第第頁第二十四章圓綜合能力提升訓練題（含解析）中小學教育資源及組卷應用平臺

第24章《圓》全章綜合能力提升訓練

一、選擇題

1.如圖，點A，B，C在上，若，則的度數為（）

A.B.C.D.

2．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，則S陰影=（）

A．2πB．πC．πD．π

3.如圖，內接于，AD是的直徑，若，則的度數是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

4.如圖，在邊長為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（）

A.9B.6C.3D.12

5．如圖，正方形ABCD內接于半徑為2的⊙O，則圖中陰影部分的面積為（）

A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2

6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC=2，∠BAC=30°，則劣弧的長等于（）

A．B．C．D．

7．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=10，==，點E是點D關于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結論：①∠BOE=60°；②∠CED=∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結論中正確的個數是（）

A．1B．2C．3D．4

8．如圖，圓弧形橋拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，則拱橋的半徑為（）

A．6.5米B．9米C．13米D．15米

二、填空題

1．小明很喜歡專研問題，一次數學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量的弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為cm．

2.三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是，則A點的坐標是__________．

3.如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙于點A，長邊與⊙相切于點B，角尺的直角頂點為C，已知，則⊙的半徑為_____．

4.如圖，的半徑為，為的弦，點為上的一點，將沿弦翻折，使點與圓心重合，則陰影部分的面積為_______．（結果保留與根號）

5．如圖，在ABCD中，AD＝12，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，連接OC．若OC＝AB，則ABCD的周長為．

6．如圖，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，則圖中陰影部分的面積是．（結果保留π）

7.工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm,測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為mm

8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cmcm以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積

為cm2．

三、解答題

1.如圖，四邊形內接于，為的直徑，．

（1）試判斷的形狀，并給出證明；

（2）若，，求的長度．

2.如圖，△ABC內接于⊙O，交⊙O于點D，交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．

（1）求證：AC＝AF；

（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結果保留π）．

3．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過點C作⊙O的切線DE交AB的延長線于點E，過點A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交于點F，設∠DAC，∠CEA的度數分別是α，β．

（1）用含α的代數式表示β，并直接寫出α的取值范圍；

（2）連接OF與AC交于點O′，當點O′是AC的中點時，求α，β的值．

4.如圖，內接于，是的直徑，，于點，交于點，交于點，，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）判斷的形狀，并說明理由；

（3）當時，求的長．

解析卷

一、選擇題

1.如圖，點A，B，C在上，若，則的度數為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】直接根據圓周角定理即可得．

∵，

∴由圓周角定理得：，

故選：D．

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題關鍵．

2．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，則S陰影=（）

A．2πB．πC．πD．π

【答案】B

【解析】根據垂徑定理求得CE=ED=2，然后由圓周角定理知∠DOE=60°，然后通過解直角三角形求得線段OD、OE的長度，最后將相關線段的長度代入S陰影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．

如圖，假設線段CD、AB交于點E，

∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴CE=ED=2，

又∵∠BCD=30°，

∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，

∴OE=DEcot60°=2×=2，OD=2OE=4，

∴S陰影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BECE=﹣2+2=．

故選B．

【點評】考查了垂徑定理、扇形面積的計算，通過解直角三角形得到相關線段的長度是解答本題的關鍵．

3.如圖，內接于，AD是的直徑，若，則的度數是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【解析】首先連接CD，由AD是的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可求得，又由圓周角定理，可得，再用三角形內角和定理求得答案．

連接CD，

∵AD是的直徑，

∴．

∵，

∴．

故選：C．

【點睛】本題考查了圓周角定理、三角形的內角和定理．熟練掌握圓周角定理是解此題的關鍵．

4.如圖，在邊長為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（）

A.9B.6C.3D.12

【答案】A

【解析】設AC與半圓交于點E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，證明BE=CE，得到弓形BE的面積=弓形CE的面積，則．

【詳解】設AC與半圓交于點E，半圓的圓心為O，連接BE，OE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠OCE=45°，

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCE=45°，

∴∠EOC=90°，

∴OE垂直平分BC，

∴BE=CE，

∴弓形BE面積=弓形CE的面積，

∴，

故選A．

【點睛】本題主要考查了求不規則圖形的面積，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，圓的性質，熟知相關知識是解題的關鍵．

5．如圖，正方形ABCD內接于半徑為2的⊙O，則圖中陰影部分的面積為（）

A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2

【答案】D

【解析】根據對稱性可知陰影部分的面積等于圓的面積減去正方形的，求出圓內接正方形的邊長，即可求解．

【解答】連接AO，DO，

∵ABCD是正方形，

∴∠AOD=90°，

AD==2，

圓內接正方形的邊長為2，所以陰影部分的面積=[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm2．

故選D．

【點評】本題考查正多邊形與圓、正方形的性質、圓的面積公式、扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是利用對稱性可知陰影部分的面積等于圓的面積減去正方形的，也可以用扇形的面積減去三角形的面積計算，屬于中考?？碱}型．

6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC=2，∠BAC=30°，則劣弧的長等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】連接OB、OC，利用圓周角定理求得∠BOC=60°，屬于利用弧長公式l=來計算劣弧的長．

如圖，連接OB、OC，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=2∠BAC=60°，

又OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BC=OB=OC=2，

∴劣弧的長為：=．

故選：A．

【點評】本題考查了圓周角定理，弧長的計算以及等邊三角形的判定與性質．根據圓周角定理得到∠BOC=60°是解題的關鍵所在．

7．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=10，==，點E是點D關于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結論：①∠BOE=60°；②∠CED=∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結論中正確的個數是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】根據==和點E是點D關于AB的對稱點，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判斷①②；根據圓周角定理求出當M和A重合時∠MDE=60°

即可判斷③；求出M點的位置，根據圓周角定理得出此時DF是直徑，即可求出DF長，即可判斷④．

【解答】∵==，點E是點D關于AB的對稱點，

∴=，

∴∠DOB=∠BOE=∠COD==60°，∴①正確；

∠CED=∠COD==30°=，∴②正確；

∵的度數是60°，

∴的度數是120°，

∴只有當M和A重合時，∠MDE=60°，

∵∠CED=30°，

∴只有M和A重合時，DM⊥CE，∴③錯誤；

做C關于AB的對稱點F，連接CF，交AB于N，連接DF交AB于M，此時CM+DM的值最短，等于DF長，

連接CD，

∵===，并且弧的度數都是60°，

∴∠D==60°，∠CFD==30°，

∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴DF是⊙O的直徑，

即DF=AB=10，

∴CM+DM的最小值是10，∴④正確；

故選C．

【點評】本題考查了圓周角定理，軸對稱﹣最短問題等知識點，能靈活運用圓周角定理求出各個角的度數和求出M的位置是解此題的關鍵．

8．如圖，圓弧形橋拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，則拱橋的半徑為（）

A．6.5米B．9米C．13米D．15米

【答案】A

【解析】根據垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設圓心是O

連接OA．根據垂徑定理，得AD＝6

設圓的半徑是r，根據勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5

二、填空題

1．小明很喜歡專研問題，一次數學楊老師拿來一個殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量的弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為cm．

【答案】4

【解析】先根據垂徑定理的推論得到CD過圓心，AD＝BD＝3.2cm，設圓心為O，連接OA，如圖，設⊙O的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣1.6）cm，利用勾股定理得到（R﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．

∵C點的中點，CD⊥AB，

∴CD過圓心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），

設圓心為O，連接OA，如圖，

設⊙O的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣1.6）cm，

在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），

所以圓形瓦片所在圓的半徑為4cm．故答案為4．

2.三個能夠重合的正六邊形的位置如圖．已知B點的坐標是，則A點的坐標是__________．

【答案】

【解析】如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點E，過A作軸于N，連接AO，BO，證明△BOE、△AON全等，可得三點共線，可得關于O對稱，從而可得答案．

【詳解】解：如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點E，過A作軸于N，連接AO，BO，

所以三個正六邊形，O為原點，

BM=MO=OH=AH,∠BMO=OHA=120°，

△BMO≌△OHA

OB=OA

∠MOE=90°-60°=30°，

∠MOB=（180°-120°）/2=30°，

所以∠BOE=60°，

明顯能得出∠HOA=30°，

所以∠AOB=∠HOA+∠HOE+∠EOB=30°+90°+60°=180°

三點共線，關于O對稱，

已知B點的坐標是，

故答案為：

【點睛】本題考查的是坐標與圖形的性質，全等三角形的判定與性質，關于原點成中心對稱的兩個點的坐標特點，正多邊形的性質，熟練的應用正多邊形的性質解題是解本題的關鍵．

3.如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙于點A，長邊與⊙相切于點B，角尺的直角頂點為C，已知，則⊙的半徑為_____．

【答案】

【解析】設圓的半徑為rcm，連接OB、OA，過點A作AD⊥OB，垂足為D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r6）2＋82，求出r即可．

連接OB、OA，過點A作AD⊥OB，垂足為D，如圖所示：

∵CB與相切于點B，

∴，

∴，

∴四邊形ACBD為矩形，

∴，，

設圓的半徑為rcm，在Rt△AOD中，根據勾股定理可得：，

即r2＝（r6）2＋82，

解得：，

即的半徑為．

故答案為：．

【點睛】本題主要考查了切線的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，作出輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理列出關于半徑r的方程，是解題的關鍵．

4.如圖，的半徑為，為的弦，點為上的一點，將沿弦翻折，使點與圓心重合，則陰影部分的面積為_______．（結果保留與根號）

【答案】

【解析】根據折疊的性質得出是等邊三角形，則，，根據陰影部分面積即可求解．

如圖所示，連接，設交于點

∵將沿弦翻折，使點與圓心重合，

∴，

又

∴，

∴是等邊三角形，

∴，，

∴,

∴陰影部分面積

故答案為：．

5．如圖，在ABCD中，AD＝12，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，連接OC．若OC＝AB，則ABCD的周長為．

【答案】24+6．

【解析】連接OE，過點C作CF⊥AD交AD于點F，利用平行四邊形的性質和切線的性質證明四邊形OECF為矩形，利用勾股定理求得OC，進而求得平行四邊形的周長．

解：連接OE，過點C作CF⊥AD交AD于點F，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，

∴∠EOD+∠OEC＝180°，

∵⊙O與BC相切于點E，

∴OE⊥BC，

∴∠OEC＝90°

∴∠EOD＝90°，

∵CF⊥AD，

∴∠CFO＝90°，

∴四邊形OECF為矩形，

∴FC＝OE，

∵AD為直徑，AD＝12，

∴FC＝OE＝OD＝AD＝6，

∵OC＝AB，CF⊥AD，

∴OF＝OD＝3，

在Rt△OFC中，由勾股定理得，

OC2＝OF2+FC2＝32+62＝45，

∴AB＝OC＝3，

∴ABCD的周長為12+12+3+3＝24+6，

故答案為：24+6．

6．如圖，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，則圖中陰影部分的面積是．（結果保留π）

【答案】π﹣．

【解析】由∠C＝45°根據圓周角定理得出∠AOB＝90°，根據S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出結論．

∵∠C＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB

＝

＝π﹣．

7.工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm,測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為mm

【答案】8

【解析】設圓心為O，連接AO,作出過點O的弓形高CD，垂足為D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理進行計算，AD=4mm，所以AB=8mm.

8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cmcm以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積

為cm2．

【答案】(6﹣﹣π)．

【解析】連接BE．首先證明∠EBC＝30°，根據S陰＝S矩形ABCD﹣S△EBC﹣S扇形AEB計算即可．

如圖，連接BE．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝cm，CD∥AB，

在Rt△BCE中，

∵AE＝BE＝2cm，BC＝，

∴EC＝＝6cm，

∴∠EBC＝30°，

∴∠ABE＝∠BEC＝60°,

∴S陰＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB,

＝2﹣×1×﹣8,

＝(2﹣﹣π)cm．

故答案為:(6﹣﹣π)．

三、解答題

1.如圖，四邊形內接于，為的直徑，．

（1）試判斷的形狀，并給出證明；

（2）若，，求的長度．

【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；（2）；

【解析】【分析】（1）根據圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；

（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；

【詳解】(1)證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，

∴∠ACB=∠CAB，

∴△ABC是等腰直角三角形；

(2)解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BC=AB=，

∴AC=，

Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，

∴CD=．

【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識；掌握等弧對等角是解題關鍵．

2.如圖，△ABC內接于⊙O，交⊙O于點D，交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．

（1）求證：AC＝AF；

（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結果保留π）．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【分析】（1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，得∠B＝∠D，再證明即可得到結論；

（2）連接OA，OC,根據等腰三角形的性質求出，由圓周角定理可得最后由弧長公式可求出結論．

【詳解】(1)∵，，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴∠B＝∠D．

又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，

∴，

∴AC＝AF．

(2)連接AO，CO．

由（1）得∠AFC＝∠ACF，

又∵∠CAF＝30°，

∴，

∴．

∴的長．

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，圓周角定理、等腰三角形的性質、弧長公式等知識，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．

3．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過點C作⊙O的切線DE交AB的延長線于點E，過點A作切線DE的垂線，垂足為D，且與⊙O交于點F，設∠DAC，∠CEA的度數分別是α，β．

（1）用含α的代數式表示β，并直接寫出α的取值范圍；

（2）連接OF與AC交于點O′，當點O′是AC的中點時，求α，β的值．

【答案】見解析

【解析】（1）首先證明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根據兩銳角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；

（2）連接OF交AC于O′，連接CF．只要證明四邊形AFCO是菱形，推