抽象函數題型、解題技巧全總結由于函數概念比較抽象，學生對解有關函數記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函數概念的理解，更好地掌握函數的性質，培養靈活性；提高解題能力，優化學生數學思維素質。現將常見解法及意義總結如下：一、求表達式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養學生的靈活性及變形能力。例1：已知,求.解：設,則∴∴2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進一步復習代換法。例2：已知，求解：∵又∵∴，(||≥1)3.待定系數法：先確定函數類型，設定函數關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數。例3．已知二次實函數，且+2+4,求.解:設=，則=比較系數得∴4.利用函數性質法:主要利用函數的奇偶性,求分段函數的解析式.=為奇函數,當>0時,,求解:∵為奇函數，∴的定義域關于原點對稱，故先求<0時的表達式。∵->0,∴,∵為奇函數，∴∴當<0時∴例5．一已知為偶函數，為奇函數，且有+，求,.解：∵為偶函數，為奇函數，∴,,不妨用-代換+=………①中的,∴即－……②顯見①+②即可消去,求出函數再代入①求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出的表達式例6：設的定義域為自然數集，且滿足條件,及=1,求解：∵的定義域為N，取=1,則有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利用函數性質，解的有關問題1.判斷函數的奇偶性：例7已知,對一切實數、都成立，且,求證為偶函數。證明：令=0,則已知等式變為……①在①中令=0則2=2∵≠0∴=1∴∴∴為偶函數。例8：奇函數在定義域（-1，1）內遞減，求滿足的實數的取值范圍。解：由得，∵為函數，∴又∵在（-1，1）內遞減，∴3.解不定式的有關題目例9：如果=對任意的有,比較的大小解：對任意有∴=2為拋物線=的對稱軸又∵其開口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，為增函數∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五類抽象函數解法1、線性函數型抽象函數線性函數型抽象函數，是由線性函數抽象而得的函數。例1、已知函數f（x）對任意實數x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區間[－2，1]上的值域。分析：由題設可知，函數f（x）是的抽象函數，因此求函數f（x）的值域，關鍵在于研究它的單調性。解：設，∵當，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數。在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y＝0，則f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域為［－4，2］。例2、已知函數f（x）對任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：由題設條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函數，且f（x）為單調增函數，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數符號，從而可求得不等式的解。解：設，∵當，∴，則，

即，∴f（x）為單調增函數。∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不等式的解為－1<a<3。2、指數函數型抽象函數例3、設函數f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。分析：由題設可猜測f（x）是指數函數的抽象函數，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。解：（1）令y＝0代入，則，∴。若f（x）＝0，則對任意，有，這與題設矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對任意x，f（x）＞0恒成立。例4、是否存在函數f（x），使下列三個條件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測存在函數，用數學歸納法證明如下：（1）x＝1時，∵，又∵x∈N時，f（x）＞0，∴，結論正確。（2）假設時有，則x＝k＋1時，，∴x＝k＋1時，結論正確。綜上所述，x為一切自然數時。3、對數函數型抽象函數對數函數型抽象函數，即由對數函數抽象而得到的函數。例5、設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數，滿足，求：

（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍。分析：由題設可猜測f（x）是對數函數的抽象函數，f（1）＝0，f（9）＝2。解：（1）∵，∴f（1）＝0。（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數，故，解之得：8＜x≤9。例6、設函數y＝f（x）的反函數是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由。分析:由題設條件可猜測y＝f（x）是對數函數的抽象函數，又∵y＝f（x）的反函數是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數函數的抽象函數，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正確。解：設f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函數，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。4、三角函數型抽象函數三角函數型抽象函數即由三角函數抽象而得到的函數。例7、己知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：①當是定義域中的數時，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數）；③當0＜x＜2a時，f（x）＜0。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調性如何？說明理由。分析:由題設知f（x）是的抽象函數，從而由及題設條件猜想：f（x）是奇函數且在（0，4a）上是增函數（這里把a看成進行猜想）。解：（1）∵f（x）的定義域關于原點對稱，且是定義域中的數時有，∴在定義域中。∵，∴f（x）是奇函數。（2）設0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數。又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數。5、冪函數型抽象函數冪函數型抽象函數，即由冪函數抽象而得到的函數。例8、已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當時，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設可知f（x）是冪函數的抽象函數，從而可猜想f（x）是偶函數，且在［0，＋∞）上是增函數。解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）為偶函數。（2）設，∴，，∵時，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函數。（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。抽象函數常見題型解法綜述抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現函數特征的式子的一類函數。由于抽象函數表現形式的抽象性，使得這類問題成為函數內容的難點之一。本文就抽象函數常見題型及解法評析如下：一、定義域問題例1.已知函數的定義域是［1，2］，求f(x)的定義域。解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足從而函數f(x)的定義域是［1，4］評析：一般地，已知函數的定義域是A，求f(x)的定義域問題，相當于已知中x的取值范圍為A，據此求的值域問題。例2.已知函數的定義域是，求函數的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數的定義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數f(x)的定義域是A，求函數的定義域。正確理解函數符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵。這類問題實質上相當于已知的值域B，且，據此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3.已知定義域為的函數f(x)，同時滿足下列條件：①；②，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因為，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4.設函數f(x)定義于實數集上，對于任意實數x、y，總成立，且存在，使得，求函數的值域。解：令，得，即有或。若，則，對任意均成立，這與存在實數，使得成立矛盾，故，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數的問題時，往往需要對某些變量進行適當的賦值，這是一般向特殊轉化的必要手段。四、解析式問題例5.設對滿足的所有實數x，函數滿足，求f(x)的解析式。解：在中以代換其中x，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵。通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現這種轉化的重要策略。五、單調性問題例6.設f(x)定義于實數集上，當時，，且對于任意實數x、y，有，求證：在R上為增函數。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當時，；當時，而所以又當時，所以對任意，恒有設，則所以所以在R上為增函數。評析：一般地，抽象函數所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯。六、奇偶性問題例7.已知函數對任意不等于零的實數都有，試判斷函數f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數，所以為偶函數。七、對稱性問題例8.已知函數滿足，求的值。解：已知式即在對稱關系式中取，所以函數的圖象關于點（0，2002）對稱。根據原函數與其反函數的關系，知函數的圖象關于點（2002，0）對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數圖象關于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b均為常數，函數對一切實數x都滿足，則函數的圖象關于點（a，b）成中心對稱圖形。八、網絡綜合問題例9.定義在R上的函數f(x)滿足：對任意實數m，n，總有，且當x>0時，0<f(x)<1。（1）判斷f(x)的單調性；（2）設，，若，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當時，所以當時而所以又當x=0時，，所以，綜上可知，對于任意，均有。設，則所以所以在R上為減函數。（2）由于函數y=f(x)在R上為減函數，所以即有又，根據函數的單調性，有由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。評析：（1）要討論函數的單調性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)>0的結論。這是解題的關鍵性步驟，完成這些要在抽象函數式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯想類比思維都有助于問題的思考和解決。定義在R上的函數滿足：且，求的值。解：由，以代入，有，為奇函數且有又由故是周期為8的周期函數，例2已知函數對任意實數都有，且當時，，求在上的值域。解：設且，則，由條件當時，又為增函數，令，則又令得，故為奇函數，，上的值域為二.求參數范圍這類參數隱含在抽象函數給出的運算式中，關鍵是利用函數的奇偶性和它在定義域內的增減性，去掉“”符號，轉化為代數不等式組求解，但要特別注意函數定義域的作用。例3已知是定義在（）上的偶函數，且在（0，1）上為增函數，滿足，試確定的取值范圍。解：是偶函數，且在（0，1）上是增函數，在上是減函數，由得。（1）當時，，不等式不成立。（2）當時，（3）當時，綜上所述，所求的取值范圍是。例4已知是定義在上的減函數，若對恒成立，求實數的取值范圍。解：對恒成立對恒成立對恒成立，三.解不等式這類不等式一般需要將常數表示為函數在某點處的函數值，再通過函數的單調性去掉函數符號“”，轉化為代數不等式求解。例5已知函數對任意有，當時，，，求不等式的解集。解：設且則，即，故為增函數，又因此不等式的解集為。四.證明某些問題例6設定義在R上且對任意的有，求證：是周期函數，并找出它的一個周期。分析：這同樣是沒有給出函數表達式的抽象函數，其一般解法是根據所給關系式進行遞推，若能得出（T為非零常數）則為周期函數，且周期為T。證明：得由（3）得由（3）和（4）得。上式對任意都成立，因此是周期函數，且周期為6。例7已知對一切，滿足，且當時，，求證：（1）時，（2）在R上為減函數。證明：對一切有。且，令，得，現設，則，，而，設且，則，即為減函數。五.綜合問題求解抽象函數的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數定義域的應用，二是利用函數的奇偶性去掉函數符號“”前的“負號”，三是利用函數單調性去掉函數符號“”。例8設函數定義在R上，當時，，且對任意，有，當時。（1）證明；（2）證明：在R上是增函數；（3）設，，若，求滿足的條件。解：（1）令得，或。若，當時，有，這與當時，矛盾，。（2）設，則，由已知得，因為，，若時，，由（3）由得由得（2）從（1）、（2）中消去得，因為，即例9定義在（）上的函數滿足（1），對任意都有，（2）當時，有，（1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調性；（3）求證。分析：這是一道以抽象函數為載體，研究函數的單調性與奇偶性，再以這些性質為基礎去研究數列求和的綜合題。解：（1）對條件中的，令，再令可得，所以是奇函數。（2）設，則，，由條件（2）知，從而有，即，故上單調遞減，由奇函數性質可知，在（0，1）上仍是單調減函數。（3）抽象函數問題分類解析我們將沒有明確給出解析式的函數稱為抽象函數。近年來抽象函數問題頻頻出現于各類考試題中，由于這類問題抽象性強，靈活性大，多數同學感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分類解析，供學習參考。1.求定義域這類問題只要緊緊抓住：將函數中的看作一個整體，相當于中的x這一特性，問題就會迎刃而解。例1.函數的定義域為，則函數的定義域是___。分析：因為相當于中的x，所以，解得或。例2.已知的定義域為，則的定義域是______。分析：因為及均相當于中的x，所以(1)當時，則(2)當時，則2.判斷奇偶性根據已知條件，通過恰當的賦值代換，尋求與的關系。例3.已知的定義域為R，且對任意實數x，y滿足，求證：是偶函數。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函數。例4.若函數與的圖象關于原點對稱，求證：函數是偶函數。證明：設圖象上任意一點為P（）與的圖象關于原點對稱，關于原點的對稱點在的圖象上，又即對于函數定義域上的任意x都有，所以是偶函數。3.判斷單調性根據函數的奇偶性、單調性等有關性質，畫出函數的示意圖，以形助數，問題迅速獲解。例5.如果奇函數在區間上是增函數且有最小值為5，那么在區間上是A.增函數且最小值為 B.增函數且最大值為C.減函數且最小值為 D.減函數且最大值為分析：畫出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1例6.已知偶函數在上是減函數，問在上是增函數還是減函數，并證明你的結論。分析：如圖2所示，易知在上是增函數，證明如下：任取因為在上是減函數，所以。又是偶函數，所以，從而，故在上是增函數。圖24.探求周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細分析題設條件，通過類似，聯想出函數原型，通過對函數原型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。例7.設函數的定義域為R，且對任意的x，y有，并存在正實數c，使。試問是否為周期函數？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。分析：仔細觀察分析條件，聯想三角公式，就會發現：滿足題設條件，且，猜測是以2c為周期的周期函數。故是周期函數，2c是它的一個周期。5.求函數值緊扣已知條件進行迭代變換，經有限次迭代可直接求出結果，或者在迭代過程中發現函數具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。例8.已知的定義域為，且對一切正實數x，y都成立，若，則_______。分析：在條件中，令，得，又令，得，例9.已知是定義在R上的函數，且滿足：，，求的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發現是周期函數，顯然，于是，所以故是以8為周期的周期函數，從而6.比較函數值大小利用函數的奇偶性、對稱性等性質將自變量轉化到函數的單調區間內，然后利用其單調性使問題獲解。例10.已知函數是定義域為R的偶函數，時，是增函數，若，，且，則的大小關系是_______。分析：且，又時，是增函數，是偶函數，故7.討論方程根的問題例11.已知函數對一切實數x都滿足，并且有三個實根，則這三個實根之和是_______。分析：由知直線是函數圖象的對稱軸。又有三個實根，由對稱性知必是方程的一個根，其余兩根關于直線對稱，所以，故。8.討論不等式的解求解這類問題利用函數的單調性進行轉化，脫去函數符號。例12.已知函數是定義在上的減函數，且對一切實數x，不等式恒成立，求k的值。分析：由單調性，脫去函數記號，得由題意知(1)(2)兩式對一切恒成立，則有9.研究函數的圖象這類問題只要利用函數圖象變換的有關結論，就可獲解。例13.若函數是偶函數，則的圖象關于直線_______對稱。分析：的圖象的圖象，而是偶函數，對稱軸是，故的對稱軸是。例14.若函數的圖象過點（0，1），則的反函數的圖象必過定點______。分析：的圖象過點（0，1），從而的圖象過點，由原函數與其反函數圖象間的關系易知，的反函數的圖象必過定點。10.求解析式例15.設函數存在反函數，與的圖象關于直線對稱，則函數A. B. C. D.分析：要求的解析式，實質上就是求圖象上任一點的橫、縱坐標之間的關系。點關于直線的對稱點適合，即。又，即，選B。抽象函數的周期問題2001年高考數學（文科）第22題：設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱。對任意都有。（I）設求；（II）證明是周期函數。解析：（I）解略。（II）證明：依題設關于直線對稱故又由是偶函數知將上式中以代換，得這表明是上的周期函數，且2是它的一個周期是偶函數的實質是的圖象關于直線對稱又的圖象關于對稱，可得是周期函數且2是它的一個周期由此進行一般化推廣，我們得到思考一：設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，證明是周期函數，且是它的一個周期。證明：關于直線對稱又由是偶函數知將上式中以代換，得是上的周期函數且是它的一個周期思考二：設是定義在上的函數，其圖象關于直線和對稱。證明是周期函數，且是它的一個周期。證明：關于直線對稱將上式的以代換得是上的周期函數且是它的一個周期若把這道高考題中的“偶函數”換成“奇函數”，還是不是周期函數？經過探索，我們得到思考三：設是定義在上的奇函數，其圖象關于直線對稱。證明是周期函數，且4是它的一個周期。，證明：關于對稱又由是奇函數知將上式的以代換，得是上的周期函數且4是它的一個周期是奇函數的實質是的圖象關于原點（0，0）中心對稱，又的圖象關于直線對稱，可得是周期函數，且4是它的一個周期。由此進行一般化推廣，我們得到思考四：設是定義在上的函數，其圖象關于點中心對稱，且其圖象關于直線對稱。證明是周期函數，且是它的一個周期。證明：關于點對稱關于直線對稱將上式中的以代換，得是上的周期函數且是它的一個周期由上我們發現，定義在上的函數，其圖象若有兩條對稱軸或一個對稱中心和一條對稱軸，則是上的周期函數。進一步我們想到，定義在上的函數，其圖象如果有兩個對稱中心，那么是否為周期函數呢？經過探索，我們得到思考五：設是定義在上的函數，其圖象關于點和對稱。證明是周期函數，且是它的一個周期。證明：關于對稱將上式中的以代換，得是周期函數且是它的一個周期抽象函數解法例談抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖像,只給出一些函數符號及其滿足的條件的函數,如函數的定義域,解析遞推式,特定點的函數值,特定的運算性質等,它是高中函數部分的難點,也是大學高等數學函數部分的一個銜接點,由于抽象函數沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數的概念和性質,又能考查學生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數問題呢,我們可以利用特殊模型法,函數性質法,特殊化方法,聯想類比轉化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數問題,一:函數性質法函數的特征是通過其性質(如奇偶性,單調性周期性,特殊點等)反應出來的,抽象函數也是如此,只有充分挖掘和利用題設條件和隱含的性質,靈活進行等價轉化,抽象函數問題才能轉化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考;2,利用單調性等價轉化;3,利用周期性回歸已知4;利用對稱性數形結合;5,借助特殊點,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數解析式或研究函數性質時,一般用代換的方法,將x換成-x或將x換成等2在求函數值時,可用特殊值代入3研究抽象函數的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數對綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數問題求解,用常規方法一般很難湊效,但我們如果能通過對題目的信息分析與研究,采用特殊的方法和手段求解,往往會收到事半功倍之功效,真有些山窮水復疑無路,柳暗花明又一村的快感.已知函數f(x)對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1①若t為自然數,(t>0)試求f(t)的表達式②滿足f(t)=t的所有整數t能否構成等差數列?若能求出此數列,若不能說明理由③若t為自然數且t≥4時,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.已知函數f(x)=,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)>0,g(1)=2,g(x)是增函數.g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)求證：①f(x)是R上的增函數②當nN,n≥3時,f(n)>解:①設x1>x2g(x)是R上的增函數,且g(x)>0g(x1)>g(x2)>0g(x1)+1>g(x2)+1>0>>0->0f(x1)-f(x2)=-=1--(1-)=->0f(x1)>f(x2)f(x)是R上的增函數②g(x)滿足g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)且g(x)>0g(n)=[g(1)]n=2n當nN,n≥3時,2n>nf(n)=＝1-，＝1-2n＝（1+1）n＝1+n+…++…+n+1>2n+12n+1>2n+2<,即1->1-當nN,n≥3時,f(n)>設f1(x)f2(x)是(0,+∞)上的函數,且f1(x)單增,設f(x)=f1(x)+f2(x),且對于(0,+∞)上的任意兩相異實數x1,x2恒有|f1(x1)－f1(x2)|>|f2(x1)－f2(x2)|①求證：f(x)在(0,+∞)上單增.②設F(x)=xf(x),a>0、b>0.求證：F(a+b)>F(a)+F(b).①證明:設x1>x2>0f1(x)在(0,+∞)上單增f1(x1)－f1(x2)>0|f1(x1)－f1(x2)|=f1(x1)－f1(x2)>0|f1(x1)－f1(x2)|>|f2(x1)－f2(x2)|f1(x2)-f1(x1)<f2(x1)－f2(x2)<f1(x1)－f1(x2)f1(x1)+f2(x1)>f1(x2)+f2(x2)f(x1)>f(x2)f(x)在(0,+∞)上單增②F(x)=xf(x),a>0、b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f(x)在(0,+∞)上單增F(a+b)>af(a)+bf(b)=F(a)+F(b)函數y＝f(x)滿足①f(a+b)＝f(a)·f(b)，②f(4)＝16,m、n為互質整數，n≠0求f()的值f(0)=f(0+0)=f(0)·f(0)=f2(0)f(0)=0或1.若f(0)=0則f(4)=16=f(0+4)=f(0)·f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2)·f(2)=f(1)·f(1)·f(1)·f(1)=16f(1)=f2()≥0f(1)=2.仿此可證得f(a)≥0.即y=f(x)是非負函數.f(0)=f(a+(-a))=f(a)·f(-a)f(-a)=n∈N*時f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(++…+)=fn()=2f()=f()=[f()]m=定義在（-1，1）上的函數f(x)滿足任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)＝f()，②x∈（-1，0）時，有f(x)>0判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由判定f(x)在（-1，0）上的單調性，并給出證明求證：f()＝f()－f()或f()+f()+…+f()>f()(n∈N*)解:1)定義在（-1，1）上的函數f(x)滿足任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)＝f(),則當y=0時,f(x)+f(0)＝f(x)f(0)=0當-x=y時,f(x)+f(-x)＝f(0)f(x)是（-1，1）上的奇函數2)設0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=0>x1>x2>-1,x∈（-1，0）時，有f(x)>0,1-x1x2>0,x1-x2>0>0即f(x)在（-1，0）上單調遞增.3)f()=f()=f()=f()=f()-f()f()+f()+…+f()=f()-f()+f()-f()+f()+…+f()-f()=f()-f()=f()+f(-)x∈（-1，0）時，有f(x)>0f(-)>0,f()+f(-)>f()即f()+f()+…+f()>f()設f(x)是定義在R上的偶函數,其圖像關于直線x=1對稱,對任意x1、x2[0,eq\f(1,2)]都有f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.①求f(eq\f(1,2))及f(eq\f(1,4));②證明f(x)是周期函數③記an=f(2n+eq\f(1,2n)),求(lnan)解:①由f(x)=f(eq\f(x,2)+eq\f(x,2))=[f(x)]20,f(x)a=f(1)=f(2n·eq\f(1,2n))=f(eq\f(1,2n)+eq\f(1,2n)+…+eq\f(1,2n))＝[f(eq\f(1,2n))]2解得f(eq\f(1,2n))=f(eq\f(1,2))=,f(eq\f(1,4))=.②f(x)是偶函數,其圖像關于直線x=1對稱,f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(x)=f(-x).f(x)是以2為周期的周期函數.③an=f(2n+eq\f(1,2n))=f(eq\f(1,2n))=(lnan)==0設是定義在R上的恒不為零的函數，且對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0)，②設當x<0時，都有f(x)>f(0)證明當x>0時0<f(x)<1,③設a1=,an=f(n)（n∈N*），sn為數列｛an｝前n項和，求sn.解：①②仿前幾例，略。③an＝f(n)，a1＝f(1)＝an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝an數列｛an｝是首項為公比為的等比數列sn＝1-sn＝1設是定義在區間上的函數，且滿足條件：（i）（ii）對任意的（Ⅰ）證明：對任意的（Ⅱ）證明：對任意的（Ⅲ）在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數，且使得若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由.（Ⅰ）證明：由題設條件可知，當時，有即（Ⅱ）證法一：對任意的當不妨設則所以，綜上可知，對任意的都有證法二：由（Ⅰ）可得，當所以，當因此，對任意的當時，當時，有且所以綜上可知，對任意的都有（Ⅲ）答：滿足所述條件的函數不存在.理由如下，假設存在函數滿足條件，則由得又所以①又因為為奇數，所以由條件得②①與②矛盾，所以假設不成立，即這樣的函數不存在.高考抽象函數技巧總結由于函數概念比較抽象，學生對解有關函數記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函數概念的理解，更好地掌握函數的性質，培養靈活性；提高解題能力，優化學生數學思維素質。現將常見解法及意義總結如下：一、求表達式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養學生的靈活性及變形能力。例1：已知,求.解：設,則∴∴2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進一步復習代換法。例2：已知，求解：∵又∵∴，(||≥1)3.待定系數法：先確定函數類型，設定函數關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數。例3．已知二次實函數，且+2+4,求.解:設=，則=比較系數得∴4.利用函數性質法:主要利用函數的奇偶性,求分段函數的解析式.=為奇函數,當>0時,,求解:∵為奇函數，∴的定義域關于原點對稱，故先求<0時的表達式。∵->0,∴,∵為奇函數，∴∴當<0時∴例5．一已知為偶函數，為奇函數，且有+，求,.解：∵為偶函數，為奇函數，∴,,不妨用-代換+=………①中的,∴即－……②顯見①+②即可消去,求出函數再代入①求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出的表達式例6：設的定義域為自然數集，且滿足條件,及=1,求解：∵的定義域為N，取=1,則有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利用函數性質，解的有關問題1.判斷函數的奇偶性：例7已知,對一切實數、都成立，且,求證為偶函數。證明：令=0,則已知等式變為……①在①中令=0則2=2∵≠0∴=1∴∴∴為偶函數。例8：奇函數在定義域（-1，1）內遞減，求滿足的實數的取值范圍。解：由得，∵為函數，∴又∵在（-1，1）內遞減，∴3.解不定式的有關題目例9：如果=對任意的有,比較的大小解：對任意有∴=2為拋物線=的對稱軸又∵其開口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，為增函數∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五類抽象函數解法1、線性函數型抽象函數線性函數型抽象函數，是由線性函數抽象而得的函數。例1、已知函數f（x）對任意實數x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區間[－2，1]上的值域。分析：由題設可知，函數f（x）是的抽象函數，因此求函數f（x）的值域，關鍵在于研究它的單調性。解：設，∵當，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數。在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y＝0，則f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域為［－4，2］。例2、已知函數f（x）對任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：由題設條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函數，且f（x）為單調增函數，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數符號，從而可求得不等式的解。解：設，∵當，∴，則，

即，∴f（x）為單調增函數。∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不等式的解為－1<a<3。2、指數函數型抽象函數例3、設函數f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。分析：由題設可猜測f（x）是指數函數的抽象函數，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。解：（1）令y＝0代入，則，∴。若f（x）＝0，則對任意，有，這與題設矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對任意x，f（x）＞0恒成立。例4、是否存在函數f（x），使下列三個條件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測存在函數，用數學歸納法證明如下：（1）x＝1時，∵，又∵x∈N時，f（x）＞0，∴，結論正確。（2）假設時有，則x＝k＋1時，，∴x＝k＋1時，結論正確。綜上所述，x為一切自然數時。3、對數函數型抽象函數對數函數型抽象函數，即由對數函數抽象而得到的函數。例5、設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數，滿足，求：

（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍。分析：由題設可猜測f（x）是對數函數的抽象函數，f（1）＝0，f（9）＝2。解：（1）∵，∴f（1）＝0。（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數，故，解之得：8＜x≤9。例6、設函數y＝f（x）的反函數是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由。分析:由題設條件可猜測y＝f（x）是對數函數的抽象函數，又∵y＝f（x）的反函數是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數函數的抽象函數，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正確。解：設f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函數，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。4、三角函數型抽象函數三角函數型抽象函數即由三角函數抽象而得到的函數。例7、己知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：①當是定義域中的數時，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數）；③當0＜x＜2a時，f（x）＜0。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調性如何？說明理由。分析:由題設知f（x）是的抽象函數，從而由及題設條件猜想：f（x）是奇函數且在（0，4a）上是增函數（這里把a看成進行猜想）。解：（1）∵f（x）的定義域關于原點對稱，且是定義域中的數時有，∴在定義域中。∵，∴f（x）是奇函數。（2）設0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數。又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數。5、冪函數型抽象函數冪函數型抽象函數，即由冪函數抽象而得到的函數。例8、已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當時，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設可知f（x）是冪函數的抽象函數，從而可猜想f（x）是偶函數，且在［0，＋∞）上是增函數。解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）為偶函數。（2）設，∴，，∵時，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函數。（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。抽象函數常見題型解法綜述抽象函數是指沒有給出函數的具體解析式，只給出了一些體現函數特征的式子的一類函數。由于抽象函數表現形式的抽象性，使得這類問題成為函數內容的難點之一。本文就抽象函數常見題型及解法評析如下：一、定義域問題例1.已知函數的定義域是［1，2］，求f(x)的定義域。解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足從而函數f(x)的定義域是［1，4］評析：一般地，已知函數的定義域是A，求f(x)的定義域問題，相當于已知中x的取值范圍為A，據此求的值域問題。例2.已知函數的定義域是，求函數的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數的定義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數f(x)的定義域是A，求函數的定義域。正確理解函數符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵。這類問題實質上相當于已知的值域B，且，據此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3.已知定義域為的函數f(x)，同時滿足下列條件：①；②，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因為，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4.設函數f(x)定義于實數集上，對于任意實數x、y，總成立，且存在，使得，求函數的值域。解：令，得，即有或。若，則，對任意均成立，這與存在實數，使得成立矛盾，故，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數的問題時，往往需要對某些變量進行適當的賦值，這是一般向特殊轉化的必要手段。四、解析式問題例5.設對滿足的所有實數x，函數滿足，求f(x)的解析式。解：在中以代換其中x，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵。通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現這種轉化的重要策略。五、單調性問題例6.設f(x)定義于實數集上，當時，，且對于任意實數x、y，有，求證：在R上為增函數。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當時，；當時，而所以又當時，所以對任意，恒有設，則所以所以在R上為增函數。評析：一般地，抽象函數所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯。六、奇偶性問題例7.已知函數對任意不等于零的實數都有，試判斷函數f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數，所以為偶函數。七、對稱性問題例8.已知函數滿足，求的值。解：已知式即在對稱關系式中取，所以函數的圖象關于點（0，2002）對稱。根據原函數與其反函數的關系，知函數的圖象關于點（2002，0）對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數圖象關于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b均為常數，函數對一切實數x都滿足，則函數的圖象關于點（a，b）成中心對稱圖形。八、網絡綜合問題例9.定義在R上的函數f(x)滿足：對任意實數m，n，總有，且當x>0時，0<f(x)<1。（1）判斷f(x)的單調性；（2）設，，若，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當時，所以當時而所以又當x=0時，，所以，綜上可知，對于任意，均有。設，則所以所以在R上為減函數。（2）由于函數y=f(x)在R上為減函數，所以即有又，根據函數的單調性，有由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。評析：（1）要討論函數的單調性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)>0的結論。這是解題的關鍵性步驟，完成這些要在抽象函數式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯想類比思維都有助于問題的思考和解決。定義在R上的函數滿足：且，求的值。解：由，以代入，有，為奇函數且有又由故是周期為8的周期函數，例2已知函數對任意實數都有，且當時，，求在上的值域。解：設且，則，由條件當時，又為增函數，令，則又令得，故為奇函數，，上的值域為二.求參數范圍這類參數隱含在抽象函數給出的運算式中，關鍵是利用函數的奇偶性和它在定義域內的增減性，去掉“”符號，轉化為代數不等式組求解，但要特別注意函數定義域的作用。例3已知是定義在（）上的偶函數，且在（0，1）上為增函數，滿足，試確定的取值范圍。解：是偶函數，且在（0，1）上是增函數，在上是減函數，由得。（1）當時，，不等式不成立。（2）當時，（3）當時，綜上所述，所求的取值范圍是。例4已知是定義在上的減函數，若對恒成立，求實數的取值范圍。解：對恒成立對恒成立對恒成立，三.解不等式這類不等式一般需要將常數表示為函數在某點處的函數值，再通過函數的單調性去掉函數符號“”，轉化為代數不等式求解。例5已知函數對任意有，當時，，，求不等式的解集。解：設且則，即，故為增函數，又因此不等式的解集為。四.證明某些問題例6設定義在R上且對任意的有，求證：是周期函數，并找出它的一個周期。分析：這同樣是沒有給出函數表達式的抽象函數，其一般解法是根據所給關系式進行遞推，若能得出（T為非零常數）則為周期函數，且周期為T。證明：得由（3）得由（3）和（4）得。上式對任意都成立，因此是周期函數，且周期為6。例7已知對一切，滿足，且當時，，求證：（1）時，（2）在R上為減函數。證明：對一切有。且，令，得，現設，則，，而，設且，則，即為減函數。五.綜合問題求解抽象函數的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數定義域的應用，二是利用函數的奇偶性去掉函數符號“”前的“負號”，三是利用函數單調性去掉函數符號“”。例8設函數定義在R上，當時，，且對任意，有，當時。（1）證明；（2）證明：在R上是增函數；（3）設，，若，求滿足的條件。解：（1）令得，或。若，當時，有，這與當時，矛盾，。（2）設，則，由已知得，因為，，若時，，由（3）由得由得（2）從（1）、（2）中消去得，因為，即例9定義在（）上的函數滿足（1），對任意都有，（2）當時，有，（1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調性；（3）求證。分析：這是一道以抽象函數為載體，研究函數的單調性與奇偶性，再以這些性質為基礎去研究數列求和的綜合題。解：（1）對條件中的，令，再令可得，所以是奇函數。（2）設，則，，由條件（2）知，從而有，即，故上單調遞減，由奇函數性質可知，在（0，1）上仍是單調減函數。（3）抽象函數問題分類解析我們將沒有明確給出解析式的函數稱為抽象函數。近年來抽象函數問題頻頻出現于各類考試題中，由于這類問題抽象性強，靈活性大，多數同學感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分類解析，供學習參考。1.求定義域這類問題只要緊緊抓住：將函數中的看作一個整體，相當于中的x這一特性，問題就會迎刃而解。例1.函數的定義域為，則函數的定義域是___。分析：因為相當于中的x，所以，解得或。例2.已知的定義域為，則的定義域是______。分析：因為及均相當于中的x，所以(1)當時，則(2)當時，則2.判斷奇偶性根據已知條件，通過恰當的賦值代換，尋求與的關系。例3.已知的定義域為R，且對任意實數x，y滿足，求證：是偶函數。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函數。例4.若函數與的圖象關于原點對稱，求證：函數是偶函數。證明：設圖象上任意一點為P（）與的圖象關于原點對稱，關于原點的對稱點在的圖象上，又即對于函數定義域上的任意x都有，所以是偶函數。3.判斷單調性根據函數的奇偶性、單調性等有關性質，畫出函數的示意圖，以形助數，問題迅速獲解。例5.如果奇函數在區間上是增函數且有最小值為5，那么在區間上是A.增函數且最小值為 B.增函數且最大值為C.減函數且最小值為 D.減函數且最大值為分析：畫出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1例6.已知偶函數在上是減函數，問在上是增函數還是減函數，并證明你的結論。分析：如圖2所示，易知在上是增函數，證明如下：任取因為在上是減函數，所以。又是偶函數，所以，從而，故在上是增函數。圖24.探求周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細分析題設條件，通過類似，聯想出函數原型，通過對函數原型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。例7.設函數的定義域為R，且對任意的x，y有，并存在正實數c，使。試問是否為周期函數？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。分析：仔細觀察分析條件，聯想三角公式，就會發現：滿足題設條件，且，猜測是以2c為周期的周期函數。故是周期函數，2c是它的一個周期。5.求函數值緊扣已知條件進行迭代變換，經有限次迭代可直接求出結果，或者在迭代過程中發現函數具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。例8.已知的定義域為，且對一切正實數x，y都成立，若，則_______。分析：在條件中，令，得，又令，得，例9.已知是定義在R上的函數，且滿足：，，求的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發現是周期函數，顯然，于是，所以故是以8為周期的周期函數，從而6.比較函數值大小利用函數的奇偶性、對稱性等性質將自變量轉化到函數的單調區間內，然后利用其單調性使問題獲解。例10.已知函數是定義域為R的偶函數，時，是增函數，若，，且，則的大小關系是_______。分析：且，又時，是增函數，是偶函數，故7.討論方程根的問題例11.已知函數對一切實數x都滿足，并且有三個實根，則這三個實根之和是_______。分析：由知直線是函數圖象的對稱軸。又有三個實根，由對稱性知必是方程的一個根，其余兩根關于直線對稱，所以，故。8.討論不等式的解求解這類問題利用函數的單調性進行轉化，脫去函數符號。例12.已知函數是定義在上的減函數，且對一切實數x，不等式恒成立，求k的值。分析：由單調性，脫去函數記號，得由題意知(1)(2)兩式對一切恒成立，則有9.研究函數的圖象這類問題只要利用函數圖象變換的有關結論，就可獲解。例13.若函數是偶函數，則的圖象關于直線_______對稱。分析：的圖象的圖象，而是偶函數，對稱軸是，故的對稱軸是。例14.若函數的圖象過點（0，1），則的反函數的圖象必過定點______。分析：的圖象過點（0，1），從而的圖象過點，由原函數與其反函數圖象間的關系易知，的反函數的圖象必過定點。10.求解析式例15.設函數存在反函數，與的圖象關于直線對稱，則函數A. B. C. D.分析：要求的解析式，實質上就是求圖象上任一點的橫、縱坐標之間的關系。點關于直線的對稱點適合，即。又，即，選B。抽象函數的周期問題2001年高考數學（文科）第22題：設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱。對任意都有。（I）設求；（II）證明是周期函數。解析：（I）解略。（II）證明：依題設關于直線對稱故又由是偶函數知將上式中以代換，得這表明是上的周期函數，且2是它的一個周期是偶函數的實質是的圖象關于直線對稱又的圖象關于對稱，可得是周期函數且2是它的一個周期由此進行一般化推廣，我們得到思考一：設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，證明是周期函數，且是它的一個周期。證明：關于直線對稱又由是偶函數知將上式中以代換，得是上的周期函數且是它的一個周期思考二：設是定義在上的函數，其圖象關于直線和對稱。證明是周期函數，且是它的一個周期。證明：關于直線對稱將上式的以代換得是上的周期函數且是它的一個周期若把這道高考題中的“偶函數”換成“奇函數”，還是不是周期函數？經過探索，我們得到思考三：設是定義在上的奇函數，其圖象關于直線對稱。證明是周期函數，且4是它的一個周期。，證明：關于對稱又由是奇函數知將上式的以代換，得是上的周期函數且4是它的一個周期是奇函數的實質是的圖象關于原點（0，0）中心對稱，又的圖象關于直線對稱，可得是周期函數，且4是它的一個周期。由此進行一般化推廣，我們得到思考四：設是定義在上的函數，其圖象關于點中心對稱，且其圖象關于直線對稱。證明是周期函數，且是它的一個周期。證明：關于點對稱關于直線對稱將上式中的以代換，得是上的周期函數且是它的一個周期由上我們發現，定義在上的函數，其圖象若有兩條對稱軸或一個對稱中心和一條對稱軸，則是上的周期函數。進一步我們想到，定義在上的函數，其圖象如果有兩個對稱中心，那么是否為周期函數呢？經過探索，我們得到思考五：設是定義在上的函數，其圖象關于點和對稱。證明是周期函數，且是它的一個周期。證明：關于對稱將上式中的以代換，得是周期函數且是它的一個周期抽象函數解法例談抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖像,只給出一些函數符號及其滿足的條件的函數,如函數的定義域,解析遞推式,特定點的函數值,特定的運算性質等,它是高中函數部分的難點,也是大學高等數學函數部分的一個銜接點,由于抽象函數沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數的概念和性質,又能考查學生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數問題呢,我們可以利用特殊模型法,函數性質法,特殊化方法,聯想類比轉化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數問題,一:函數性質法函數的特征是通過其性質(如奇偶性,單調性周期性,特殊點等)反應出來的,抽象函數也是如此,只有充分挖掘和利用題設條件和隱含的性質,靈活進行等價轉化,抽象函數問題才能轉化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考;2,利用單調性等價轉化;3,利用周期性回歸已知4;利用對稱性數形結合;5,借助特殊點,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數解析式或研究函數性質時,一般用代換的方法,將x換成-x或將x換成等2在求函數值時,可用特殊值代入3研究抽象函數的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數對綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數問題求解,用常規方法一般很難湊效,但我們如果能通過對題目的信息分析與研究,采用特殊的方法和手段求解,往往會收到事半功倍之功效,真有些山窮水復疑無路,柳暗花明又一村的快感.已知函數f(x)對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1①若t為自然數,(t>0)試求f(t)的表達式②滿足f(t)=t的所有整數t能否構成等差數列?若能求出此數列,若不能說明理由③若t為自然數且t≥4時,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.已知函數f(x)=,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)>0,g(1)=2,g(x)是增函數.g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)求證：①f(x)是R上的增函數②當nN,n≥3時,f(n)>解:①設x1>x2g(x)是R上的增函數,且g(x)>0g(x1)>g(x2)>0g(x1)+1>g(x2)+1>0>>0->0f(x1)-f(x2)=-