《數學分析三》課程教學大綱課程代碼：ABXX0506課程中文名稱:數學分析（三）課程英文名稱：MathematicalAnalysisIII課程性質：必修課程學分數：3課程學時數：48授課對象：信息與計算科學本課程的前導課程：高中數學、數學分析（一）、數學分析（二）一、課程簡介本課程是信息與計算科學專業的一門重要基礎課，內容主要包括多元函數微積分學、重積分、曲線曲面積分等。本課程是進一步學習復變函數論、微分方程、概率論、數值計算等后繼課程的階梯，也為深入理解中學數學打下必要的基礎。與中學數學的許多內容，如實數系、函數、方程、不等式、極值、面積、體積、弧長等有著密切的聯系。二、教學基本內容和要求課程教學內容：1、多元函數微分學10.1、多元函數10.2、二元函數極限與連續10.3、多元函數微分學及泰勒公式2、隱函數11.1、隱函數的存在性11.2、函數行列式11.3、條件極值11.4、隱函數的應用3、反常積分與含參變量積分12.1、無窮積分12.2、瑕積分12.3、含參變量積分4、重積分13.1、二重積分13.2、三重積分5、曲線積分與曲面積分14.1、曲線積分14.2、曲面積分課程的重點、難點：6、多元函數微分學重點：重極限與累次極限，多元函數的偏導數與可微、全微分概念；難點：可微、全微分概念。7、隱函數重點：隱函數的存在性定理，條件極值，難點：隱函數的存在性定理。8、反常積分與含參變量積分重點：無窮積分、瑕積分的概念，收斂及計算；難點：無窮積分、瑕積分收斂的判別。9、重積分重點：二重積分，三重積分的計算；難點：二重積分，三重積分的計算10、曲線積分與曲面積分重點：曲線積分，曲面積分的計算；難點：曲線積分，曲面積分的計算。課程教學要求：11、多元函數微分學主要內容：平面點集概念、平面點集的基本定理：區域套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。二元函數概念、二重極限、累次極限。二元函數的連續性。復合函數的連續性定理。有界閉域上連續函數的性質。n維空間與n元函數。可微性與全微分，偏導數及其幾何意義。全微分概念。全微分的幾何意義。全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應用。復合函數的偏導數與全微分。一階微分形式的不變性，方向導數與梯度，高階導數及其與順序無關性。高階微分、二元函數泰勒定理、二元函數極值。要求：掌握平面點集和多元函數的有關概念；弄清二重極限與累次極限之間的區別和聯系，深刻理解二元函數連續性；熟悉有界閉域上連續函數性質。理解并掌握偏導數、全微分、方向導數和梯度等概念，能熟練地計算多元函數偏導數和全微分；弄清多元函數的偏導數存在、可微、連續三者之間的關系。記住混合偏導數與求導順序無關的條件；會求二元函數極值。12、隱函數主要內容：隱函數概念、隱函數定理、隱函數求導。隱函數組概念、隱函數組定理、隱函數組求導。反函數與坐標變換，函數行列式。幾何應用（平面曲線的切線和法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）。條件極值與拉格朗日乘數法。要求：理解隱函數和隱函數組的概念，掌握隱函數（組）存在定理的條件和結論。會求平面曲線的切線和法線、空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線；會用拉格朗日乘數法求函數的條件極值。13、反常積分與含參變量積分主要內容：反常積分概念，無窮限反常積分收斂性判別法、柯西準則，線性運算法則。絕對收斂，反常積分與數項級數的關系。瑕積分，無界函數反常積分收斂性判別法。含參量積分概念、連續性、可積性和可微性。積分順序的交換，含參量反常積分的收斂與一致收斂。一致收斂的柯西準則，維爾斯特拉斯判別法。連續性、可積性與可微性，積分順序的交換。要求：能正確地判斷反常積分的斂散性，能求簡單的反常積分的值。掌握無窮限非正常積分概念，柯西收斂準則，絕對收斂與條件收斂，無窮限反常積分收斂性判別法（比較原則、柯西判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法）。無界函數反常積分概念，無界函數反常積分收斂性判別法（比較原則、柯西判別法等）。理解含參量反常積分的一致收斂性的定義，熟悉判別含參量反常積分一致收斂性的基本方法，掌握含參量反常積分的連續性、可積性和可微性定理及其應用。14、重積分主要內容：二重積分定義與存在性。二重積分計算（化為累次積分），二重積分的換元法（極坐標交換與一般交換）。三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標變換、球坐標變換與一般變換）。重積分應用（體積，曲面面積，重心，轉動慣量等）。要求：掌握二重積分與三重積分的定義和性質；能熟練運用適當的積分法計算二重積分和三重積分；熟悉重積分在幾何方面的應用。15、曲線積分與曲面積分主要內容：第一型、第二型曲線積分概念與計算。第一型、第二型曲面積分概念與計算。格林公式、曲線積分的與路徑的無關性。奧斯特羅格拉特基-高斯公式，斯托克斯（Stokes）公式。要求：能利用定積分的知識求曲線積分的值及其應用。掌握格林公式及曲線積分與路徑無關的條件和它們的應用。掌握第一型和第二型曲面積分概念和計算方法；掌握高斯公式、斯托克斯公式的條件和它們的應用。三、教學方法與手段數學分析課程的特點是內容抽象，理論性強，對大學一年級新生來說，接受起來難度很大。教師應深入研究教材，優化教材結構，完善教材體系。在教學過程中，要重點突出，抓住關鍵知識點，達到以點帶面，舉一反三的效果。并且要加強習題課教學，重視課后答疑，多與學生交流，關愛學生，激發學生學習積極性。適當采用多媒體輔助教學。四、教學學時分配章節與內容課時作業量備注（習題課課時）多元函數微分學8102隱函數8102反常積分與含參變量積分10102重積分12202曲線積分與曲面積分10202合計487010五、考核方式與成績評定標準1、考核方式：考試平時考核包括平時作業完成情況、考勤；期末考核為閉卷考試，考試時間120分鐘。2、成績評定平時成績占30%，期末成績占70%。六、教學參考資源1、參考書目：（1）華東師范大學數學系編，《數學分析》，高等教育出版社，2010年。（2）復旦大學數學系編，《數學分析》，高等教育出版社，2013年。2、與課程相關主要網站/sxfx//mat