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牛頓迭代法–非線性方程2016/2017學年

第一學期（16周）牛頓迭代法–非線性方程2016/2017學年牛頓給出一種求解方法：在根附近任取一個點，

曲線與在該點處的切線，該切線與軸線交點取作

第二點，依次循環設方程有根，且，如圖所示牛頓迭代法幾何含義x*x0x1x2xky=g(x)牛頓給出一種求解方法：在根附近任取一個點，牛頓迭代法幾何牛頓迭代法幾何含義x*x0x1x2xky=g(x)牛頓迭代法幾何含義x*x0x1x2xky=g(x)牛頓迭代法定義：從幾何上看，越來越接近

。由此，不難歸納出一般迭代公式以上方法稱作牛頓迭代法（也稱切線法）定理：設是方程的一個單根，且，

則，牛頓迭代法以2

階速度收斂于方程根。牛頓迭代法定義：從幾何上看，越來越接近。由此證明：事實上，迭代函數，且

當時，由迭代定理可知，牛頓迭代

法以

2階速度收斂于。牛頓迭代法證明：事實上，迭代函數，且例：證明以上公式，對于初值整體收

收斂于，且收斂速度是2

階的。牛頓迭代法定義：對于給定正數a，應用牛頓迭代法解二次方程，可求的計算公式例：證明以上公式，對于初值整體收牛頓牛頓迭代法證明：從牛頓迭代法可得

牛頓迭代法證明：從牛頓迭代法可得牛頓迭代法證明：反復遞推可得

牛頓迭代法證明：反復遞推可得牛頓迭代法證明：

牛頓迭代法證明：例題例：給出計算的牛頓迭代公式，并計算。例題例：給出計算的牛頓迭代公式，并計算。例題解：設方程，則，代入牛頓迭代公式可得

當a=3

時，迭代公式為

取，代入牛頓迭代公式，計算結果如表

所示。例題解：設方程，則例題例：設a>0

，推導用牛頓迭代法計算1/a

的公式，要求在迭代公式中不用除法進行運算，并

計算1/6。例題例：設a>0，推導用牛頓迭代法計算1/a的例題解：設方程，則，代入牛頓迭代公式可得

當a=6

時，牛頓迭代公式為

取，代入牛頓迭代公式，計算結果如表

所示。例題解：設方程，則例題例：用牛頓迭代法計算1/1.2345。例題例：用牛頓迭代法計算1/1.2345。例題解：將轉化為，代入牛頓迭代公式可得

取，代入牛頓迭代公式，計算結果如表

所示。例題解：將轉化為例題例：設用牛頓迭代法求方程，在節點附近的根，要求精度。例題例：設用牛頓迭代法求方程，在ENDEND例題解：由

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