分步計數原理分類計數原理分步計數原理

一學生從外面進入教室有多少種走法？若進來再出去，有多少走法？引入課題一學生從外面進入教室有多少種走法？若進來再出去，有多少

要回答上述問題，就要用到計數原理的知識．它是一個重要的數學方法，粗略地說，計數原理就是研究按某一規則完成一種事時，一共有多少種不同的做法．

在運用計數原理經常要用到分類加法計數原理與分步乘法計數原理。2010年6月11日——7月10日在南非舉行的第19屆世界杯足球賽共有32個隊參賽．它們先分成8個小組進行循環賽，決出16強，這16個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名．問一共安排了多少場比賽？2010年6月11日——7月10日在南非舉行的第19屆世界問題1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？問題2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？問題1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編分類加法計數原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到A、B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：A大學B大學生物學化學醫學物理學工程學數學會計學信息技術學法學如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇呢？變式：若還有C大學，其中強項專業為：新聞學、金融學、人力資源學.那么，這名同學可能的專業選擇共有多少種？例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到A、B兩所大學分類加法計數原理如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應當如何計數呢？

一般歸納：完成一件事情有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法……在第n類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn

種不同的方法分類加法計數原理如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都例2、在例1中，如果數學也是A大學的強項專業，則A大學共有6個專業可以選擇，B大學共有4個專業可以選擇，那么用分類加法計數原理，得到這名同學可能的專業選擇共有6+4=10種這種算法有什么問題？在分類加法計數原理中，各類方案中的方法不能出現相同的。例2、在例1中，如果數學也是A大學的強項專業，則A大學共有6

問題1：從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地．一天中，火車有3班，汽車有2班．那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法

？

這個問題與前一個問題不同．在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而在這個問題中，必須經過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地．

這里，因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有：3×2＝6種不同的走法．

思考？問題1：從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地

問題2：用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯數字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？問題2：用前6個大寫英文字母和1～9九個阿拉伯數字，以A1分步乘法計數原理

完成一件事需要分二個步驟，在第1步中有m種不同的方法，在第2步中有n種不同的方法.那么完成這件事共有

種不同的方法.例3：設某班有男生30名，女生24名.現要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分步乘法計數原理完成一件事需要分二個步驟，在第1步中有m種探究：如果完成一件事情需要n個步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應當如何計數呢？一般歸納

完成一件事，需要分成n個步驟。做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法探究：如果完成一件事情需要n個步驟，做每一步中都有若干種不同例4：某區的部分電話號碼是8776××××,后面每個數字來自0～9這10個數,問可以產生多少個不同的電話號碼?例4：某區的部分電話號碼是8776××××,后面每個數字來自1、

由數字l，2，3，4，5可以組成多少個數字允許重復三位數？解：要組成一個三位數可以分成三個步驟完成：第一步確定百位上的數字，從5個數字中任選一個數字，共有5種選法；第二步確定十位上的數字，由于數字允許重復，這仍有5種選法，第三步確定個位上的數字，同理，它也有5種選法．根據乘法原理，得到可以組成的三位數的個數是

N=5X5X5=125．

答：可以組成125個三位數．練習1、由數字l，2，3，4，5可以組成多少個數字允許重復三

(1)由數字l，2，3，4，5可以組成多少個數字不允許重復三位數？

(2)由數字0，l，2，3，4，5可以組成多少個數字不允許重復三位數？變式：

(1)由數字l，2，3，4，5可以組成多少個數字不

2、如圖,要給下面A、B、C、D四個區域分別涂上5種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ＡＢＣＤＡＢＣＤ3、4張卡片的正、反面分別有0與1，2與3，4與5，6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成多少個不同的位數？解：分三個步驟：第一步：首位可放8－1=7個數；第二步：十位可放6個數；第三步：個位可放4個數.根據分步計數原理，可以組成N=7×6×4=168個數.3、4張卡片的正、反面分別有0與1，2與3，4與5，6與7，1、分類加法計數原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法,在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.2、分步乘法計數原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.分類加法計數原理和分步乘法計數原理的共同點：不同點：分類加法計數原理與分類有關，分步乘法計數原理與分步有關。回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題1、分類加法計數原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中完成一件事，共有n類辦法，關鍵詞“分類”區別1完成一件事，共分n個步驟，關鍵詞“分步”區別2區別3每類辦法都能獨立地完成這件事情，它是獨立的、一次的、且每次得到的是最后結果，只須一種方法就可完成這件事。每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事。各類辦法是互相獨立的。各步之間是互相關聯的。即：類類獨立，步步關聯。完成一件事，共有n類辦法，關鍵詞“分類”區別1完成一件事，共例4、書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?（3）從書架上任取2種不同類型的書各1本，有多少種不同的取法？

注意：有些較復雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結合起來運用．一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應用分類計數原理和分步計數原理．例4、書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本例5、要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？例5、要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左右兩邊例6.(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展開式中有________項.解析

要得到項數分三步：第一步，從第一個因式中取一個因子，有兩種取法；第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法.由分步乘法計數原理知，共有2×3×4＝24(項).例6.(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋例7.由0,1,2,3，4,5這五個數字，可組成多少個：(1)無重復數字的三位數？其中能被5整除共有幾個？(2)可以有重復數字的三位數？跟蹤訓練

1

用0,1，…，9這十個數字，可以組成多少個：(1)三位整數？(2)無重復數字的三位整數？(3)小于500的無重復數字的三位整數？例7.由0,1,2,3，4,5這五個數字，可組成多少個：跟蹤

鞏固練習

1.填空：①一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第1種方法完成，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數是

.②從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經B村去C村，不同的路線有

條.2.現有高中一年級的學生3名，高中二年級的學生5名，高中三年級的學生4名.①從中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？②從3個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？鞏固練習1.填空：3.從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.4.甲、乙、丙3個班各有三好學生3，5，2名，現準備推選兩名來自不同班的三好學生去參加校三好學生代表大會，共有

種不同的推選方法.3.從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不分步計數原理分類計數原理ppt課件分步計數原理分類計數原理ppt課件分步計數原理分類計數原理ppt課件分步計數原理分類計數原理ppt課件4、四個人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己送出的賀卡，共有多少種不同的方法？

我們可排出所有的分配方案：

（1）甲取得乙卡，然后類推，按甲、乙、丙、丁各取得的賀卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；（2）甲取得丙卡，方案為：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，方案為：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分類計數原理，共有3+3+3=9種.

另外，此題也可分步解決：第一步：甲取一張，有3種取法；第二