上海市市東中學高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點F1，F2為橢圓的左右焦點，若橢圓上存在點P使得，則此橢圓的離心率的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，] C．（，] D．[，1）參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【專題】分類討論；方程思想；數形結合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由題意可得||=，||=，當P與兩焦點F1，F2能構成三角形時，由余弦定理可得ac的不等式，可得離心率的范圍；當P與兩焦點F1，F2共線時，可e==；綜合可得．【解答】解：由題意設=2x，則2x+x=2a，解得x=，故||=，||=，當P與兩焦點F1，F2能構成三角形時，由余弦定理可得4c2=+﹣2×××cos∠F1PF2，由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c2=﹣cos∠F1PF2∈（，），即＜4c2＜，∴＜＜1，即＜e2＜1，∴＜e＜1；當P與兩焦點F1，F2共線時，可得a+c=2（a﹣c），解得e==；綜上可得此橢圓的離心率的取值范圍為[，1）故選：D【點評】本題考查橢圓的簡單性質，涉及余弦定理和不等式的性質以及分類討論的思想，屬中檔題．2.已知函數的圖象與函數（且）的圖象關于直線對稱，記．若在區間上是增函數，則實數的取值范圍是

A．

B．C．

D．參考答案：D略3.集合，則

(A)(-∞,1]U(2,+∞)

(B)

(C)[1，2)

(D)(1，2]參考答案：【知識點】集合

A1D解析：所以D正確.【思路點撥】根據交集的概念可求出正確結果.4.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，若雙曲線C的離心率為2，△AOB的面積為，則△AOB的內切圓半徑為(

) A．﹣1 B．+1 C．2﹣3 D．2+3參考答案：C考點：雙曲線的簡單性質．專題：解三角形；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：由雙曲線的離心率公式及a，b，c的關系可得b=a，由雙曲線的漸近線方程和拋物線的準線方程解得A，B，求出三角形AOB的面積，進而解得p=2，即有A，B的坐標，進而得到三角形AOB的三邊，再由內切圓的半徑與三角形的面積之間的關系，計算即可得到r．解答： 解：由e====2，可得=．由，求得A（﹣，），B（﹣，﹣），所以S△AOB=??=．將=代入，得p2=4，解得p=2．所以A（﹣1，），B（﹣1，﹣），則△AOB的三邊分別為2，2，2，設△AOB的內切圓半徑為r，由（2+2+2）r=，解得r=2﹣3，故選C．點評：本題考查雙曲線和拋物線的綜合應用．求解這類問題關鍵是結合兩個曲線的位置關系，找到它們對應的幾何量，然后利用圖形中的平面幾何性質解答問題．5.

復數z1=2+i,z2=1+i,則復數在復平面內的對應點位于A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

參考答案：答案：D6.學校高中部共有學生2000名，高中部各年級男、女生人數如下表，已知在高中部學生中隨機抽取1名學生，抽到高三年級女生的概率是0．18，現用分層抽樣的方法在高中部抽取50名學生，則應在高二年級抽取的學生人數為

高一高二高三女生373yx男生327Z340A．14

B．15

C．16

D．17參考答案：B略7.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象

(A)向左平移個單位(B)向右平移單位

(C)向左平移個單位(D向右平移個單位參考答案：B8.函數y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上（其中m，n＞0），則4m+2n的值等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點】直線的一般式方程；對數函數圖象與性質的綜合應用．【專題】計算題．【分析】由對數函數的特點可得點A的坐標，代入直線方程可得2m+n=1，進而可得4m+2n的值．【解答】解：由題意當x=﹣2時，無論a為何值，總有y=﹣1即點A的坐標為（﹣2，﹣1），又點A在直線mx+ny+1=0上，所以﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，故4m+2n=2（2m+n）=2故選C【點評】本題為對數函數過定點的問題，準確找到定點是解決問題的關鍵，屬基礎題．9.已知i是虛數單位，則復數的值為A．i

B.－i

C.1

D．－1參考答案：A10.曲線的極坐標方程化為直角坐標為（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果直線AB與平面相交于B，且與內過點B的三條直線BC,BD,BE所成的角相同，則直線AB與CD所成的角=_________.參考答案：

12.某公司一年購買某種貨物噸，每次都購買噸，運費為萬元/次，一年的總存儲費用為萬元，若要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次需購買

噸．參考答案：3013.展開式中常數項為

參考答案：14.已知角α的終邊上一點的坐標為（﹣sin25°，cos25°），則角α的最小正值為．參考答案：115°【考點】G9：任意角的三角函數的定義．【分析】利用任意角的三角函數的定義，誘導公式，求得角α的最小正值．【解答】解：∵角α的終邊上一點的坐標為（﹣sin25°，cos25°），為第二象限角，且tanα==﹣cot25°=﹣tan65°=tan=tan115°，則角α的最小正值為115°，故答案為：115°．15.焦點在x軸上，短軸長等于16，離心率等于的橢圓的標準方程為________．參考答案：【分析】由短軸長等于16可得，聯立離心率及即可求得，問題得解。【詳解】由題可得：，解得：又，解得：所以所求橢圓的標準方程為.【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質，考查計算能力，屬于基礎題。16.若圓x2+y2=4與圓x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，則實數m=．參考答案：±3考點：圓與圓的位置關系及其判定．專題：直線與圓．分析：先求出圓的圓心和半徑，根據兩圓相外切，可得圓心距等于半徑之和，求得m的值．解答：解：圓x2+y2=4的圓心為（0，0）、半徑為2；圓x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圓心為（m，0）、半徑等于1的圓．根據兩圓相外切，可得圓心距等于半徑之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案為：±3．點評：本題主要考查圓的標準方程，兩個圓相外切的性質，屬于基礎題．17.若命題“是真命題”，則實數a的取值范圍是

。參考答案：或若命題為真，則對應方程有解，即，解得或。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，、是單位圓上的動點，是單位圓與軸的正半軸的交點，且，記，，的面積為.（Ⅰ）若，試求的最大值以及此時的值.（Ⅱ）當點坐標為時，求的值.參考答案：【解】（Ⅰ）………………2分則，…………4分，故時，…6分（Ⅱ）依題由余弦定理得：…略19.已知函數．（I）求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；（II）設F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是單調遞增函數，求a的取值范圍．參考答案：考點：利用導數求閉區間上函數的最值；函數的單調性與導數的關系．專題：綜合題；導數的綜合應用．分析：（I）由函數，知f（x）的定義域為（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，由此利用導數性質能求出當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值．（II）由F（x）是單調遞增函數，知f′（x）＞0恒成立，所以（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．再由分類討論思想能求出a的取值范圍．解答： 解：（I）∵函數，∴f（x）的定義域為（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，又∵f′（x）=，∴，解得t=3．∴=，∴當2＜x＜4時，f′（x）＜0；當x＞4時，f′（x）＞0．∴f（x）在（2，4）上是減函數，在（4，+∞）上是增函數，∴f（x）在[3，7]上的最大值在應在端點處取得．∵f（3）﹣f（7）=（3ln5﹣ln1）﹣（3ln9﹣ln5）=（ln625﹣ln729）＜0，∴f（3）＜（7），故當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值．（II）∵F（x）是單調遞增函數，∴f′（x）＞0恒成立．又∵=，在f（x）的定義域（2，+∞）上，（x﹣1）（x2﹣4）＞0恒成立，∴（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．下面分類討論（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況：當a﹣1＜0時，不可能有（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立；當a﹣1=0時，（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）=5x﹣5＞0在（2，+∞）恒成立；當a﹣1＞0時，又有兩種情況：①52+16（a﹣1）（a+1）＜0；②，且（a﹣1）x2+5×2﹣4（a+1）＞0．由①得16a2+9＜0，無解；由②得a＞﹣，∵a﹣1＞0，∴a＞1．綜上所述，當a≥1時，（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．∴a的取值范圍是[1，+∞）．點評：本題考查函數的最大值的求法及應用，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．20.如圖，AB為圓O的直徑，CB是圓O的切線，弦AD∥OC．（Ⅰ）證明：CD是圓O的切線；（Ⅱ）AD與BC的延長線相交于點E，若DE=3OA，求∠AEB的大小．參考答案：【考點】與圓有關的比例線段；圓的切線的判定定理的證明．【專題】選作題；推理和證明．【分析】（Ⅰ）連接OD，由弦AD∥OC，易證得∠COB=∠COD，繼而證得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC與⊙O相切于點B，可得∠ODC=90°，即可證得CD是⊙O的切線．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB的大小．【解答】（Ⅰ）證明：連接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC與⊙O相切于點B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（Ⅱ）解：設OA=1，AD=x，則AB=2，AE=x+3，由AB2=AD?AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【點評】此題考查了切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及射影定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．21.已知數列{an}中，a1=1，且點（an，an+1）在函數y=x+1的圖象上（n∈N*），數列{bn}是各項都為正數的等比數列，且b2=2，b4=8．（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）若數列{cn}滿足cn=（﹣1）nan+bn，記數列{cn}的前n項和為Tn，求T100的值．參考答案：考點：數列的求和；數列遞推式．專題：等差數列與等比數列．分析：（I）由于點（an，an+1）在函數y=x+1的圖象上（n∈N*），可得an+1=an+1，利用等差數列的通項公式即可得出．數列{bn}為等比數列，設公比為q，由于b2=2，b4=8，可得b4=b1q3=8，b1q=2．解出即可．（II）數列{cn}滿足cn=（﹣1）nan+bn=（﹣1）nn+2n﹣1，可得T100=（﹣1+2﹣3+4+…+100）+（1+2+22+…+299），利用分組求和與等比數列的前n項和公式即可得出．解答：解：（I）∵點（an，an+1）在函數y=x+1的圖象上（n∈N*），∴an+1=an+1，即an+1﹣an=1，∴數列{an}是以1為首項，1為公差的等差數列．故數列{an}的通項公式為an=n．數列{bn}為等比數列，設公比為q，∵b2=2，b4=8，∴b4=b1q3=8，b1q=2．bn＞0，∴b1=1，q=2．∴bn=2n﹣1（n∈N*）．（Ⅱ）∵數列{cn}滿足cn=（﹣1）nan+bn=（﹣1）nn+2n﹣1，∴T100=（﹣1+2﹣3+4+…+100）+（1+2+22+…+299）=50+=50+2100﹣1=22100+49．點評：本題考查了“分組求和”方法、等差數列與等比數列的通項公式與前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.（本小題滿分12分）已知數列的前n項和為，且．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令，數列的前n項和為，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍．參考答案：解析：（Ⅰ）當時，，解得；當時，，∴，故數列是以為首項，2為公比的等比數列，故．·····························································································4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴·······················5分令，則，兩式相減得∴，·····················