBDE4.如圖AB=CB=CD,AD=AE,DE=BE,求∠C的度數(shù)。解：由題意可設∠C=X°,∠BDC為∠1，∠BDE=∠2,∠ADE為∠3∵AB=BC∴∠A=∠C=X,∠ABC=180°－2X∵BC=CD∴∠1=90°－1/2X∵AD=AE