河北省唐山市玉田縣第一中學2021-2022學年高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，則集合A∩B的真子集的個數為（）A.32個

B.

16個

C.

8個

D.7個參考答案：略2.設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是（

）

A．

B．C．

D．參考答案：C略3.已知銳角△ABC外接圓的半徑為2，，則△ABC周長的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由正弦定理解得角C，再利用正弦定理得出a+b+c關于B的三角函數，從而得出周長的最大值．【詳解】∵銳角外接圓的半徑為2，，∴即，∴，又為銳角，∴，由正弦定理得，∴a＝4sinA，b＝4sinB，c＝∴a+b+c＝24sinB+4sin（B）＝6sinB+2cosB+24sin（B）+2，∴當B即B時，a+b+c取得最大值46．故選：B．【點睛】本題考查了三角恒等變換，正弦函數的圖象與性質，正弦定理解三角形，屬于中檔題．4.已知等差數列{an}中，a2=2，d=2，則S10=（）A．200 B．100 C．90 D．80參考答案：C【考點】85：等差數列的前n項和．【分析】由等差數列的通項公式，可得首項，再由等差數列的求和公式，計算即可得到所求和．【解答】解：等差數列{an}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，則S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故選：C．5.我國古代數學巨著《九章算術》中，有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”這個問題用今天的白話敘述為：有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這位女子每天分別織布多少？根據上述問題的已知條件，若該女子共織布尺，則這位女子織布的天數是（

）A.2 B.3 C.4 D.1參考答案：B【分析】將問題轉化為等比數列問題，最終變為求解等比數列基本量的問題.【詳解】根據實際問題可以轉化為等比數列問題，在等比數列中，公比，前項和為，，，求的值．因為，解得，，解得．故選B．【點睛】本題考查等比數列的實際應用，難度較易.熟悉等比數列中基本量的計算，對于解決實際問題很有幫助.6.已知數列為等差數列，且，，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略8.下列不等式中，正確的是

①

②

③A．①③ B．①② C．②③ D．①②③參考答案：A9.在中，，．若點滿足，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略10.下列冪函數中過點(0,0),(1,1)的偶函數是（

）A． B． C． D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集為

參考答案：[-3,1]略12.在直角坐標系xOy中，終邊在坐標軸上的角α的集合是．參考答案：{α|α=，n∈Z}【考點】任意角的三角函數的定義．【分析】分別寫出終邊在x軸上的角的集合、終邊在y軸上的角的集合，進而可得到終邊在坐標軸上的角的集合．【解答】解：終邊在x軸上的角的集合為{α|α=kπ，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合為{α|α=kπ+，k∈Z}，故合在一起即為{α|α=，n∈Z}故答案為：{α|α=，n∈Z}【點評】本題考查終邊相同的角的表示方法，屬于基礎題．13.圓心為點，且經過原點的圓的方程為

參考答案：14.已知函f（x）=，則f（f（））=．參考答案：【考點】分段函數的應用；函數的值；對數的運算性質．【分析】利用分段函數直接進行求值即可．【解答】解：由分段函數可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案為：．【點評】本題主要考查分段函數求值，比較基礎．15.數列…的前

項和為最大？參考答案：10略16.（4分）Sn=1+2+3+…+n，則sn=

．參考答案：考點：數列的求和．專題：等差數列與等比數列．分析：利用分組求和法進行求解即可．解答：Sn=1+2+3+…+n=（1+2+3+…+n）+（++…+）=+=，故答案為：點評：本題主要考查數列求和的計算，利用分組求和法將數列轉化為等比數列和等差數列是解決本題的關鍵．17.若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的表面積為

。參考答案：3π

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是矩形，側面PAD⊥底面ABCD，若點E，F分別是PC，BD的中點。（1）求證：EF∥平面PAD；（2）求證：平面PAD⊥平面PCD

參考答案：（1）設PD中點為H，AD中點為G，連結FG，GH，HE

G為AD中點，F為BD中點，GF，

同理EH，

ABCD為矩形，ABCD，GFEH，EFGH為平行四邊形

EF∥GH，又∥面PAD.

（2）面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD＝AD，又ABCD為矩形，

CD⊥AD，CD⊥面PAD

又CD面PCD，面PAD⊥面PCD.略19.已知△ABC的三個頂點分別為A（2，3），B（﹣1，﹣2），C（﹣3，4），求（Ⅰ）BC邊上的中線AD所在的直線方程；（Ⅱ）△ABC的面積．參考答案：【考點】直線的一般式方程；點到直線的距離公式．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）求出中點D的坐標，用兩點式求出中線AD所在直線的方程，并化為一般式．（Ⅱ）求出線段BC的長度，求出直線BC的方程和點A到直線BC的距離，即可求得，∴△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）由已知得BC中點D的坐標為D（﹣2，1），∴中線AD所在直線的方程是，即

x﹣2y+4=0．（Ⅱ）∵，直線BC的方程是

，即3x+y+5=0，點A到直線BC的距離是，∴△ABC的面積是．【點評】本題考查用兩點式求直線方程的方法，點到直線的距離公式的應用，求點A到直線BC的距離是解題的難點．20.如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N為線段PB的中點．（Ⅰ）證明：NE⊥PD；（Ⅱ）求三棱錐E﹣PBC的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LO：空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（Ⅰ）連結AC與BD交于點F，則F為BD的中點，連結NF，由三角形中位線定理可得NF∥PD，，在結合已知得四邊形NFCE為平行四邊形，得到NE∥AC．再由PD⊥平面ABCD，得AC⊥PD，從而證得NE⊥PD；（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，得平面PDCE⊥平面ABCD，可得BC⊥CD，則BC⊥平面PDCE．然后利用等積法把三棱錐E﹣PBC的體積轉化為B﹣PEC的體積求解．【解答】（Ⅰ）證明：連結AC與BD交于點F，則F為BD的中點，連結NF，∵N為線段PB的中點，∴NF∥PD，且，又EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC．∴四邊形NFCE為平行四邊形，∴NE∥FC，即NE∥AC．又∵PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，∵NE∥AC，∴NE⊥PD；（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD，∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PDCE．三棱錐E﹣PBC的體積=．21.已知函數，其中為實常數.（1）當時，求不等式的解集；（2）當變化時，討論關于的不等式的解集.參考答案：解（1）當時，由，得，即.

（2分）

∴不等式的解集是，

（4分）

（2）由，得，即.