第第頁北師版選擇性必修·第二冊第二章導數及其應用全章教學課件（10份打包）(共35張PPT)

§5簡單復合函數的求導法則

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

[教材要點]

要點一復合函數的概念

一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果給定x的一個值，就得到了u的值，進而確定了y的值，那么y可以表示成____________，稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝φ(x)的____________，記作____________，其中u為中間變量．

要點二復合函數的求導法則

復合函數y＝f(φ(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝φ(x)的導數間的關系為yx′＝_______．即y對x的導數是__________________________．

x的函數

復合函數

y＝f(φ(x))

yu′·ux′

y對u的導數與u對x的導數的乘積

狀元隨筆

(1)復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數．

(2)中學階段不涉及較復雜的復合函數的求導問題，只研究y＝f(ax＋b)型復合函數的求導，不難得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝af′(ax＋b)．

[基礎自測]

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)函數y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1兩個函數復合而成的．()

(2)函數f(x)＝e－x的導數是f′(x)＝e－x.()

(3)函數f(x)＝ln(1－x)的導數是f′(x)＝.()

(4)函數f(x)＝sin2x的導數是f′(x)＝2cos2x．()

√

×

×

√

2．(多選題)下列所給函數為復合函數的是()

A．y＝ln(x－2)B．y＝lnx＋x－2

C．y＝(x－2)lnxD．y＝ln2x

答案：AD

解析：函數y＝ln(x－2)是由函數y＝lnu和u＝g(x)＝x－2復合而成的，A符合；函數y＝ln2x是由函數y＝lnu和u＝2x復合而成的，D符合，B與C不符合復合函數的定義．故選AD.

3．若函數f(x)＝3cos(2x＋)，則f′()等于()

A．－3B．3

C．－6D．6

答案：B

解析：由題意得f′(x)＝－6sin(2x＋)，

∴f′()＝－6sin

＝6sin

＝6×

＝3.

4．曲線y＝e－x在點(0，1)的切線方程為__________．

x＋y－1＝0

解析：∵y＝e－x，

∴y′＝－e－x，

∴y′|x＝0＝－1，

∴切線方程為y－1＝－x，

即x＋y－1＝0.

題型探究·課堂解透

題型一求復合函數的導數

例1求下列函數的導數

(1)y＝；

(2)y＝cos(2021x＋8)；

(3)y＝e1－3x；

(4)y＝ln(2x－6)．

解析：(1)設u＝φ(x)＝3－4x，則y＝f(u)＝＝u－4，

∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(3－4x)′＝(－4u－5)·(－4)＝＝.

(2)設u＝φ(x)＝2021x＋8，則y＝f(u)＝cosu，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(cosu)′·(2021x＋8)′

＝(－sinu)·2021

＝－2021sin(2021x＋8)．

(3)設u＝φ(x)＝1－3x，則y＝f(u)＝eu，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(eu)′·(1－3x)′＝eu·(－3)＝－3e1－3x.

(4)設u＝φ(x)＝2x－6，則y＝f(u)＝lnu，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(lnu)′·(2x－6)′＝×2＝＝.

方法歸納

復合函數求導的步驟

跟蹤訓練1(1)y＝(2x－1)4；

(2)y＝；

(3)y＝sin(－2x＋)；

(4)y＝102x＋3.

解析：(1)設u＝φ(x)＝2x－1，則y＝f(u)＝u4，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.

(2)設u＝φ(x)＝1－2x，則y＝f(u)＝＝，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝)′·(1－2x)′＝)·(－2)

＝＝.

(3)設u＝φ(x)＝－2x＋，則y＝f(u)＝sinu，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(sinu)′·(－2x＋)′＝cosu·(－2)

＝－2cos(－2x＋)．

(4)設u＝φ(x)＝2x＋3，則y＝f(u)＝10u，

∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(10u)′·(2x＋3)′＝(10u·ln10)×2＝(2ln10)102x＋3.

題型二復合函數的導數與曲線的切線問題

例2(1)已知f(x)為偶函數，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1，2)處的切線方程是________．

2x－y＝0

解析：設x>0，則－x，即實數a的取值范圍為(，＋∞)．

題型三復合函數的導數在實際問題中的應用

例3某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數在t＝18時的導數，并解釋它的實際意義．

解析：設f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝t＋.

由復合函數求導法則得

s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cosx·＝cos.

將t＝18代入s′(t)，

得s′(18)＝cos＝(m/h)．

它表示當t＝18h時，潮水的高度上升的速度為m/h.

方法歸納

將復合函數的求導與導數的實際意義結合，旨在鞏固函數在某點處的導數反映了函數在該點的瞬時變化率，體現導數揭示物體某時刻的變化狀況．

跟蹤訓練3放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現象稱為衰變．假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M(單位：太貝克)與時間t(單位：年)滿足函數關系：M(t)＝，其中M0為t＝0時銫137的含量．已知t＝30時，銫137含量的變化率是－10ln2(太貝克/年)，則M(60)＝()

A．5太貝克B．75ln2太貝克

C．150ln2太貝克D．150太貝克

答案：D

解析：M′(t)＝，

由M′(30)＝＝－10ln2，

解得M0＝600，

所以M(t)＝，

所以t＝60時，銫137的含量為M(60)＝＝600×＝150(太貝克)．故選D.

易錯辨析對復合函數求導不完全致錯

例4函數y＝xe1－2x的導數y′＝____________．

(1－2x)e1－2x

解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′

＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′

＝e1－2x＋xe1－2x(－2)

＝(1－2x)e1－2x.

【易錯警示】

出錯原因糾錯心得

對e1－2x的求導沒有按照復合函數的求導法則進行，導致求導不完全致錯．復合函數對自變量的導數等于已知函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數，分步計算時，每一步都要明確是對哪個變量求導．

[課堂十分鐘]

1．y＝5的導數是()

A．54

B．5

C．104

D．54

答案：A

解析：令u＝3x2＋2x，則y＝u5，∴u′x＝6x＋2，y′u＝5u4，

∴y′x＝y′u·u′x＝5.故選A.

2．函數y＝e2x－4在點x＝2處的切線方程為()

A．2x－y－3＝0

B．2x＋y－3＝0

C．ex－y－2e＋1＝0

D．ex＋y＋2e－1＝0

答案：A

解析：∵y＝e2x－4，求導得y′＝2e2x－4，

則當x＝2時，y′＝2e0＝2，所以切線的斜率為2.

又當x＝2時，y＝e2x－4＝e0＝1，所以切點為(2，1)．

所以切線方程為2x－y－3＝0.

故選A.

3．(多選題)下列導數運算正確的有()

A．′＝

B．′＝(x＋1)ex

C．′＝2e2x

D．′＝

答案：BC

解析：對于A，′＝′＝－x－2＝－，故錯誤；

對于B,′＝x′ex＋x′＝(x＋1)ex，故正確；

對于C,′＝′e2x＝2e2x，故正確；

對于D,′＝′＝，故錯誤．

故選BC.

4．已知f(x)＝sin，則f′＝____________．

－

解析：由f(x)＝sin，可得f′(x)＝cos·′＝，

故f′＝＝－.

5．設函數f(x)＝aexlnx＋.

(1)求導函數f′(x)；

(2)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．

解析：(1)由f(x)＝aexlnx＋，

得f′(x)＝(aexlnx)′＋′

＝aexlnx＋.

(2)由于切點既在曲線y＝f(x)上，又在切線y＝e(x－1)＋2上，

將x＝1代入切線方程得y＝2，

將x＝1代入函數f(x)得f(1)＝b，

∴b＝2.

將x＝1代入導函數f′(x)中，

得f′(1)＝ae＝e，

∴a＝1.(共40張PPT)

7．1實際問題中導數的意義

7．2實際問題中的最值問題

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題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

[教材要點]

要點一導數的實際意義

在日常生活和科學領域中，有許多需要用導數概念來理解的量．以中學物理為例，速度是________關于________的導數，線密度是________關于________的導數，功率是________關于________的導數等．

要點二最優化問題

在實際問題中，經常會遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時間最少等問題，這些問題通稱為最優化問題．導數是解決最優化問題的一個重要工具．

路程

時間

質量

長度

功

時間

[基礎自測]

1．如果物體做直線運動的方程為s(t)＝2(1－t)2，則其在t＝4s時的瞬時速度為()

A．12B．－12

C．4D．－4

答案：A

解析：s′(t)＝－4(1－t)．

t＝4s時，s′(4)＝12.

所以瞬時速度為12.

故選A.

2．將8分為兩數之和，使其立方之和為最小，則分法為()

A．2和6B．4和4

C．3和5D．以上都不對

答案：B

解析：設其中一個數為x，則另一個數為8－x，y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，

令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.

當0≤x≤4時，y′0.

所以當x＝4時，y最?。?/p>

故選B.

3．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為()

A．B．

C．D．

答案：D

解析：設圓錐的高為xcm，體積為V(x)，則底面半徑為cm，

V(x)＝πx(202－x2)(00；

當0，f(x)在區間(36，720)內為增函數，

所以f(x)在x＝36處取得最小值，

此時n＝－1＝19，即需要新建19個增壓站才能使y最?。?/p>

方法歸納

利用導數的方法解決實際問題．當在定義區間內只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．

跟蹤訓練2某商場為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經調查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加的銷售額為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．

(1)若該商場將當年的廣告費控制在三百萬元以內，則應投入多少廣告費，才能使公司由廣告費而產生的收益最大．(注：收益＝銷售額－投入費用)

(2)現在該商場準備投入三百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經預算，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為＋x2＋3x(百萬元)，請設計一個資金分配方案，使該商場由這兩項共同產生的收益最大．

解析：(1)設投入廣告費t(百萬元)后由此增加的收益為f(t)(百萬元)，則f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以當t＝2時，f(t)max＝4，即當商場投入兩百萬元廣告費時，才能使商場由廣告費而產生的收益最大．

(2)設用于技術改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的費用為(3－x)(百萬元)，則由此兩項所增加的收益為g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝＋4x＋3.

對g(x)求導，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．

當00，即g(x)在[0，2)上單調遞增；

當2ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.

構造函數

g(x)＝ex－x2＋2ax－1.

解析：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

故f(x)單調遞減區間是(－∞，ln2)，單調遞增區間是(ln2，＋∞)．

f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，無極大值．

x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)

f′(x)－0＋

f(x)2(1－ln2＋a)

(2)證明：設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

由(1)知當a>ln2－1時，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對任意x∈R，都有g′(x)>0，

所以g(x)在R內單調遞增．

于是當a>ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，

都有g(x)>g(0)．

又g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.

即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.

方法歸納

關于證明問題

首先分析要證明的命題是否與函數的最值、單調性等性質有關，如果有關則轉化為相應的問題證明；其次是針對要證明的命題構造函數，再通過構造的函數性質證明，函數的證明問題往往都比較復雜，需要綜合應用函數、導數等知識進行構造、轉化等方式證明．

角度2函數的零點問題

例4若函數f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍．

解析：由f(x)＝0可得＝，令k(x)＝(x∈(0，＋∞))，

則函數f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，即直線y＝與函數k(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個不同的交點，k′(x)＝＝，令k′(x)＝0得x＝2，

當x∈(0，2)時，k′(x)>0，當x∈(2，＋∞)時，k′(x)2時，>0，所以當0時，函數f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點．

所以，若函數f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是.

方法歸納

已知函數零點個數求參數的常用方法

(1)分離參數法：首先分離出參數，然后利用求導的方法求出構造的新函數的最值，根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．

(2)分類討論法：結合單調性，先確定參數分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數是否符合題意，將滿足題意的參數的各小范圍并在一起，即為所求參數范圍．

跟蹤訓練3(1)若函數f(x)＝lnx＋－a有且只有一個零點，則實數a的值為________．

1

解析：由f(x)＝lnx＋－a，(00時，x2ln2時，f′(x)>0，f(x)在(ln2，＋∞)上單調遞增．

所以當x＝ln2時，f(x)取得極小值，

且極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－2ln2，

f(x)無極大值．

②證明：令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x.

由①得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，

故g(x)在R上單調遞增．

所以當x>0時，g(x)>g(0)＝1>0，即x20，函數在(－1，1)上單調遞增；當x>1時，y′0，當x∈(6，8)時，g′(x)0，可得01，

即有f(x)的增區間為(0，1)，減區間為(1，＋∞)．

(2)當x∈(1，＋∞)時，由(1)可得f(x)＝lnx－x＋1在(1，＋∞)遞減，

可得f(x)0，所以x∈(0，1].故選D.

2．函數f(x)＝x3＋ax－2在區間(1，＋∞)內是增函數，則實數a的取值范圍是()

A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)

答案：B

解析：f′(x)＝3x2＋a，由題意知3x2＋a≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以a≥－3x2在x∈(1，＋∞)上恒成立．所以a≥－3.故選B.

3．已知函數f(x)＝＋lnx，則有()

A．f(e)0，

所以函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數．

又20，則3x2－3>0.

即3(x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x0時，令f′(x)>0，則x2>b，所以x>或x0恒成立，

所以函數的單調遞增區間為(－∞，0)和(0，＋∞)．

方法歸納

(1)在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域，解決問題的過程中只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函數的單調區間．

(2)如果一個函數具有相同單調性的單調區間不止一個，那么這些單調區間中間不能用“∪”連結，而只能用“逗號”或“和”字隔開．

跟蹤訓練1求下列函數的單調區間：

(1)y＝ln(2x＋3)＋x2；

(2)y＝x2＋alnx(a∈R，a≠0)．

解析：(1)函數y＝ln(2x＋3)＋x2的定義域為(－，＋∞)．

y′＝＋2x＝＝.

令y′>0，解得－－.所以函數的單調遞增區間為.

令y′0時，函數的定義域是(0，＋∞)，于是有f′(x)＝x＋>0，所以函數只有單調遞增區間(0，＋∞)．

②當a0，得x>；

由f′(x)＝x＋0時，f(x)只有單調遞增區間(0，＋∞)；當a有解，而當x∈[1，4]時，＝－1(此時x＝1)，所以a>－1，又因為a≠0，所以a的取值范圍是(－1，0)

變式探究3本例中的條件“h(x)在[1，4]上單調遞減”改為“h(x)在[1，4]上不單調，”則實數a的取值范圍又如何呢？

解析：因為h(x)在[1，4]上不單調，所以h′(x)＝0在(1，4)上有解，即a＝＝－1在(1，4)上有解，

令m(x)＝，x∈(1，4)，則－10，得x>2或x0，若f(x)在(0，1]上是增函數，則a的取值范圍為__________．

解析：由題意知f′(x)＝2a－3x2，且方程f′(x)＝0的根為有限個，則f(x)在(0，1]上為增函數等價于f′(x)＝2a－3x2≥0對x∈(0，1]恒成立．即a≥x2對x∈(0，1]恒成立，只需a≥即可．由x∈(0，1]得x2∈，從而a≥.所以a的取值范圍為.

題型三利用導數解決不等式問題

角度1比較大小

例3(1)若函數f(x)＝cosx＋2xf′，則f與f的大小關系是()

A．f＝f

B．f>f

C．f0的解集為()

A．(－∞，－4)

B．(－∞，－1)

C．(－1，4)

D．(－4，1)

答案：C

解析：由題意可知，函數f(x)的定義域是R.

因為f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數f(x)是定義域上的單調遞增函數．

因為f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，所以函數f(x)是奇函數．

因為不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0可轉化為f(1－x2)>－f(3x＋3)＝f[－(3x＋3)]，

所以1－x2>－(3x＋3)，即x2－3x－40，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)0成立，

∴F(x)在區間(－∞，0)上是增函數，

可得它在區間(0，＋∞)上也是增函數．

∵g(－3)＝0，可得F(－3)＝0，∴F(3)＝0.

當x>0時，F(x)＝f(x)g(x)f(x)，則當a>0時，f(a)與eaf(0)的大小關系為()

A．f(a)eaf(0)

C．f(a)＝eaf(0)D．不能確定

答案：B

解析：令F(x)＝，則F′(x)＝.

∵f′(x)>f(x)，∴F′(x)>0，∴F(x)在R上單調遞增．

∴當a>0時，則有F(a)>F(0)，即>，

即f(a)>eaf(0)，故選B.

(2)設定義域為R的函數f(x)滿足f′(x)>f(x)，則不等式ex－1f(x)f(x)，∴F′(x)>0.

∴函數F(x)在R上單調遞增．

∵ex－1f(x)1，

故不等式ex－1f(x)0在R上恒成立，解得a>.設函數y＝f(x)在某個區間內可導，則當f′(x)>0時，f(x)為增函數，其解集為函數f(x)的單調遞增區間；當f′(x)0(f′(x)0(f′(x)0，解得x≥1.所以單調增區間是[1，＋∞)．

2．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)

C．f(a)1

答案：A

解析：因為f′(x)＝＝.當x∈(e，＋∞)時，1－lnxf(b)．

3．已知函數f(x)＝x－sinx，則不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0的解集是()

A．B．

C．(－∞，3)D．(3，＋∞)

答案：C

解析：因為f(x)＝x－sinx，所以f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，即函數f(x)為奇函數，函數的導數f′(x)＝1－cosx≥0，則函數f(x)是增函數，則不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0等價為f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x－1，

∴b≤－1.

5．已知f(x)＝aex－x－1.

(1)求f(x)的單調區間．

(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上單調遞減，在[0，＋∞)上單調遞增？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

解析：(1)因為f′(x)＝aex－1，

當a≤0時，有f′(x)0時，令f′(x)≥0，得ex≥，有x≥－lna.

f′(x)＜0，得x＜－lna.

綜上，當a≤0時，f(x)的單調遞增區間是(－∞，＋∞)，

當a>0時，f(x)的單調遞增區間是[－lna，＋∞)，遞減區間是(－∞，－lna).

(2)f′(x)＝aex－1.若f(x)在(－∞，0]上單調遞減，

則aex－1≤0在(－∞，0]上恒成立，即a≤，

而當x∈(－∞，0]時，≥1，所以a≤1；

若f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，

所以aex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立．

即a≥，而當x∈[0，＋∞)時，≤1.所以a≥1.

綜上可得a＝1，故存在a＝1滿足條件．(共41張PPT)

6．3函數的最值

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

[教材要點]

要點函數的最值與導數

1．最大值點與最小值點

函數y＝f(x)在區間[a，b]內的最大值點x0指的是：函數f(x)在這個區間內所有點處的函數值都________f(x0)．

函數y＝f(x)在區間[a，b]內的最小值點x0指的是：函數f(x)在這個區間內所有點處的函數值都________f(x0)．

不超過

不低于

2．最大值與最小值

最大(小)值或者在______________取得，或者在______________取得．因此，要想求函數的最大(小)值，應首先求出函數的極大(小)值點，然后將所有極大(小)值點與區間端點的________進行比較，其中____________即為函數的最大(小)值．

函數的最大值和最小值統稱為________．

極大(小)值點

區間的端點

函數值

最大(小)的值

最值

狀元隨筆

(1)函數的最值是一個整體性的概念．函數極值是在局部區間上對函數值的比較，具有相對性；而函數的最值則是表示函數在整個定義域上的情況，是對整個區間上的函數值的比較．

(2)函數在一個閉區間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個，也可能沒有，例如：常數函數就既沒有極大值也沒有極小值．

(3)極值只能在區間內取得，最值則可以在端點處取得；有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取必定是極值．

[基礎自測]

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)函數f(x)在區間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區間端點處取得．()

(2)開區間上的單調連續函數無最值．()

(3)在定義域內，若函數有最值與極值，則極大(小)值就是最大(小)值．()

(4)若函數在給定區間上有最值，則最大(小)值最多有一個；若有極值，則可有多個．()

×

√

×

√

2．函數f(x)＝4x－x4在x∈[－1，2]上的最大值、最小值分別是()

A．f(1)與f(－1)B．f(1)與f(2)

C．f(－1)與f(2)D．f(2)與f(－1)

答案：B

解析：f′(x)＝4－4x3，令f′(x)>0，

即4－4x3>0x1.

∴f(x)＝4x－x4在x＝1時取得極大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，

∴f(x)＝4x－x4在[－1，2]上的最大值為f(1)，最小值為f(2)，故選B.

3．函數f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()

A．無最值B．有極值

C．有最大值D．有最小值

答案：A

解析：f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，無極值，也無最值．

4．已知函數f(x)＝sinx－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值為－1，則實數a的值是________．

1

解析：f′(x)＝cosx－20，解得：x>，

令y′0時，f(x)在[0，a)上單調遞減，在(a，＋∞)上單調遞增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.

②當a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，所以＝f(0)＝0.

③當a0時，f(x)min＝－a3；

當a＝0時，f(x)min＝0；當a0”這一條件，求函數f(x)在[－a，2a]上的最值．

解析：f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，

令f′(x)＝0，得x1＝－0)在x＝1處取得極值－3－c，其中a，b，c為常數．若對任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范圍．

解析：由題意知f(1)＝－3－c

因此b－c＝－3－c，從而b＝－3.

對f(x)求導，得f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．

由題意，知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，

從而f′(x)＝48x3lnx(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.

當01時，f′(x)>0，此時f(x)為增函數．

所以f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝－3－c，

并且此極小值也是最小值．

所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．

整理得2c2－c－3≥0，解得c≥或c≤－1.

所以c的取值范圍為(－∞，－1].

易錯辨析混淆極值與最值致錯

例4已知函數f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝處取得極值．

(1)求函數f(x)的解析式．

(2)求函數f(x)在[－4，1]上的最值．

解析：(1)因為f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因為在x＝－2和x＝處取得極值，

所以解得

所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.

(2)因為f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，所以f(x)在[－4，－2)上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

因為f(－4)＝－11，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4.所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.

【易錯警示】

出錯原因糾錯心得

沒有比較端點值和極值的大小，錯誤認為極值就是最值．求區間的端點值和極值，并比較大小，取得最大的為最大值，最小的為最小值．

[課堂十分鐘]

1．函數f(x)＝x2ex，x∈[－2，1]的最大值為()

A．4e－2B．0

C．e2D．e

答案：D

解析：因為f′(x)＝(x2＋2x)·ex＝x(x＋2)·ex，令f′(x)＝0，x＝0或x＝－2，所以f(x)在(－2，0)單調遞減，在(0，1)單調遞增．又f(－2)＝1，所以f(x)max＝e.故選D.

2．函數y＝x＋2cosx在[0，]上取最大值時，x的值為()

A．0B．

C．D．

答案：B

解析：y′＝1－2sinx，

令y′＝1－2sinx＝0，

得sinx＝.

又x∈[0，]，

∴x＝.

當x∈(0，)時，f′(x)>0，

當x∈()時，f′(x)0，

所以f(x)在(0，1)內單調遞增，無最小值．

當a>0時，f′(x)＝3(x－)(x＋)．

當x∈(－∞，－)和(，＋∞)時，f(x)單調遞增；

當x∈(－)時，f(x)單調遞減，

所以當0單調________

f′(x)0B．f′(3)0時，f′(x)>0，當x0；命題乙：f(x)在(a，b)內是單調遞增的，則甲是乙的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

答案：A

解析：例如取f(x)＝x3(－10(即全部在x軸上方)，故排除A、C.從原函數圖象上可以看出，在區間(0，x1)上原函數是增函數，f′(x)>0；在區間(x1，x2)上原函數是減函數，f′(x)0，故排除B，故選D.

(2)(多選題)設f′(x)是函數f(x)的導函數，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一個平面直角坐標系中，正確的是()

答案：ABC

解析：A，B，C均有可能；對于D，若C1為導函數，則y＝f(x)應為增函數，不符合；若C2為導函數，則y＝f(x)應為減函數，也不符合，D不可能，故選ABC.

方法歸納

函數與導數圖象間的關系

判斷函數與導數圖象間的對應關系時，首先要弄清所給圖象是原函數的圖象還是導函數的圖象，其次再注意以下兩個方面：

(1)函數的單調性與其導函數的正負的關系：在某個區間(a，b)內，若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調遞增；如果f′(x)0且越來越大f′(x)>0且越來越小

函數值減少得越來越快函數值減少得越來越慢

f′(x)0時，函數f(x)單調遞增，則由導函數y＝f′(x)的圖象可知：f(x)先單調遞減，再單調遞增，然后單調遞減，最后單調遞增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函數應單調遞增，排除B.故選D.

(2)已知y＝x·f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()

答案：D

解析：當x>0時，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上遞增，當x≤0時，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上遞減，只有D滿足，故選D.

題型二用導數研究不含參數的函數單調性

例2判斷下列函數的單調性

(1)f(x)＝x2－lnx；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝x3＋.

解析：(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．

f′(x)＝2x－＝，

因為x>0，所以x＋1>0，

令f′(x)>0，解得x>，

所以函數f(x)在(，＋∞)上單調遞增，

令f′(x)0，(x－2)2>0，

令f′(x)>0，得x>3，所以函數f(x)在(3，＋∞)上單調遞增；

令f′(x)0，得x1，

所以函數f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調遞增；

令f′(x)0(或f′(x)0且x∈(0，5)，可得0，試討論函數f(x)的單調性．

解析：函數的定義域為(0，＋∞),

f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝，

①當01，

∴x∈(0，1)和(，＋∞)時，f′(x)>0；

x∈時，f′(x)1時，00；

x∈)時，f′(x)1時，函數f(x)在和(1，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減．

變式探究本例中的條件“a>0”改為“a∈R”，結果如何？

解析：a>0時，討論同上；

當a≤0時，ax－10，x∈(1，＋∞)時，f′(x)1時，函數f(x)在和(1，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減．

方法歸納

在討論含有參數的函數單調性時，若f′(x)中的參數不容易判斷其正負時，需要對參數進行分類，分類的標準：

(1)按導函數是否有零點分大類；

(2)在大類中再按導數零點的大小分小類；

(3)在小類中再按零點是否在定義域中分類．

跟蹤訓練3已知函數f(x)＝ex(ex－a)－a2x，討論f(x)的單調性．

解析：函數f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，

f′(x)＝ex(ex－a)＋ex·ex－a2＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．

①若a＝0，則f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上單調遞增．

②若a>0，則由f′(x)＝0得x＝lna.

當x∈(－∞，lna)時，f′(x)0.

故f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增．

③若a0.

故f(x)在上單調遞減，在上單調遞增．

易錯辨析討論函數單調性時忽略定義域致錯

例4已知函數f(x)＝，判斷函數f(x)的單調性．

解析：函數f(x)的定義域為(0，1)

f′(x)＝.

由f′(x)＝0，可得x＝e.

則當0e時，f′(x)>0，f(x)為增函數．

【易錯警示】

出錯原因糾錯心得

忽略了函數f(x)的定義域．在討論函數的單調性時，要特別注意函數的定義域．

[課堂十分鐘]

1．已知f′(x)是f(x)的導函數，若f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()

答案：C

解析：由導函數的圖象可知，當x0，即函數f(x)為增函數；當0x1時，f′(x)>0，即函數f(x)為增函數，觀察選項易知C正確，故選C.

2．如果函數f(x)是偶函數，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，則在(0，＋∞)上f(x)的單調性是()

A．遞增B．遞減

C．先減后增D．先增后減

答案：A

解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上遞減，

又函數f(x)是偶函數，其圖象關于y軸對稱，∴在(0，＋∞)上f(x)遞增．故選A.

3．“m0)，

當a≤0時，f′(x)0時，令f′(x)＝0，則x＝，

∴當0時，f′(x)>0，

∴f(x)在上單調遞減，在上單調遞增；

綜上，當a≤0時，f(x)單調遞減區間是(0，＋∞)，無單調遞增區間；

當a>0時，f(x)單調遞減區間是，單調遞增是(，＋∞)．(共31張PPT)

§1平均變化率與瞬時變化率

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

[教材要點]

要點一平均變化率

對一般的函數y＝f(x)來說，當自變量x從x1變為x2時，函數值從f(x1)

變為f(x2)，它的平均變化率為____________．通常我們把自變量的變化________稱作自變量x的________，記作________，函數值的變化________稱作函數值y的________，記作________．這樣，函數的平均變化率就可以表示為________的改變量與________的改變量之比，

即＝____________．我們用它來刻畫函數值在區間[x1，x2]上變化的________．

x2－x1

改變量

Δx

f(x2)－f(x1)

改變量

Δy

函數值

自變量

快慢

狀元隨筆

函數的平均變化率可正可負，反映函數y＝f(x)在[x1，x2]上變化的快慢，變化快慢是由平均變化率的絕對值決定的，且絕對值越大，函數值變化得越快．

要點二瞬時變化率

對于一般的函數y＝f(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，若設Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0),則函數的平均變化率是＝____________＝________________．

當Δx趨于0時，平均變化率就趨于函數在________的瞬時變化率．瞬時變化率刻畫的是函數在________變化的快慢．

x0點

一點處

狀元隨筆

平均速度和瞬時速度都是反映運動物體的位移隨時間變化而變化的情況．平均速度是運動物體在一個時間段里位移的改變量與這段時間的比值，而瞬時速度是運動物體在某一時刻的速度，當一個時間段趨于0時的平均速度就是瞬時速度．

[基礎自測]

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)Δx趨近于0表示Δx＝0.()

(2)平均速度與瞬時速度有可能相等．()

(3)平均變化率是刻畫某函數在某區間上變化快慢的物理量．()

(4)一物體的運動方程是S＝at2(a為常數)，則該物體在t＝t0時的瞬時速度是at0.()

×

√

√

√

2．質點運動規律s(t)＝t2＋3，則從3到3.3內，質點運動的平均速度為()

A．6.3B．36.3

C．3.3D．9.3

答案：A

解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89

∴＝＝＝6.3，故選A.

3．如果質點M按照規律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為()

A．6B．18

C．54D．81

答案：B

解析：＝＝18＋3Δt，

s′＝＝＝18，故選B.

4．函數f(x)＝8x－6在區間[m，n]上的平均變化率為________．

8

解析：平均變化率為＝＝8.

題型探究·課堂解透

題型一求函數的平均變化率

例1已知函數f(x)＝2x2＋1，

(1)求函數f(x)在[2，2.01]上的平均變化率；

(2)求函數f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均變化率．

解析：(1)由f(x)＝2x2＋1

得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.0802

Δx＝2.01－2＝0.01

∴＝＝8.02.

(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)

∴＝＝4x0＋2Δx.

方法歸納

1．求函數平均變化率的三個步驟

第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1.

第二步，求函數值的增量Δy＝f(x2)－f(x1).

第三步，求平均變化率＝.

2．求平均變化率的一個關注點

求點x0附近的平均變化率，可用的形式．

跟蹤訓練1函數y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均變化率是()

A．2B．2x

C．2＋ΔxD．2＋(Δx)2

答案：C

解析：∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，

∴＝＝2＋Δx.

故選C.

題型二平均變化率的實際應用

例2甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關系如圖所示，試比較兩人的速度哪個快？

解析：在t0處，s1(t0)＝s2(t0)，

但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，

故0)

∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)

＝5×(3＋Δt)2－5×32

＝5×Δt×(6＋Δt)

∴＝＝30＋5Δt，

當Δt趨于0時，趨于30，

∴在t＝3時的瞬時速度為30m/s.

方法歸納

求函數f(x)在點x＝x0處的瞬時變化率的步驟

1．求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

2．計算，并化簡，直到當Δx＝0時有意義為止；

3．將Δx＝0代入化簡后的即得瞬時變化率．

跟蹤訓練3一輛汽車按規律s＝at2＋1做直線運動，若汽車在t＝2時的瞬時速度為12，求a.

解析：∵s＝at2＋1，

∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1.

于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1－(4a＋1)－4a·Δt＋a·(Δt)2，

∴＝＝4a＋a·Δt，

當Δt趨于0時，趨于4a.

依據題意有4a＝12.

∴a＝3.

易錯辨析不能正確識圖致誤

例4A，B兩機關單位開展節能活動，活動開始后兩機關的用電量W1(t)，W2(t)與時間t(天)的關系如圖所示，則一定有()

A．兩機關單位節能效果一樣好

B．A機關單位比B機關單位節能效果好

C．A機關單位的用電量在[0，t0]上的平均變化率

比B機關單位的用電量在[0，t0]上的平均變化率大

D．A機關單位與B機關單位自節能以來用電量總是一樣大

答案：B

解析：由題可知，A機關單位所對應的圖象比較陡峭，B機關單位所對應的圖象比較平緩，且用電量在[0，t0]上的平均變化率都小于0，故一定有A機關單位比B機關單位節能效果好．故選B.

【易錯警示】

出錯原因糾錯心得

兩機關單位在(0，t0)上用電量的平均變化率都取負值，平均變化率比較大小易錯，易錯選C.識圖時，一定要結合題意弄清圖形所反映的量之間的關系，特別是單調性，增長(減少)的快慢要弄清．

[課堂十分鐘]

1．如圖，函數y＝f(x)在A，B兩點間的平均變化率等于()

A．1B．－1

C．2D．－2

答案：B

解析：平均變化率為＝－1.

故選B.

2．一質點運動的方程為s＝5－3t2，則在一段時間[1，1＋Δt]內相應的平均速度為()

A．3Δt＋6B．－3Δt＋6

C．3Δt－6D．－3Δt－6

答案：D

解析：＝＝－6－3Δt.

故選D.

3．設某產品的總成本函數為C(x)＝1100＋，其中x為產量數，生產900個單位到1000個單位時總成本的平均變化率為________．

解析：＝＝.

4．在F1賽車中，賽車位移s與比賽時間t存在函數關系s＝10t＋5t2(s的單位為m，t的單位為s)，求：

(1)t＝20，Δt＝0.1時Δs與；

(2)t＝20時的瞬時速度．

解析：(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)

＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202

＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，

＝＝210.5(m/s)．

(2)∵＝

＝5Δt＋210，

當Δt趨于0時，趨于210，

所以在t＝20時的瞬時速度為210m/s.(共27張PPT)

§2導數的概念及其幾何意義

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

[教材要點]

要點一導數的概念

設函數y＝f(x)，當自變量x從x0變到x1時，函數值y從f(x0)變到f(x1)，函數值y關于x的平均變化率為＝___________＝.

當x1趨于x0，即Δx趨于0時，如果平均變化率趨于一個________，那么這個值就是函數y＝f(x)在點x0的瞬時變化率，在數學中，稱瞬時變化率為函數y＝f(x)在點x0處的導數，通常用符號f′(x0)表示，記作f′(x0)＝＝.

固定的值

要點二割線的定義

函數y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均變化率為，它是過A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))兩點的直線的________，這條直線稱為曲線y＝f(x)在點A處的一條割線．

要點三切線的定義

當Δx趨于零時，點B將沿著曲線y＝f(x)趨于________，割線AB將繞點A轉動最后趨于直線l，直線l和曲線y＝f(x)在點A處“相切”，稱直線l為曲線y＝f(x)在________處的切線．

要點四導數的幾何意義

函數y＝f(x)在x0處的導數，是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的___________．

斜率

點A

點A

切線的斜率

[基礎自測]

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)導函數f′(x)的定義域與函數f(x)的定義域相同．()

(2)在導數的定義中，Δx，Δy都不可能為零．()

(3)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點．()

(4)函數f(x)＝0沒有導函數．()

×

×

×

×

2．函數在某一點的導數是()

A．在該點的函數的增量與自變量的增量的比

B．一個函數

C．一個常數，不是變數

D．函數在這一點到它附近一點之間的平均變化率

答案：C

解析：由導數的定義可知，函數在某點的導數是平均變化率的極限值，是個常數．

故選C.

3．設函數y＝f(x)可導，則等于()

A．f′(1)B．3f′(1)

C．f′(1)D．以上都不對

答案：A

解析：由f(x)在x＝1處的導數的定義知，應選A.

故選A.

4．拋物線y＝x2＋4在點(－2，8)處的切線方程為________．

y＝－4x

解析：

＝

＝

＝－4＋Δx

令Δx趨于0，則f′(－2)＝－4，

在點(－2，8)處的切線方程為：y－8＝－4(x＋2)，

即y＝－4x.

題型探究·課堂解透

題型一在某一點處導數的實際意義

例1建造一幢面積為xm2的房屋需要成本y萬元．假設函數y＝f(x)在x＝100處的導數為f′(100)＝0.1，請解釋它們的實際意義．

解析：f′(100)＝0.1表示建筑面積為100m2時，成本增加的速度為1000元/m2，也就是說當建筑面積為100m2時，每增加1m2的建筑面積，成本就要增加1000元．

方法歸納

結合實例，明確在實際問題中導數的含義以及需要用導數概念來理解的量．

跟蹤訓練1某河流在一段時間xmin內流過的水量為ym3，y是x的函數，若函數y＝f(x)在x＝27處的導數f′(27)＝，試解釋它的實際意義．

解析：當時間為27min時，水流量增加的速度為m3/min，也就是說當時間為27min時，每增加1min，水流量增加m3.

題型二求函數在某點處的導數

例2利用導數的定義，求函數y＝f(x)＝＋2在點x＝1處的導數．

解析：∵Δy＝

＝

∴＝

當Δx趨于0，知函數f(x)＝＋2在x＝1處的導數為－2，

∴f′(1)＝－2.

方法歸納

求函數y＝f(x)在點x0處的導數的方法

(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求＝；

(3)當Δx趨于0時，得f′(x0)．

跟蹤訓練2求函數f(x)＝2x2＋4x在x＝3處的導數．

解析：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)

＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx

＝2(Δx)2＋16Δx

∴＝＝2Δx＋16.

當Δx趨于0時，＝16，∴f′(3)＝16.

題型三求曲線在某點處的切線方程

例3已知曲線C：y＝x3＋，求曲線C上的橫坐標為2的點處的切線方程．

解析：將x＝2代入曲線C的方程得y＝4，

∴切點P(2，4)，

∵＝＝，

∴當Δx趨于0時，

曲線y＝x3＋在x＝2處的導數y′＝4，

∴曲線y＝x3＋在點(－2，－1)處的切線方程為：y－4＝4(x－2)．

即4x－y－4＝0.

方法歸納

求曲線在某點處的切線方程的步驟

(1)求斜率：求出曲線在點(x0，f(x0))處切線的斜率f′(x0)；

(2)寫方程：用點斜式y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)寫出切線方程；

(3)變形式：將點斜式變為一般式．

跟蹤訓練3求曲線f(x)＝在點(－2，－1)處的切線方程．

解析：＝＝＝

當Δx趨于0時，f(x)＝在x＝－2處的導數為f′(－2)＝－，

∴曲線y＝在點(－2，－1)處的切線方程為y＋1＝－(x＋2)，

即x＋2y＋4＝0.

易錯辨析對切線的理解不全面致誤

例4已知曲線f(x)＝上的一點P(0，0)，求曲線在點P處的切線方程．

解析：＝＝＝，

當Δx趨于0時，割線的傾斜角無限趨近于，

斜率不存在，故曲線在點P處的切線為y軸，

即切線方程為x＝0.

【易錯警示】

出錯原因糾錯心得

誤認為函數在點P處的導數不存在，則曲線在該點處的切線就不存在．函數在某點處可導是曲線在該點處存在切線的充分不必要條件．因此，在求曲線上某點處的切線方程時，如果導數不存在，可由切線的定義來求切線方程．

[課堂十分鐘]

1．函數y＝x2在x＝1處的導數為()

A．2xB．2＋Δx

C．2D．1

答案：C

解析：＝＝2＋Δx，

當Δx趨于0時，函數y＝x2在x＝1處的導數為2.

故選C.

2．設f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線()

A．不存在B．與x軸平行或重合

C．與x軸垂直D．與x軸斜交

答案：B

解析：∵f′(x0)＝0，

∴點(x0，f(x0))處切線的斜率為0.

故選B.

3．已知函數y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是()

A．0>f′(xA)>f′(xB)

B．f′(xA)f′(xB)>0

答案：B

解析：f′(xA)和f′(xB)分別表示函數圖象在點A，B處的切線斜率，故f′(xA)0，所以y＝f(x)在x＝0處切線的斜率大于0，故C不正確．故選AD.

3．函數y＝(x2－1)3＋1的極值點是()

A．極大值點x＝－1B．極大值點x＝0

C．極小值點x＝0D．極小值點x＝1

答案：C

解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三個根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′0得04

所以函數y＝－x3＋6x2＋m在(－∞，0)和(4，＋∞)上單調遞減，在(0，4)上單調遞增．

所以函數y＝－x3＋6x2＋m在x＝4處取得極大值．

所以－43＋6×42＋m＝13.

解得m＝－19.

題型探究·課堂解透

題型一求函數的極值(點)

例1(1)設函數f(x)在R上可導，其導函數為f′(x)，且函數y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是()

A．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)

B．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)

C．函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)

D．函數f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)

答案：D

解析：由函數的圖象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且當x0；當－22時，f′(x)>0，則函數f(x)有極小值f(2)，故選D.

(2)求下列函數的極值：

①f(x)＝x3－x2－3x；

②f(x)＝x4－4x3＋5；

③f(x)＝.

解析：①函數的定義域為R.

f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．

令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.

由此可知當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示：

當x＝－1時，f(x)有極大值.

當x＝3時，f(x)有極小值－9.

x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)極大值極小值

②因為f(x)＝x4－4x3＋5，

所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．

令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.

當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：

故當x＝3時函數取得極小值，且f(3)＝－22，無極大值．

x(－∞，0)0(0，3)3(3，＋∞)

f′(x)－0－0＋

f(x)不是極值極小值

③函數f(x)＝的定義域為(0，＋∞)，

且f′(x)＝.

令f′(x)＝＝0，得x＝e.

當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：

故當x＝e時函數取得極大值，且f(e)＝，無極小值．

x(0，e)e(e，＋∞)

f′(x)＋0－

f(x)極大值

方法歸納

(1)求函數極值的步驟

(2)求函數的極值需嚴格按照求函數極值的步驟進行，重點考慮兩個問題：一是函數的定義域，注意判斷使導數值為0的點是否在定義域內，如果不在定義域內，需要舍去；二是檢查導數值為0的點的左右兩側的導數值是否異號，若異號，則該點是極值點，否則不是極值點．

跟蹤訓練1(1)(多選題)已知函數f(x)的定義域為R且導函數為f′(x)，如圖是函數y＝xf′(x)的圖象，則下列說法正確的是()

A．函數f(x)的增區間是(－2，0)，(2，＋∞)

B．函數f(x)的增區間是(－∞，－2)，(2，＋∞)

C．x＝－2是函數的極小值點

D．x＝2是函數的極小值點

答案：BD

解析：由題意，當02，f′(x)>0；當－20

即函數f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上單調遞增，在(－2，2)上單調遞減，

因此函數f(x)在x＝2時取得極小值，在x＝－2時取得極大值；

故A、C錯，B、D正確．

故選BD.

(2)若x＝－2是函數f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，則f(x)的極小值為()

A．－1B．－2e－3

C．5e－3D．1

答案：A

解析：∵f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，∴f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.又x＝－2是函數f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1.

∴f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1，令f′(x)0，解得a0)在(－∞，＋∞)上無極值點”，則實數a的取值范圍如何？

解析：若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點

則f(x)在(－∞，＋∞)上是單調函數

即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立

因為a>0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，

則有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.

解得a≥，

故實數a的取值范圍是.

變式探究3本例條件“函數f(x)＝x3－x2＋ax－1有極值點”改為“函數f(x)＝－x(lnx－1)有兩個不同的極值點”，則實數a的取值范圍又如何？

解析：由題意知，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ax－lnx

令f′(x)＝ax－lnx＝0，可得a＝

令h(x)＝，則由題意可知直線y＝a與函數h(x)的圖象有兩個不同的交點．

h′(x)＝，令h′(x)＝0得x＝e

可知h(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，＋∞)上單調遞減．

∴h(x)≤h(e)＝,當x趨向于＋∞時，h(x)趨向于零．

故實數a的取值范圍為.

方法歸納

(1)已知函數極值點的個數求參數取值范圍的一般思路：求導后分離參數，轉化為直線與曲線的交點問題．

(2)對于函數無極值的問題，往往轉化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區間內恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．

跟蹤訓練2(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0，則a＝________，b＝________．

2

9

解析：因為f(x)在x＝－1時有極值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

所以即

解得或

當a＝1，b＝3時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上是增函數，無極值，故舍去．

當a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．

因為當x∈(－3，－1)時，f(x)是減函數；當x∈(－1，＋∞)時，f(x)是增函數，所以f(x)在x＝－1時取得極小值，因此a＝2，b＝9.

(2)若函數f(x)＝x2＋alnx在區間(1，＋∞)上存在極小值，則實數a的取值范圍為________．

a1，得a0時，令f′(x)>0，得x>a或x0)．

當a≤0，x∈(0，＋∞)時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增．

當a>0，x∈時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增，

x∈時，g′(x)0時，函數g(x)單調遞增區間為，函數g(x)單調遞減區間為.

(2)由(1)知f′(1)＝0.

①當a≤0時，f′(x)單調遞增，

所以x∈(0，1)時，f′(x)0，f(x)單調遞增，所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意．

②當01，由(1)知f′(x)在內單調遞增，所以x∈(0，1)時，f′(x)0，f(x)單調遞增，所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意．

③當a＝時，＝1，f′(x)在(0，1)內單調遞增，在(1，＋∞)內單調遞減，所以x∈(0，＋∞)時，f′(x)≤0，f(x)單調遞減，不合題意．

④當a>時，00，f(x)單調遞增，

當x∈(1，＋∞)時，f′(x).

易錯辨析對函數取極值的充要條件把握不準致誤

例5已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)在x＝1處取得極值10，則f(2)的值為________．

18

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

由題意，得即

解得或

當a＝4，b＝－11時，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

X(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

顯然函數f(x)在x＝1處取得極小值，符合題意，此時f(2)＝18.

當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，

此時f(x)沒有極值，不符合題意．

綜上可知，f(2)＝18.

【易錯警示】

出錯原因糾錯心得

認為f′(x0)＝0是函數f(x)在x＝x0處取得極值的充要條件，得到或，事實上，當a＝－3，b＝3時，f(x)沒有極值，從而得到錯誤答案．一般地，若f′(x0)＝0，且f′(x)在x＝x0兩側符號相反，則函數f(x)在x＝x0處存在極值；若f′(x)在x＝x0兩側符號相同，則函數f(x)在x＝x0處不存在極值．因此，在根據極值條件求參數的值的問題中，應按照函數在這一點處取得極值所對應的條件進行檢驗，檢驗每一組解對應的函數在該點處是否能取得極值，從而進行取舍．

[課堂十分鐘]

1．設函數f(x)＝xex＋1，則()

A．x＝1為f(x)的極大值點

B．x＝1為f(x)的極小值點

C．x＝－1為f(x)的極大值點

D．x＝－1為f(x)的極小值點

答案：D

解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)

令f′(x)＝0，得x＝－1，

易知x＝－1是函數f(x)的極小值點，故選D.

2．已知函數f(x)＝2lnx＋ax在x＝1處取得極值，則實數a＝()

A．－2B．2

C．0D．1

答案：A

解析：f′(x)＝＋a，由題意知f′(1)＝2＋a＝0.

解得a＝－2

故f(x)＝2lnx－2x，f′(x)＝－2，令f′(x)>0得01，故f′(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，所以x＝1是極大值點，符合題意，故選A.

3．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是()

A．－1C．a6D．a2

答案：C

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)

由題意知3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有兩個不相等的實數根

所以Δ＝4a2－4×3×(a＋6)>0

解得a6.

故選C.

4．函數y＝xex在其極值點處的切線方程為________．

y＝－

解析：令y＝f(x)＝xex

則f′(x)＝(1＋x)ex

令f′(x)＝0得x＝－1

此時f(－1)＝－

故函數y＝xex在其極值點處的切線方程為y＝－.

5．設f(x)＝alnx＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸．

(1)求a的值；

(2)求函數f(x)的極值．

解析：(1)因為f(x)＝alnx＋x＋1.

故f′(x)＝.

由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而a－＝0，

解得a＝－1.

(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋x＋1(x>0)，

f′(x)＝－＝

＝.

令f′(x)＝0，解得x1＝1，

x2＝－.

當x∈(0，1)時，f′(x)0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數．

故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3，無極大值．(共32張PPT)

§3導數的計算

新知初探·課前預習

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預習

[教材要點]

要點一幾個常用函數的導數

函數導數

f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝________

f(x)＝xf′(x)＝________

f(x)＝x2f′(x)＝________

f(x)＝x3f′(x)＝________

f(x)＝

f′(x)＝________

f(x)＝

f′(x)＝________

0

1

2x

3x2

－

要點二基本初等函數的導數公式

原函數導函數

f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝________

f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝________

f(x)＝sinxf′(x)＝________

f(x)＝cosxf′(x)＝________

f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝________

f(x)＝exf′(x)＝________

f(x)＝logax(a>0且a≠1)

f′(x)＝________

f(x)＝lnx

f′(x)＝________

0

αxα－1

cosx

－sinx

axlna

ex

狀元隨筆(1)幾個基本初等函數導數公式的特點

①正、余弦函數的導數可以記憶為“正余互換，(符號)正同余反”．

②指數函數的導數等于指數函數本身乘以底數的自然對數．

③對數函數的導數等于x與底數的自然對數乘積的倒數．

(2)函數與其導函數奇偶性的關系

①常數的導數是0.

②奇函數的導函數為偶函數．

③偶函數的導函數為奇函數．

[基礎自測]

1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)

(1)′＝.()

(2)(log3x)′＝.()

(3)′＝cos.()

(4)若y＝e3，則y′＝e3.()

×

×

×

×

2．(多選題)下列導數運算正確的是()

A．(lnx)′＝xB．(ax)′＝xax－1

C．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－5x－6

答案：CD

解析：由導數公式得C、D正確．故選CD.

3．曲線y＝ex在點A(0，1)處的切線方程是()

A．x＋y＋1＝0B．x－y－2＝0

C．x－y＋1＝0D．x＋y－2＝0

答案：C

解析：y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切線斜率為1，又切點為A(0，1)，故切線方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故選C.

4．函數f(x)＝sinx，則f′(6π)＝________．

1

解析：f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.

題型探究·課堂解透

題型一利用導數公式求函數的導數

例1求下列函數的導數

(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log3x；(4)y＝cos.

解析：(1)y′＝(x－2)′＝－2x－3＝－；

(2)y′＝()′＝′＝；

(3)y′＝(log3x)′＝；

(4)∵y＝cos＝sinx，

∴y′＝(sinx)′＝cosx．

方法歸納

求簡單函數的導數有兩種基本方法

(1)用導數的定義求導，但運算比較繁雜；

(2)用導數公式求導，可以簡化運算過程、降低運算難度．解題時根據所給問題的特征，將題中函數的結構進行調整，再選擇合適的求導公式．

跟蹤訓練1(1)(多選題)下列求導運算不正確的是()

A．(cosx)′＝sinxB．′＝lnx

C．′＝xax－1D．′＝

答案：ABC

解析：(cosx)′＝－sinx，A錯誤；′＝－，B錯誤；′＝axlna，C錯誤；′＝，D正確．故選ABC.

(2)已知f(x)＝，則f′＝________．

解析：f′(x)＝′＝，

∴f′＝＝.

題型二利用導數公式求函數在某點處的導數

例2質點的運動方程是s＝sint，

(1)求質點在t＝時的速度；

(2)求質點運動的加速度．

解析：(1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴v＝cos＝.

即質點在t＝時的速度為.

(2)∵v(t)＝cost，

∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint．

方法歸納

1．速度是路程對時間的導數，加速度是速度對時間的導數．

2．求函數在某定點(點在函數曲線上)的導數的方法步驟是：(1)