第第頁北京課改版數(shù)學(xué)八年級上冊12.10軸對稱和軸對稱圖形素養(yǎng)提升練（含解析）第十二章三角形

12.10軸對稱和軸對稱圖形

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識點1軸對稱及軸對稱圖形的概念

1.【新獨家原創(chuàng)】【跨學(xué)科·語文】我國的成語源遠流長,“平分秋色”出自多處,但其意思均是比喻雙方各得一半,不分高低,表示平局.我國的建筑、器物、繪畫等大都用對稱的形式體現(xiàn)了“平分”,下列不是軸對稱圖形的是()

AB

CD

2.下列圖形中,△A'B'C'與△ABC關(guān)于直線MN成軸對稱的是()

A

B

C

D

3.【教材變式·P114T4】(2022北京中考)圖中的圖形為軸對稱圖形,該圖形的對稱軸的條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.5

4.試畫出如圖所示的正多邊形的所有對稱軸,并完成表格.

正多邊形的邊數(shù)3456…

對稱軸的條數(shù)…

根據(jù)上表,猜想正n邊形(n≥3,且n為正整數(shù))有條對稱軸.

知識點2軸對稱的性質(zhì)

5.(2023北京西城期中)如圖,在面積為6的等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,E、F是AD上的兩點,則圖中陰影部分的面積是()

A.6B.4C.3D.2

6.(2023北京十一中月考)A、B是兩個居民小區(qū),快遞公司準(zhǔn)備在公路l上選取一點P,在P處建一個服務(wù)中心,使PA+PB的值最小.下面四種選址方案符合要求的是()

A

B

C

D

7.(2023北京西城期中)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=58°,將∠A折疊,使點A落在邊CB上的A'處,折痕為CD,則∠A'DB的度數(shù)是.

8.(2023北京平谷期末)如圖,∠MON=60°,點A是OM邊上一點,點B,C是ON邊上兩點,且AB=AC,作點B關(guān)于OM的對稱點D,連接AD,CD,OD.

(1)依題意補全圖形;

(2)猜想∠DAC=°,并證明;

(3)猜想線段OA、OD、OC的數(shù)量關(guān)系,并證明.

能力提升全練

9.(2022福建中考,4,★☆☆)美術(shù)老師布置同學(xué)們設(shè)計窗花,下列作品為軸對稱圖形的是()

AB

CD

10.(2023江蘇鹽城東臺月考,8,★☆☆)如圖,P在∠AOB內(nèi),點C、D分別是點P關(guān)于AO、BO的對稱點.如果△PMN的周長為12,則CD的長為()

A.6B.12C.15D.18

第10題圖

第11題圖

11.(2023北京懷柔期末,7,★★☆)如圖,△ABC是等邊三角形,AD是BC邊上的高,E是AC的中點,P是AD上的一個動點.當(dāng)PC與PE的和最小時,∠CPE的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.90°

12.(2022北京朝陽日壇中學(xué)期中,18,★★☆)如圖,在6×6的正方形網(wǎng)格中,選取13個格點,以其中的三個格點A,B,C為頂點畫△ABC,請你在圖中以選取的格點為頂點再畫出一個△ABP,使△ABP與△ABC成軸對稱.這樣的P點有個.

13.(2023廣東廣州中考,15,★☆☆)

如圖,在△ABC中,AC=BC,∠B=38°,點D是邊AB上一點,點B關(guān)于直線CD的對稱點為B',當(dāng)B'D∥AC時,∠BCD的度數(shù)為.

14.(2023廣東中考,16,★☆☆)如圖1所示的圖形是一個軸對稱圖形,且每個角都是直角,長度如圖1所示,小明按圖2所示的方式拼圖,兩兩相扣,圖形間不留空隙,那么小明用9個這樣的圖形(圖1)拼出來的圖形的總長度是(用含a,b的代數(shù)式表示).

15.(2023四川廣安中考,24,★☆☆)在數(shù)學(xué)活動課上,王老師要求學(xué)生將圖1所示的3×3正方形方格紙剪掉其中兩個方格,使之成為軸對稱圖形.規(guī)定:凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形,如圖2所示的四幅圖(陰影部分為要剪掉部分)就視為同一種圖形.

圖1

圖2

請在圖3中畫出4種不同的設(shè)計方案,將每種方案中要剪掉的兩個方格涂上陰影.(在每個3×3的正方形方格中畫一種,不要與圖2中的圖形重復(fù))

圖3

素養(yǎng)探究全練

16.【幾何直觀】(2023北京五十七中期中)如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,點B關(guān)于AC的對稱點B'恰好落在CD上,若∠BAD=α,則∠ACB的度數(shù)為()

A.45°B.α-45°

C.αD.90°-α

17.【推理能力】【幾何直觀】(2023北京朝陽期中)如圖,△ABC中,∠ABC=45°,點A關(guān)于直線BC的對稱點為P,連接PB.過點C作CD⊥AC,交射線PB于點D.

(1)如圖1,當(dāng)∠ACB為鈍角時,補全圖形,判斷AC與CD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)∠ACB為銳角時,補全圖形,判斷(1)中的結(jié)論是否仍成立,并說明理由.

圖1

圖2

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.CA、B、D中的圖形都是軸對稱圖形,C中圖形不是軸對稱圖形.故選C.

2.B根據(jù)軸對稱的概念可知,沿直線MN翻折,△A'B'C'與△ABC能夠完全重合的只有選項B.故選B.

3.D如圖所示,該圖形有5條對稱軸,故選D.

4.解析如圖所示:

題表中從左到右依次填:3;4;5;6.

正n邊形有n條對稱軸.

5.C根據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形,且AD⊥BC可知,△CEF和△BEF的面積相等,所以陰影部分的面積是△ABC的面積的一半,所以陰影部分的面積為3.故選C.

6.A根據(jù)題意,要求在公路l上選取點P,使PA+PB的值最小,選項A中的選址方案符合要求.

7.答案26°

解析∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=58°,

∴∠B=90°-∠A=32°,

由折疊的性質(zhì)可知∠CA'D=∠A=58°,

∴∠A'DB=∠CA'D-∠B=26°.

8.解析(1)補全圖形如圖所示:

(2)∠DAC=60°.證明:如圖,作AH⊥BC于H,

∵AB=AC,AH⊥BC,∴∠BAC=2∠1.

∵點B與點D關(guān)于OM對稱,∴∠DAB=2∠2.

∵∠AOB=60°,∠AHO=90°,

∴∠OAH=30°,即∠1+∠2=30°,

∴∠DAC=∠BAC+∠DAB=2(∠1+∠2)=60°.

(3)OA=OD+OC.

證明:如圖,在ON上取一點P,使得OP=OA,連接AP,

∵∠AOP=60°,點B與點D關(guān)于OM對稱,

∴△AOP是等邊三角形,∠AOD=60°,

∴∠OAP=∠APO=∠AOD=60°,AP=AO.

∵∠OAP=∠DAC=60°,∴∠DAO=∠CAP.

在△ADO和△ACP中,

∴△ADO≌△ACP(ASA),

∴OD=PC,∴OA=OP=PC+OC=OD+OC.

能力提升全練

9.A選項A能找到這樣的一條直線,使圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,所以是軸對稱圖形.故選A.

10.B根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知MP=MC,PN=DN,∴CD=CM+MN+DN=PM+MN+PN=12.故選B.

11.C如圖,連接BE,BE與AD交于點P,此時PE+PC的和最小.

∵△ABC是等邊三角形,∴∠BCE=60°,BA=BC.

∵E是AC的中點,∴BE⊥AC,∴∠BEC=90°,

∴∠EBC=30°.

∵△ABC是等邊三角形,AD⊥BC,∴BD=CD,

∴AD垂直平分BC,∴BP=CP,∴∠PCB=∠PBC=30°,∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°.

12.答案2

解析如圖,滿足條件的P點有2個.

13.答案33°

解析∵AC=BC,∴∠A=∠B=38°,

∵B'D∥AC,∴∠ADB'=∠A=38°,

∵點B關(guān)于直線CD的對稱點為B',

∴∠CDB'=∠CDB=×(38°+180°)=109°,

∴∠BCD=180°-38°-109°=33°.

14.答案a+8b

解析由題圖可得,拼出來的圖形的總長度=9a-8(a-b)=a+8b.

15.解析如圖所示.(答案不唯一)

素養(yǎng)探究全練

16.D如圖,連接AB',BB',過A作AE⊥CD于E,

∵點B關(guān)于AC的對稱點B'恰好落在CD上,

∴AC垂直平分BB',∴AB=AB',∴∠BAC=∠B'AC,

∵AB=AD,∴AD=AB',

又∵AE⊥CD,∴∠DAE=∠B'AE,

∴∠CAE=∠BAD=α,

又∵∠AEB'=∠AOB'=90°,

∴四邊形AOB'E中,∠EB'O=180°-α,

∴∠ACB'=∠EB'O-∠COB'=180°-α-90°=90°-α,∴∠ACB=∠ACB'=90°-α.故選D.

17.解析(1)補全圖形后如圖1所示,AC與CD的數(shù)量關(guān)系為AC=CD.

理由:如圖1,連接CP,設(shè)AB交CD于O,

∵A,P關(guān)于直線BC對稱,∴CP=CA,∠P=∠A,∠CBP=∠ABC=45°,

∴∠ABP=90°,∴∠ABD=90°,

∵AC⊥CD,∴∠ACO=90°,∴∠ACO=∠DBO,

∵∠AOC=∠DOB,∴∠D=∠A,

∵∠P=∠A,∴∠D=∠P,∴CD=CP,∴AC=CD.

(2)補全圖形后如圖2所示,A