函數(shù)的對稱性和周期性練習(xí)題本部1.已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且滿足f(x+1)+f(x)=3，當x∈[-1,0]時，f(x)=2+x，則求f(-2007.5)的值。根據(jù)函數(shù)f(x)的偶性，可以得到f(-2007.5)=f(2007.5)，又因為f(x+1)+f(x)=3，所以f(x+2)+f(x+1)=3，進而可以得到f(2007.5)+f(2009.5)=3。又因為f(x)=2+x，所以f(0)=2，將其代入f(x+1)+f(x)=3中，可以得到f(1)+f(0)=3，即f(1)=1。將f(x)的表達式代入f(x+2)+f(x+1)=3中，可以得到2x+5=f(x+2)，代入f(-2007.5)=f(2007.5)中，可以得到f(-2007.5)=2-2007.5+5=-2000.5，因此答案為C.-1.5。2.定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意x∈R，都有f(x+2)=(1-f(x))/(1+f(x))，且f(2)=1，則求f(2016)的值。由f(x+2)=(1-f(x))/(1+f(x))，可以得到f(x+4)=f(x)，因此f(x)是以2為周期的函數(shù)。又因為f(2)=1，所以f(4)=0，f(6)=-1，f(8)=-∞，f(10)=1，f(12)=0。可以發(fā)現(xiàn)，f(x)的值在每個周期內(nèi)都是循環(huán)的，因此f(2016)的值與f(2)的值相同，即為1，因此答案為A.1113。3.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，滿足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，當x∈(0,1)時，f(x)=-x^2+x，則求函數(shù)f(x)的最小值。由f(x)+f(-x)=0，可以得到f(0)=0，因此f(x)是奇函數(shù)。又因為f(x-1)=f(x+1)，可以得到f(x+2)=f(x)，因此f(x)是以2為周期的函數(shù)。在一個周期內(nèi)，f(x)的最小值為f(3/4)=-3/16，因此f(x)的最小值為-3/16，因此答案為B.-3/16。4.已知定義域為R的函數(shù)f(x)，滿足f(-x)=-f(x+4)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增，如果x1<x2，且x1+x2<4，則求f(x1)+f(x2)的值。由f(-x)=-f(x+4)，可以得到f(x+4)=-f(-x)=f(x)，因此f(x)是以4為周期的函數(shù)。又因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)在區(qū)間(2,6)上單調(diào)遞增，且f(x+4)=f(x)。因此，對于x1<x2，若x1+x2<4，則x2=x1+a(0<a<2)，此時f(x2)=f(x1+a)，且f(x1)+f(x2)=2f(x1+a/2)。因為f(x)在區(qū)間(2,6)上單調(diào)遞增，因此f(x1+a/2)的值唯一確定。又因為x1+x2<4，所以a<2，因此f(x1)+f(x2)的值唯一確定，即為一個常數(shù)，因此答案為A.可正可負。5.函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x+1)和f(x-1)都是奇函數(shù)，則求證f(x)是偶函數(shù)。因為f(x+1)和f(x-1)都是奇函數(shù)，所以f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)。將x替換為-x-2，可以得到f(x-1)=-f(-x-1)，將x替換為-x+2，可以得到f(x+1)=-f(-x+1)。因此f(x+1)+f(x-1)=-f(-x+1)-f(-x-1)=-f(x-1)-f(x+1)，即f(x)是偶函數(shù)。6.函數(shù)f(x)=x+3/(x+1)關(guān)于點(-1,4)對稱。對于任意點(x,y)，如果點在(-1,4)的上方，則與點對稱的點為(x,y-2(y-4)/(x+1))；如果點在(-1,4)的下方，則與點對稱的點為(x,y+2(4-y)/(x+1))。因為函數(shù)f(x)的圖像是開口向上的雙曲線，所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(-1,4)對稱。7.設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x)，當|x|≤1時，f(x)=x，則求f(7.5)的值。因為f(x+2)=-f(x)，所以f(7.5)=f(1.5)=-f(5.5)=-f(-1.5)=f(0.5)=0.5，因此答案為0.5。8.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1,1)上，f(x)=x，在區(qū)間[1,2)上，f(x)=-4x^2+2，則求f(3/2)的值。因為f(x)是周期為2的函數(shù)，所以f(3/2)=f(-1/2)。因為-1/2∈[-1,1)，所以f(-1/2)=-1/2。因此f(3/2)=-1/2，在區(qū)間[-1,1)上f(x)=x，在區(qū)間[1,2)上f(x)=-4x^2+2，因此f(3/2)=1/2*(-4)+2=3/2，因此答案為3/2。9.已知f(x+1)=f(x-1)，f(x)=f(-x+2)，方程f(x)=0在[0,1]內(nèi)有且只有一個根，則[0,2016]內(nèi)根的個數(shù)為多少？因為f(x+1)=f(x-1)，所以f(x+2)=f(x)，因此f(x)是以2為周期的函數(shù)。因為f(x)=f(-x+2)，所以f(x)是偶函數(shù)。因為方程f(x)=0在[0,1]內(nèi)有且只有一個根，所以f(x)在[-1,0)和(0,1]內(nèi)的值符號相反，且f(0)=0。因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在[-1,0)和(0,1]內(nèi)的值絕對值相等，因此f(x)在[-1,0)和(0,1]內(nèi)的值分別為正數(shù)和負數(shù)。因為f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以f(x)在[1,2)和[2,3)內(nèi)的值符號相反，且f(2)=0。因為f(x)在[1,2)內(nèi)是偶函數(shù)，在[2,3)內(nèi)是奇函數(shù)，所以f(x)在[1,2)內(nèi)的值為正數(shù)，[2,3)內(nèi)的值為負數(shù)。因此f(x)在[0,1]內(nèi)的值從正數(shù)變?yōu)樨摂?shù)，因此方程f(x)=0在[0,1]內(nèi)有且只有一個根。因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在[-1,-2015]和[2015,2016]內(nèi)的值符號相反，且f(-2016)=f(2016)=0。因為f(x)在[-1,-2015]內(nèi)的值為負數(shù)，在[2015,2016]內(nèi)的值為正數(shù)，因此f(x)在[-1,-2015]和[2015,2016]內(nèi)的值分別為負數(shù)和正數(shù)。因此方程f(x)=0在[0,2016]內(nèi)的根的個數(shù)為1，因此答案為1。10.設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1,1]上，f(x)=bx+2，在區(qū)間(1,2)上，f