第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學年福建省福州四十中高一（下）期末數學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若a，b是兩個單位向量，則下列結論中正確的是(

)A.a=b B.a2=b22.已知復數(1?3i)zA.14 B.12 C.1 3.在△ABC中，sinA：sinB：siA.?12 B.0 C.234.在空間中，下列說法正確的是(

)A.垂直于同一直線的兩條直線平行 B.垂直于同一直線的兩條直線垂直

C.平行于同一平面的兩條直線平行 D.垂直于同一平面的兩條直線平行5.如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面直徑AB=16米，AD=4米，圓錐的高PQA.336π平方米 B.272π平方米 C.208π平方米 6.下列等式不正確的是(

)A.cos15°sin15°7.如圖，在三棱錐A?BCD中，AB=AC=AD=2，AB⊥ACA.66

B.13

C.8.如圖，在直角坐標系內，角α的終邊與單位圓交于點P1(35,45)，OP1逆時針旋轉π3得OP2，OP2逆時針旋轉π3得A.4+3310

B.3+二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.設z1，z2是復數，則下列命題中正確的是(

)A.若z1是純虛數，則z12>0

B.若|z1|=|z2|，則z1?z10.函數f(x)=AA.f(x)的最小正周期是2π

B.a的值為3

C.f(x)在[?1711.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，O為底面ABCDA.A1，E，O三點共線

B.三棱錐A1?BCD的外接球的表面積為3π

C.直線A1C與平面A1BD所成的角為

12.已知△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=10,bcosC+ccosBA.若(AB+AC)?BC=0，則|AB+AC|=6

B.若CA在CB方向上的投影向量為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知復數z=1?2i，其中i為虛數單位，若z，z2在夏平面上對應的點分別為M，N，則線段14.已知輪船A和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如圖).若A船的航行速度為60nmile/h，1小時后，B船測得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時

15.已知向量a=(3sinα,?2)16.已知正四棱錐的側棱長為6，其頂點均在同一個球面上，若球的體積為36π，則該正四棱錐的體積為______．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知f(x)=sin(π?2x)+sin(2x?π2)．18.(本小題12.0分)

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且S=?34(a2+c2?b2)．

(119.(本小題12.0分)

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一點，E，F分別是線段PB，PC的中點，AB=10，PC=12，∠APC=30°．

(1)求證：20.(本小題12.0分)

如圖，在菱形ABCD中，E是CD的中點，AE交BD于點F，設AB=a，AD=b．

(1)用向量a，b表示A21.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC//平面PAD,BC=12AD，∠ABC=90°，E是P22.(本小題12.0分)

△ABC中，AB=1，BC=7，D為AC上一點，AD=2DC，A答案和解析1.【答案】B

【解析】解：a,b是單位向量，方向可能不同，∴ACD都錯誤；

a2=1,b2=1，∴a2=b2，B2.【答案】C

【解析】解：(1?3i)z=3+i，

則z=3.【答案】A

【解析】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，

∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，

∴a=3b5，c=7b5，

由余弦定理可得cosC=a2+b24.【答案】D

【解析】解：垂直于同一直線的兩條直線的位置關系有：平行、相交和異面，A、B不正確；

平行于同一平面的兩條直線的位置關系有：平行、相交和異面，C不正確；

根據線面垂直的性質可知：D正確；

故選：D．

根據空間中線、面的位置關系理解判斷A、B、C，根據線面垂直的性質判斷D．

本題考查線面平行或垂直的判斷方法，屬于基礎題．

5.【答案】D

【解析】解：依題意得，

圓柱的側面積S1=2π×(12AB)×AD=2π×12×16×4=64π，∵D6.【答案】B

【解析】解：對于A，sin15°cos15°=12sin30°=14，故A正確；

對于B，sin22°sin38°?cos22°sin527.【答案】A

【解析】解：因為AD⊥平面ABC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，

所以AD⊥AB，AD⊥AC，

又AB⊥AC，

所以AD，AB，AC兩兩垂直，且AB=AC=AD=2，

所以BC=CD=BD=22，

取AC的中點F，連結EF8.【答案】D

【解析】解：由題意，P1(cosα,sinα)，故P2024(cos(α+2023π3)9.【答案】BC【解析】解：對于A，因為z1是純虛數，所以設z1=bi(b∈R,b≠0)，

則z12=?b2<0，所以A錯誤，

對于B，設z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，因為|z1|=|z2|，所以a2+b2=c2+d2，

因為z1?z1?=10.【答案】AC【解析】解：對于A，由f(x)的部分圖象知，A=2，最小正周期為T=7π3?π3=2π，所以A選項正確；

由于ω=2πT=1，則f(x)=2sin(x+φ)，由圖知f(π3)=f(5π6)，

所以該函數圖象的一條對稱軸為x=π3+5π62=7π12，

將(7π12,2)代入f(x)=2sin(x+φ)，得出7π12+φ=π2+11.【答案】AB【解析】解：∵O為底面ABCD的中心，∴O為BD和AC的中點，則O∈BD，O∈AC，

∵BD?平面A1BD，AC?平面ACC1A1，

∴O∈平面A1BD，O∈平面ACC1A1，

則點O是平面A1BD與平面ACC1A1的公共點，

A1是平面A1BD與平面ACC1A1的公共點；

∵AC1交平面A1BD于點E，AC1?平面ACC1A1，

∴E也是平面A1BD與平面ACC1A1的公共點，

∴A1，E，O三點都在平面A1BD與平面ACC1A1的交線上，

即A1，E，O三點共線，故A正確；

三棱錐A1?BCD的外接球和正方體是同一個外接球，棱長為1，∴2R=12+12+12=3，

得R=32，則外接球的表面積S=4πR2=3π，故B正確；

∵C1C⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥C1C，

又BD⊥AC，AC?C1C=C，AC，C1C?平面ACC1A1，

∴BD12.【答案】AC【解析】解：如圖，設BC的中點為E，連接QE，

∵bcosC+ccosB=2，由余弦定理可得：

b?a2+b2?c22ab+c?a2+c2?b22ac=2，

∴2a22a=2，∴a=2，

又OA+2OB+3OC=0，∴OA+OC=?2(OB+OC)，

∴2OQ=?2×(2OE)，∴OQ=?2OE，

對A選項，∵(AB+AC)?BC=0，∴2AE?BC=0，

∴AE⊥BC，13.【答案】2【解析】解：z=1?2i，則M(1,?2)，z2=(1?2i)2=?14.【答案】30【解析】解：由題設，CA=60nmile，且∠ABC=135°，

由正弦定理有ABsin∠BCA=CAsin15.【答案】?12【解析】解：a?b=3sinα?2(1?cosα16.【答案】103【解析】解：如圖，AC?BD=H，連結PH，則PH⊥平面ABCD，

四棱錐外接球的球心在PH上，設為點O，連結OB，

因為球的體積V=43πR3=36π，所以R=3，

設四棱錐的底面邊長為a，則BH=22a，則17.【答案】解：(1)f(x)=sin(π?2x)+sin(2x?π2)=sin2x?cos2x=2sin(2x?π4)，【解析】(1)利用誘導公式及輔助角公式即可化簡f(x)，利用三角函數的性質即可求解對稱軸方程；

18.【答案】解：(1)由余弦定理得a2+c2?b2=2accosB，

又S=?34(a2+c2?b2)=12acsinB，

∴?34×(2a【解析】(1)根據題意，由余弦定理及三角形面積公式可得出tanB，從而可求出B；

(2)根據S=19.【答案】解：(1)證明：因為E，F分別是線段PB，PC的中點，所以BC//EF，

又EF?平面AEF，又CB?cancel?平面AEF，所以BC//平面AEF；

(2)證明：因為PA垂直于⊙O所在的平面，BC包含于⊙O所在的平面，

所以PA⊥BC，

因為C是圓周上不同于A，B的一點，所以AC⊥BC，

又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC；

(3)又BC【解析】(1)利用中位線，得到線線平行，即可證明．

(2)根據線面垂直的判斷定理，轉化為線線垂直，即可證明；

(3)20.【答案】解：(1)在菱形ABCD中，E是CD的中點，AB//CD，則DFBF=DEAB=12，

所以DF=12BF,DE=12AB，

則AE=AD+DE=【解析】(1)在菱形ABCD中，根據E是CD的中點，DC//AB，DFB21.【答案】解：(1)證明：∵BC//平面PAD，BC?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BC//AD．

(2)證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

因為∠ABC=90°，BC//AD，則BA⊥AD，所以BA⊥平面PAD，又因為BA?平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PAD．

(3)當N為AD中點時，MN//平面PAB．

證明：取【解析】(1)由線面平行的性質定理即可證明．

(2)由面面垂直的性質定理證得BA⊥平面PAD，又因為BA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

(3)取AD的中點N，連接CN，22.【答案】解：(1)設AD=2x，DC=x，則BD=4x2?1，