第四章第一節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.了解任意角的概念和弧度制,能進(jìn)行弧度與角度的互化.2.借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.1.象限角及終邊相同的角2.扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用3.三角函數(shù)的定義及應(yīng)用4.三角函數(shù)線的應(yīng)用1.數(shù)學(xué)抽象2.直觀想象3.數(shù)學(xué)運(yùn)算強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略1.角的概念的推廣(1)角的定義:平面內(nèi)一條射線繞著

從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.端點(diǎn)

正角

負(fù)角

零角

象限角

微思考1銳角一定是第一象限角嗎?第一象限角一定是銳角嗎?

微思考2終邊相同的角是否一定相等?反之呢?

提示:銳角一定是第一象限角,但第一象限角不一定是銳角.提示:終邊相同的角不一定相等,但相等的角其終邊一定相同.2.弧度制的定義和公式(1)定義:長度等于

的弧所對的圓心角叫作1弧度的角.弧度單位用符號rad表示,讀作弧度.

(2)公式:半徑長

|α|r微點(diǎn)撥(1)正角的弧度數(shù)為正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)為零.(2)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π

rad=180°,在一個(gè)式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用.3.任意角的三角函數(shù)(1)定義:在直角坐標(biāo)系中,作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓,對于任意角α,使角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓交于唯一的點(diǎn)P(u,v),我們把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦函數(shù),記作v=

;sinαcosαtanα(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦微點(diǎn)撥當(dāng)角α的終邊與x軸重合時(shí),角α的正弦值和正切值都為0;當(dāng)角α的終邊與y軸重合時(shí),角α的余弦值為0,正切值不存在.常用結(jié)論1.象限角2.軸線角

增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角典例突破

A.第一象限角

B.第一或第三象限角C.第二象限角

D.第二或第四象限角答案:(1)C

(2)B

突破技巧1.象限角的兩種判斷方法

圖像法在平面直角坐標(biāo)系中,作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角2.求角

或nθ(n∈N+)所在象限的步驟(1)將角θ的范圍用不等式(含有k,且k∈Z)表示;(2)兩邊同除以n或乘n;(3)對k進(jìn)行討論,得到

或nθ的終邊(n∈N+)所在的象限.[提醒]注意“順轉(zhuǎn)減,逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用,如角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°可得角α+180°的終邊,類推可知α+k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角.A.M=N B.M?NC.N?M D.M∩N=?(2)終邊在直線y=x上,且在[-2π,2π)內(nèi)的角α的集合為

.考點(diǎn)二扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用典例突破例2.(1)(2021貴州畢節(jié)二模)中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).按如下方法剪裁,扇面形狀較為美觀.從半徑為r的圓面中剪下扇形OAB,使剪下扇形OAB后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為

,再從扇形OAB中剪下扇環(huán)形ABDC制作扇面,使扇環(huán)形ABDC的面積與扇形OAB的面積比值為

.則一個(gè)按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品(如圖)的面積與圓面積的比值為(

)(2)(2021江西鷹潭模擬)已知一扇形的圓心角為α,半徑為r,弧長為l.若扇形周長為20,當(dāng)這個(gè)扇形的面積最大時(shí),則圓心角α=

弧度.

答案:(1)D

(2)2解題心得有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點(diǎn)(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時(shí),常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí),要合理地利用圓心角所在的三角形.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個(gè)圓心角所對的弧長是

.

(2)已知扇形的周長為c,則當(dāng)扇形的圓心角(正角)α=

弧度時(shí),其面積最大,最大面積是

.

考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用(多考向探究)考向1.三角函數(shù)求值問題典例突破例3.(1)(2021北京海淀高三二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角θ以O(shè)x為始邊,終邊經(jīng)過點(diǎn)(-3,4),則cosθ=(

)答案:(1)C

(2)C

突破技巧(1)已知角α的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo),求角α的三角函數(shù)值.方法:先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離,再利用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角α的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),求與角α有關(guān)的三角函數(shù)值.方法:先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(帶參數(shù)),根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程,求出未知數(shù),從而求解問題.(3)已知角α的終邊所在的直線方程(y=kx,k≠0),求角α的三角函數(shù)值.方法:先設(shè)出終邊上一點(diǎn)P(a,ka),a≠0,求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(注意a的符號,對a分類討論),再利用三角函數(shù)的定義求解.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2021河南駐馬店模擬)角α的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)P(-4,6),則下列結(jié)論一定成立的是(

)解析:(1)因?yàn)榻铅恋慕K邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)P(-4,6),則角α可能是第二象限角,也可能是第四象限角.第二象限的正弦為正數(shù),余弦為負(fù)數(shù);第四象限的正弦為負(fù)數(shù),余弦為正數(shù).只有正切值不管是第二象限角或第四象限角都是負(fù)數(shù),考向2.三角函數(shù)值的符號判斷典例突破例4.(1)(2021陜西咸陽模擬)已知點(diǎn)P(tanα,cosα)在第三象限,則角α為(

)A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角答案:(1)B

(2)=

解析:(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(tan

α,cos

α)在第三象限,所以tan

α<0,cos

α<0,則角α為第二象限角.(2)因?yàn)榻铅恋慕K邊落在直線y=-x上,所以角α的終邊位于第二或第四象限.解題心得判定三角函數(shù)值的符號,先搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角,再根據(jù)正弦、余弦函數(shù)值在各象限的正負(fù)情況確定.如果不知道角所在象限,需要分類討論求解.對點(diǎn)訓(xùn)練4(2021陜西西安一中高三月考)設(shè)θ是第二象限角,則點(diǎn)P(sin(cosθ),cos(sinθ))在(

)A.