精品文檔-下載后可編輯與二次函數相關的考題分解函數是刻畫變量與變量之間依賴關系的一個有效數學模型.初中階段主要學習一次函數（含正比例函數）、反比例函數及二次函數的圖象與性質，利用函數的有關知識解決實際問題等.二次函數在這幾種函數中起著“紐帶”作用，利用它可以把其它幾種函數聯系在一起.各地的中考數學試卷中都有考查二次函數的題目，其考查形式有填空題、選擇題、解答題.這些考題涉及到二次函數的所有知識點，下面結合2022年典型中考題進行說明.

1求二次函數的解析式

例1（山東淄博）如圖1，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，經過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點.

（1）求這條拋物線對應的函數解析式；

（2）求直線AB對應的函數解析式.

圖1析解（1）因為拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，所以Δ=4a2-4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，所以拋物線解析式為y=x2+2x+1；

（2）因為y=（x+1）2，所以頂點A的坐標為（-1，0），因為點C是線段AB的中點，即點A與點B關于C點對稱，所以B點的橫坐標為1，當x=1時，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-1，0），B（1，4）代入得

-k+b=0，

k+b=4.解得k=2，

b=2.所以直線AB的解析式為y=2x+2.

2考查二次函低枷笥胄災

圖2例2（湖北鄂州）如圖2，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x=2，且OA=OC，則下列結論：

①abc>0；②9a+3b+c-1；

④關于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一個根為-1a.其中正確的結論個數有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

析解由于圖象開口向下，可知a0，所以abc>0，故①正確；根據圖象可知當x=3時，y>0，所以9a+3b+c>0，故②錯誤；由圖象可知OA

綜上可知正確的結論有三個，故選C.

3二次函數與其它函數聯系在一起

圖3例3（浙江溫州）如圖3，在ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2.P是AB邊上一動點，PDAC于點D，點E在P的右側，且PE=1，連結CE.P從點A出發，沿AB方向運動，當E到達點B時，P停止運動.在整個運動過程中，圖中陰影部分面積S1+S2的大小變化情況是（）.

A.一直減小B.一直不變

C.先減小后增大D.先增大后減小

分析利用勾股定理求出AB，設PD=x，AB邊上的高為h，根據ABC的面積求出h，根據PD∥BC求出AD.構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可.

解在RtABC中，因為∠ACB=90°，AC=4，BC=2，所以AB=AC2+BC2=42+52=25，設PD=x，AB邊上的高為h，h=AC?BCAB=455，因為PD∥BC，所以PDBC=ADAC，所以AD=2x，AP=5x，所以S1+S2=12?2x?x+12（25-1-5x）?455=x2-2x+4-255=（x-1）2+3-255，所以當0

當1≤x≤2時，S1+S2的值隨x的增大而增大.

圖4故選C.

4與幾何知識聯系在一起

例4（臺灣）如圖4，坐標平面上，二次函數y=-x2+4x-k的圖形與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其頂點為D，且k>0.若ABC與ABD的面積比為1∶4，則k值為何？（）

A.1B.12C.43D.45

析解先求出頂點和C的坐標，再根據三角形的面積關系得出關于k的方程，解方程即可.

因為y=-x2+4x-k=-（x-2）2+4-k，所以頂點D（2，4-k），C（0，-k），所以OC=k.因為ABC的面積=12AB?OC=12AB?k，ABD的面積=12AB（4-k），ABC與ABD的面積比為1∶4，所以k=14（4-k），解得：k=45.故選D.

5利用二次函數的知識解決生活、生產中的實際問題

圖5例5（湖北黃石）科技館是少年兒童節假日游玩的樂園.如圖5所示，圖中點的橫坐標表示科技館從8∶30開門后經過的時間（分鐘），縱坐標表示到達科技館的總人數.圖中曲線對應的函數解析式為

y=ax2，0≤x≤30，

b（x-90）2+n，30≤x≤90，10：00之后來的游客較少可忽略不計.

（1）請寫出圖中曲線對應的函數解析式；

（2）為保證科技館內游客的游玩質量，館內人數不超過684人，后來的人在館外休息區等待.從10：30開始到12：00館內陸續有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內人數減少到624人時，館外等待的游客可全部進入.請問館外游客最多等待多少分鐘？

析解（1）把（30，300）和（90，700）分別代入y=ax2，0≤x≤30，

b（x-90）2+n，30≤x≤90，得300=a×302，所以a=13，700=b（90-90）+n，所以n=700.

當n=700.a=13時，有b×（30-90）2+700=13×302，所以b=-19.

所以y=13x2，0≤x≤30，

-19（x-90）2+700，30≤x≤90，

（2）首先要求出館內人數到達684人所用的時間，此時對應函數的第二段表達式，-19（x-90）2+700=684，所以x=78.由684人減少到624人需要684-6244=15（分鐘），所以館外游客最多等待15+30+（90-78）=57分鐘.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點P，使得ACP的面積最大？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）將直尺以每秒2個單位的速度沿x軸向左平移，設平移的時間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點M，與拋物線的其中一個交點為點N，請直接寫出當t為何值時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形.

分析（1）根據三角形的面積公式求出m的值，結合點C的坐標利用待定系數法即可求出a值，從而得出結論；（2）假設存在.過點P作y軸的平行線，交x軸與點M，交直線AC于點N.根據拋物線的解析式找出點A的坐標.設直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，-12n2+2n+6）（-2

解（1）略.

物線的解析式為y=-12x2+2x+6.

設直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，-12n2+2n+6）（-2

因為點P的坐標為（n，-12n2+2n+6），所以點N的坐標為（n，n+2）.因為SACP=12PN?（xC-xA）=

-32（n-1）2+272，所以當n=1時，SACP取最大值，最大值為272，此時點P的坐標為（1，152）.所以在直線AC上方的拋物線上存在一點P，使得ACP的面積最大，面積的最大值為272，此時點P的坐標為（1，152）.

因為EF=2，且點E在點F的左邊，所以點F的坐標為（12，0）.設點M的坐標為（12-2t，0），則點N的坐標為（12-2t-2，0+2），即N（10-2t，2）.

因為點N（10-2t，2）在拋物線y=-1