解密12講：平面向量【考點解密】考的一．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．考點二．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb考點三.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa.考點四．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．考點五．平面向量的坐標表示(1)向量及向量的模的坐標表示①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面向量的坐標運算設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．考點六．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.考點七.向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π].考點八.平面向量的數(shù)量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積考點九.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.考點十.平面向量數(shù)量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結論符號表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【方法技巧】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．【核心題型】題型一：平面向量的基礎知識1．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學校考模擬預測）下列說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對于任意向量，必有D．若滿足且與同向，則【答案】C【分析】對于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對于C：分類討論向量的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.【詳解】依題意，對于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯誤；對于B，平行向量就是共線向量，故錯誤；對于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對于任意向量，必有，故正確；對于D，兩個向量不能比較大小，故錯誤.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量，是單位向量，且，向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量模的定義可得，進而求得，利用向量的線性運算，結合向量模的定義即可求解.【詳解】解：因為，所以，即，又，所以．所以．因為，所以．故選：A．3．（2022·河南·校聯(lián)考一模）下列關于平面向量的說法正確的是（

）A．若共線，則點A，B，C，D必在同一直線上B．若且，則C．若G為的外心，則D．若O為的垂心，則【答案】D【分析】A向量共線知向量所在直線平行或共線；B由零向量與任意向量都平行；C由向量相加不可能等于標量；D利用向量減法的幾何含義，結合垂心的性質，即可判斷各選項的正誤.【詳解】A：若共線，則A，B，C，D在同一直線上或，錯誤；B：若為零向量，由任意向量都與零向量平行知，此時不一定平行，錯誤；C：若G為的外心，有，且不可能等于標量0，錯誤；D：O為的垂心，由，又，所以，同理有，，即有，正確.故選：D.題型二：平面向量的線性運算4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）設為所在平面內一點，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】運用平面向量加法規(guī)則計算.【詳解】依題意作上圖，則；故選：D.5．（2023秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，M為線段BC的中點，G為線段AM上一點且，過點G的直線分別交直線AB、AC于P、Q兩點，，，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由可得，根據(jù)三點共線向量性質可得，再結合均值不等式即可求出結果．【詳解】由于M為線段BC的中點，則又，所以，又，所以，則因為三點共線，則，化得由當且僅當時，即時，等號成立，的最小值為1故選：B6．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，，，直線AM交BN于點Q，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把用表示，然后由三點共線可得．【詳解】由題意得，，因為Q，M，A三點共線，故，化簡整理得．故選：C．題型三：平面向量的共線定理7．（2023·全國·高三專題練習）的外心滿足，，則的面積為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】從這個條件可以考慮設的中點為，從而得到三點共線可求.【詳解】設的中點為，則可化為即為，三點共線且，為等腰三角形，由垂徑定理得，代入數(shù)據(jù)得,解之：，.故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，M，N分別是線段，上的點，且，，D，E是線段上的兩個動點，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量共線定理可設，，，，再結合得，最后運用基本不等式可求解.【詳解】設，，，，則，，，，.所以，當且僅當，時等號成立.所以的的最小值是.故選：B9．（2023·全國·高三專題練習）已知直線與圓：相交于不同兩點，，點為線段的中點，若平面上一動點滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，判斷得點在線段外，從而得是直角三角形，進而表示出，可得，由，可得的取值范圍.【詳解】因為，所以，，三點共線，且點在線段外，因為點為線段的中點，所以，即是直角三角形，所以，由數(shù)量積的定義可得：，因為，所以，即，故選:C.題型四：平面向量的基本定理10．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）在平行四邊形中，?分別在邊?上，，與相交于點，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意過點作平行于，交于點，先利用三角形相似求出，然后利用向量的線性運算即可求解.【詳解】過點作平行于，交于點，因為，則為的中點，所以且，因為，所以，由可得：，所以，因為，所以，故選：.11．（2022秋·甘肅武威·高三統(tǒng)考階段練習）如圖，在中，是的中點，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運算求得，由此求得，進而求得.【詳解】因為是的中點，所以．所以，所以，所以．故選：D12．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）如圖，在平行四邊形中，E是的中點，，與相交于O．若，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先以為基底表示，再利用向量的數(shù)量積把轉化為關于的方程，即可求得的長【詳解】在平行四邊形中，E是的中點，，與相交于O．設，則由，可得則，解之得，則則又，則，解之得，即的長為4故選：C題型五：平面向量的坐標運算13．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知點和數(shù)列滿足，若分別為數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列均是周期為6的數(shù)列，運算求解即可得結果.【詳解】由題意可得：，則，∵，則，由，則，同理，，即數(shù)列均是周期為6的數(shù)列，而，故選：D.14．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平行四邊形中，點在線段上，且（），若（，）且，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根據(jù)且即可求得的值.方法2：建立平面直角坐標系，表示出點的坐標轉化為坐標運算可求得結果.【詳解】方法1：在平行四邊形中，因為，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的應用）又∵，∴，解得，故選：B.方法2：如圖，以A為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，設，，∵則，又∵，設，則即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，將其代入①得，故選：B.15．（2022·全國·高三專題練習）已知平面向量，滿足，，點D滿足，E為的外心，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的數(shù)量積求得，以O為原點，建立平面直角坐標系，再利用向量的坐標運算可得解.【詳解】，，，，以O為原點，OA，垂直于OA所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，設又，知，解得，又E為的外心，，，為等邊三角形，，∴，∴．故選：A題型六：平面向量的數(shù)量積問題16．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在平面內一點，作，，，取的中點，計算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.【詳解】在平面內一點，作，，，則，則，因為，則，故為等腰直角三角形，則，取的中點，則，所以，，所以，，因為，所以，，則，所以，.當且僅當、同向時，等號成立，故的最大值為.故選：B.17．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）已知△ABC中，，，，在線段BD上取點E，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得到∠AEB是與的夾角，利用向量基本定理得到，，利用向量數(shù)量積公式得到，，，從而利用夾角余弦公式求出答案.【詳解】由題意知：∠AEB是與的夾角，，，，，，則．故選：D．18．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為2的等邊中，點為中線的三等分點（靠近點），點為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可推得，，，進而根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算求解即可得出結果.【詳解】由已知，，，，所以.由已知是的中點，所以，，.所以，，所以，.故選：B.題型七：平面向量的幾何應用19．（2022·福建廈門·廈門市湖濱中學校考模擬預測）已知A，B是圓上的動點，，P是圓上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得在圓上，則，數(shù)形結合即可求出的取值范圍，即可得解.【詳解】由題意可得是圓心為半徑為1的圓，是圓心為半徑為1的圓，設中點為，，由垂徑定理得，在圓上，又，由圖可知，，的范圍為.故選：C20．（2022·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）在平面內，定點滿足，，動點P，M滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到為正三角形，且為的中心，結合題設條件求得，得到為邊長為的正三角形，以為原點建立直角坐標系，設，根據(jù)，得到，進而求得，即可求解.【詳解】由題意知，即點到三點的距離相等，可得為的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以為的垂心，所以的外心與垂心重合，所以為正三角形，且為的中心，因為，解得，所以為邊長為的正三角形，如圖所示，以為原點建立直角坐標系，則，因為，可得設，其中，又因為，即為的中點，可得，所以.即的最大值為.故選：B.21．（2022·全國·高三專題練習）中，，，，PQ為內切圓的一條直徑，M為邊上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】易知是直角三角形，利用等面積法可得內切圓半徑，設內切圓圓心為，根據(jù)為直徑，可知，，整理，進而根據(jù)的運動情況來求解.【詳解】由題可知，，所以是直角三角形，，設內切圓半徑為，則，解得，設內切圓圓心為，因為是內切圓的一條直徑，所以，，則，，所以，因為M為邊上的動點，所以；當與重合時，，所以的取值范圍是，故選：C題型八：平面向量的綜合問題22．（2022·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域;(2)函數(shù)在上有10個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，結合三角恒等變換得，再根據(jù)三角函數(shù)性質求解即可；（2）由題知，再根據(jù)三角函數(shù)性質得，解不等式即可得答案.【詳解】（1）解：，所以，的值域為.（2）解：令，即，因為，所以，因為函數(shù)在上有10個零點，所以方程在上有10個實數(shù)根，所以，解得．所以，的取值范圍為.23．（2023·高三課時練習）已知點G為的重心．(1)求；(2)過G作直線與AB、AC兩條邊分別交于點M、N，設，，求的值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)已知得出與三邊所在向量的關系，即可根據(jù)向量的運算得出答案；（2）根據(jù)已知得出，結合，，根據(jù)M、N、G三點共線，結合向量運算與向量相等的定義列式整理，即可得出答案.【詳解】（1）點G為的重心，，，，，（2）點G為的重心，，，，，，，，與共線，存在實數(shù)，使得，則，根據(jù)向量相等的定義可得，消去可得，兩邊同除，整理得.24．（2022·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點M，N．(1)若Q是BC的中點，求的取值范圍；(2)若P是平面上一點，且滿足，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量的加法和數(shù)量積運算將轉化為，再由的值和的范圍可求得結果.（2）令可得點T在BC上，再將轉化為，由、的范圍可求得結果.【詳解】（1）因為直線l過中心O且與兩邊AB、CD分別交于點M、N．所以O為MN的中點，所以，所以．因為Q是BC的中點，所以，，所以，即的取值范圍為；（2）令，則，∴，即：∴∴點T在BC上，又因為O為MN的中點，所以，從而，，因為，所以，即的最小值為．【高考必刷】一、單選題25．（2023·四川·石室中學校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，則（

）A．7 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算，先求，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系是求.【詳解】由已知，得，則為銳角，所以，所以.故選：A.26．（2023·四川綿陽·綿陽中學校考模擬預測）若非零向量，滿足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對兩邊同時平方可求出，設與的夾角為，由向量的夾角公式代入即可得出答案.【詳解】因為，以，又，，所以，，設與的夾角為，則，因為，所以，即與的夾角為.故選：D.27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）已知的外接圓圓心為O，且，，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知△為直角三角形，△為等邊三角形，即可求出的值.【詳解】由知是邊中點，因為是△的外接圓圓心，所以△為直角三角形，且，因為，所以△為等邊三角形，所以，，所以，故選：C.28．（2023·全國·唐山市第十一中學校考模擬預測）如圖,在平行四邊形中,,是邊的中點,是上靠近的三等分點,若,則（

）A．4 B． C． D．8【答案】A【分析】將通過平面向量基本定理轉化到上,展開計算,再將代入即可求得.【詳解】解:由題知,所以,記,因為且為平行四邊形,所以,解得:(舍)或.故選:A29．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考開學考試）已知平面向量滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出，建立平面直角坐標系，設，求出軌跡方程，利用幾何意義即可求出的最大值.【詳解】由可知,，故，如圖建立坐標系，，，設，由可得：，所以的終點在以為圓心,1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選：D.30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模擬預測）在中，，點D在線段上，點E在線段上，且滿足，，交于點F，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，設，根據(jù)平面向量的線性運算，推出，由B，E，F(xiàn)三點共線求得λ，再將表示成以為基底的向量，由平面向量數(shù)量積的運算法則得答案．【詳解】如圖：由，得AB＝4，AC＝3，設，則三點共線，，即，則故選：C.31．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點為，離心率為，直線與C交于點M，N，且，．當取最小值時，橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線和橢圓的對稱性可得為平行四邊形,再由及向量的數(shù)量積可求,再應用基本不等式,取等條件計算即可.【詳解】因為直線與C交于點M，N，設為的中點,由為的中點,故四邊形為平行四邊形.則,由橢圓定義得設因為,所以,又因所以,,在中,，應用余弦定理所以,又因為,所以當且僅當,即時取最小值,此時,則故選:.32．（2022·吉林·東北師大附中校考模擬預測）在中，為上一點，，為線段上任一點，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．8【答案】D【分析】利用共線定理求出定值，再用基本不等式即可求解.【詳解】由題知，，所以，又因為為線段上任一點，所以，所以當且僅當時等號成立，此時，.故選：D.二、多選題33．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在中，已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】畫出三角形，應用向量線性表示，三角形法則，數(shù)量積關系逐項分析即可.【詳解】如圖所示：因為，所以，所以，故選項A正確，因為，所以所以，故C選項錯誤，由，，在，，所以，即，所以，所以，所以，即即，故選項D正確，由，所以在中，因為，所以，故B正確，故選：ABD.34．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量滿足，對任意的實數(shù)t，恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．為定值C．的最小值為 D．在上的投影向量為【答案】AD【分析】由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運算逐項進行檢驗即可求解.【詳解】設平面向量與的夾角為，因為對任意的實數(shù)t，恒成立，即恒成立，又，也即對任意的實數(shù)恒成立，所以，則，所以，故選項正確；對于，因為隨的變化而變化，故選項錯誤；對于，因為，由二次函數(shù)的性質可知：當時，取最小值，故選項錯誤；對于，向量上的一個單位向量，由向量夾角公式可得：，由投影向量的計算公式可得：在上的投影向量為，故選項正確，故選：.35．（2023春·廣東揭陽·高三校考開學考試）已知O為坐標原點，點，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐標表示與旋轉角的定義推得是正三角形，從而對選項逐一分析判斷即可.【詳解】對于A，因為，，，所以，，故是正三角形，則，故A正確；對于B，因為是正三角形，是的外心，所以是的重心，故，即，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，則，所以，故D錯誤.故選：ABC．.36．（2023·河北·河北衡水中學校考模擬預測）在中，，，，且，則（

）A．B．C．D．，，，使得【答案】ABCD【分析】根據(jù)向量共線以及三角形的面積公式可判斷A，根據(jù)不等式即可求解BCD.【詳解】設中所對的邊分別為，由，，得，，，進而得，，，,,，故A正確，由A知，，，所以，當且僅當取等號，因此，故B正確，,同理，，當且僅當時取等號,因此存在使得，故D正確，所以，故C正確,故選：ABCD三、填空題37．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知向量滿足，請寫出一個符合題意的向量的坐標______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的計算公式可得，分析、的關系，利用特殊值法可得答案.【詳解】根據(jù)題意，向量，且，則有，即，當時，，則.故答案為：（答案不唯一）38．（2023·全國·高三專題練習）在中，，點Q滿足，則的最大值為___________.【答案】##【分析】設中點為M，則，根據(jù)平面向量的線性運算可得，得當時，最大，此時是等邊三角形，求出即可求解.【詳解】設中點為M，則，，由，知P點軌跡是以為弦，圓周角為的優(yōu)弧，∴當時，最大，此時是等邊三角形，則.故答案為：.39．（2023·陜西商洛·校考三模）已知平面向量，，，其中為單位向量，若，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】建立如圖所示坐標系，不妨設，由題意，可知，記，，則，求出點的軌跡方程，由的幾何意義可得即為點的軌跡上的點到點的軌跡上的點的距離，從而可得出答案．【詳解】解：建立如圖所示坐標系，不妨設，由知，點在直線或上，由題意，可知，記，，則，由定弦所對的角為頂角可知點的軌跡是兩個關于軸對稱的圓弧，設，則，因為，即，整理得或，由對稱性不妨只考慮第一象限的情況，因為的幾何意義為：圓弧的點到直線上的點的距離，所以最小值為，故．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是建立平面直角坐標系，利用坐標法求出動點的軌跡，再結合解析幾何的知識求出向量模的取值范圍.40．（2023·全國·模擬預測）已知，，是平面向量，滿足，，，則向量在向量上的投影的數(shù)量的最小值是______.【答案】【分析】由，可得，