四川省樂山市沐川實驗中學高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 巳知角a的終邊與單位圓交于點，則sin2a的值為(

)A.

B.－

C.－

D.參考答案：C2.在中，，如果不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.下列四個命題，其中正確命題的個數（）①若a＞|b|，則a2＞b2②若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d

③若a＞b，c＞d，則ac＞bd

④若a＞b＞o，則＞．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】直接由不等式的可乘積性判斷①；舉例說明②③④錯誤．【解答】解：①若a＞|b|，則a2＞b2，①正確；②若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d錯誤，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；

③若a＞b，c＞d，則ac＞bd錯誤，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；

④若a＞b＞o，則，當c＞0時，＜，④錯誤．∴正確命題的個數只有1個．故選：C．4.《九章算術》是我國古代一部重要的數學著作，書中有如下問題：“今有良馬與駑馬發長安，至齊．齊去長安三千里，良馬初日行一百九十三里，日增一十三里，駕馬初日行九十七里，日減半里．良馬先至齊，復還迎駑馬．何日相逢，”其大意為：“現在有良馬和駑馬同時從長安出發到齊去，已知長安和齊的距離是3000里，良馬第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良馬到齊后，立刻返回去迎駑馬，多少天后兩馬相遇．”現有三種說法：①駑馬第九日走了93里路；②良馬四日共走了930里路；③行駛5天后，良馬和駑馬相距615里．那么，這3個說法里正確的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【分析】據題意，良馬走的路程可以看成一個首項a1=193，公差d1=13的等差數列，記其前n項和為Sn，駑馬走的路程可以看成一個首項b1=97，公差為d2=﹣0.5的等差數列，記其前n項和為Tn，由等差數列的通項公式以及其前n項和公式分析三個說法的正誤，即可得答案．【解答】解：根據題意，良馬走的路程可以看成一個首項a1=193，公差d1=13的等差數列，記其前n項和為Sn，駑馬走的路程可以看成一個首項b1=97，公差為d2=﹣0.5的等差數列，記其前n項和為Tn，依次分析3個說法：對于①、b9=b1+（9﹣1）×d2=93，故①正確；對于②、S4=4a1+×d1=4×193+6×13=850；故②錯；對于；③S5=5a1+10×d1=5×193+10×13=1095，T5=5b1+10d2=580，行駛5天后，良馬和駑馬相距615里，正確；故選：C5.閱讀如圖的程序框圖，若運行相應的程序，則輸出的的值是

（）A．102

B．

C．81

D．39參考答案：A略6.“牟合方蓋”是我國古代數學家劉徽在探求球體體積時構造的一個封閉幾何體，它由兩個等徑正貫的圓柱體的側面圍成，其直視圖如圖（其中四邊形是為體現直觀性而作的輔助線）.當“牟合方蓋”的正視圖和側視圖完全相同時，其俯視圖為（

）A.

B. C. D.參考答案：B∵相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．∴其正視圖和側視圖是一個圓，俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側面上，∴俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，故選：B．

7.已知關于x的不等式在上恒成立，則實數m的取值范圍為（

）A．[3,+∞)

B．(3,+∞)

C.[2,+∞)

D．(2,+∞)參考答案：C8.某一考點有個試室，試室編號為，現根據試室號，采用系統抽樣的方法，抽取個試室進行監控抽查，已抽看了試室號，則下列可能被抽到的試室號是A．

B．

C．

D．參考答案：C9.向量，則“x=2”是“"的A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A略10.對變量

有觀測數據（，）（），得散點圖1；對變量有觀測數據（，）（i=1,2,…，10）,得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷。（A）變量x與y正相關，u與v正相關

（B）變量x與y正相關，u與v負相關（C）變量x與y負相關，u與v正相關

（D）變量x與y負相關，u與v負相關

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x1，x2是函數f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]內的兩個零點，則sin（x1+x2）=．參考答案：

【考點】函數零點的判定定理．【分析】由題意可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，運用和差化積公式和同角的基本關系式，計算即可得到所求值．【解答】解：x1，x2是函數f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]內的兩個零點，可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即為2（sin2x1﹣sin2x2）=﹣cos2x1+cos2x2，即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）=﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案為：．12.在△ABC中，若，，，則_____；_____．參考答案：

略13.在四面體ABCD中，且，當四面體ABCD的體積最大時，其外接球的表面積為______參考答案：34π【分析】利用勾股定理得出△ABC是直角三角形，且AC為斜邊，可知CD⊥平面ABC時四面體ABCD的體積取最大值，再求出外接球的半徑R，利用球的表面積公式得答案．【詳解】∵，由勾股定理可得，∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，當CD⊥平面ABC時，四面體ABCD的體積取最大值，此時，其外接球的直徑為，∴外接球的半徑為，因此，四面體ABCD的外接球的表面積為．故答案為：34π．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的計算，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．14.設抽測的樹木的底部周長均在區間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的60株樹木中,有

▲

株樹木的底部周長小于100cm.參考答案：【考點】頻率分布直方圖．15.觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數字為

.參考答案：312516.若存在正實數y，使得=，則實數x的最大值為．參考答案：【考點】有理數指數冪的化簡求值．【分析】得到關于y的方程，4xy2+（5x2﹣1）y+x=0，根據△≥0，求出x的最大值即可．【解答】解：∵=，∴4xy2+（5x2﹣1）y+x=0，∴y1?y2=＞0，∴y1+y2=﹣≥0，∴，或，∴0＜x≤或x≤﹣①，△=（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，解得：﹣1≤x≤②，綜上x的最大值是，故答案為：．17.函數的圖象如右圖所示，則的表達式是

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且+=．（1）證明：a，c，b成等比數列；（2）若△ABC的外接圓半徑為，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周長．參考答案：【考點】正弦定理；等比數列的通項公式．【分析】（1）+=，由余弦定理可得：+=，化簡即可證明．（2）4sin（C﹣）cosC=1，C為銳角，利用積化和差可得：=1，C∈（0，），∈．解得C=．利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．【解答】（1）證明：∵+=，由余弦定理可得：+=，化為c2=ab，∴a，c，b成等比數列．（2）解：4sin（C﹣）cosC=1，∴C為銳角，2=1，化為：=1，C∈（0，），∈．∴2C﹣=，解得C=．∴a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，∴（a﹣b）2=0，解得a=b．∴△ABC的周長=3a==9．【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、積化和差，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.已知Sn為各項均為正數的數列{an}的前n項和，a1∈（0，2），an2+3an+2=6Sn．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=，數列{bn}的前n項和為Tn，若對?n∈N*，t≤4Tn恒成立，求實數t的最大值．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（1）把n=1代入an2+3an+2=6Sn求得首項a1=1．結合已知條件an2+3an+2=6Sn得到：（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0．由此求得公差d=3，根據等差數列的通項公式推知an=3n﹣2．（2）利用裂項求和求得Tn，然后根據不等式t≤4Tn實數t的最大值．【解答】解：（1）當n=1時，由，得，即．又a1∈（0，2），解得a1=1．由，可知．兩式相減，得，即（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0．由于an＞0，可得an+1﹣an﹣3=0，即an+1﹣an=3，所以{an}是首項為1，公差為3的等差數列．所以an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）由an=3n﹣2，可得=．因為，所以Tn+1＞Tn，所以數列{Tn}是遞增數列．所以，所以實數t的最大值是1．20.（12分）

設點A、B是直線與拋物線的兩個交點，拋物線上的動點M在A、B兩點間移動，如圖所示。

（1）試求M的坐標，使得△MAB的面積最大；

（2）試證明：拋物線上平行于AB的弦恒被一條定直線平分。

參考答案：解析：（1）設點M的坐標為,由于線段AB的長是定值,所以只要點M到直線AB的距離最大即可.平行移動AB到與拋物線相切的位置時,切點到直線AB的距離最大.因為,,于是代入中得,因此當點M的坐標為時,使得△MAB的面積最大.

……………6分（2）設拋物線平行于直線AB的弦的方程為弦的兩個端點為、，則所以即.若設弦的中點為,則x=－1,即弦的中點的軌跡方程為x=－1,因此拋物線上平行于AB的弦恒被一條直線平分

.....12分21.(本小題滿分12分)在△ABC中，三個內角是的對邊分別是，其中，且

（1）求證：是直角三角形；

（2）設圓過三點，點P位于劣弧AC上，，求四邊形的面積.參考答案：【知識點】解三角形

C8（1）略：（2）.（1）證明：根據正弦定理得，整理為：因為所以所以，或者

3分由于所以所以故是直角三角形。

5分（2）由（1）可得：在中，

8分連結，在中，.

10分【思路點撥】根據正弦定理得，即，根據三角形內角的特點可得，或者，由于所以所以即證得三角形為直角三角形；由（1）可得：在中而利用兩角差的正弦展開式可得的值，再有可求得結果.22.已知：，為常數）若，求的最小正周期；若在上的最大值與最小值之和為3，求的值．參考答案：（1）；（2）試題分析：（1）利用兩角和正弦公式