遼寧省沈陽市第六十七高級中學高三數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在平行四邊形中，設，，，，則（

）A． B． C． D．參考答案：A2.集合，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.有紅、藍、黃、綠四種顏色的球各6個，每種顏色的6個球分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中任取3個標號不同的球，這3個顏色互不相同且所標數字互不相鄰的取法種數為（） A．80 B． 84 C． 96 D． 104參考答案：考點： 計數原理的應用．分析： 所標數字互不相鄰的方法有4種，這3種顏色互不相同有C43A33種，根據分步計數原理，即可求出顏色互不相同且所標數字互不相鄰的取法種數．解答： 解：所標數字互不相鄰的方法有：135，136，146，246，共4種方法．這3種顏色互不相同有C43A33=4×3×2×1=24種，∴這3種顏色互不相同且所標數字互不相鄰的有4×24=96種．故選：C．點評： 本題主要考查了排列組合，以及兩個基本原理的應用，解題的關鍵是不遺漏不重復，屬于中檔題．4.曲線在點處的切線方程是

A.

B.

C.

D.

參考答案：C5.已知三邊長分別為3、4、5的的外接圓恰好是球的一個大圓，為球面上一點，若點到的三個頂點的距離相等，則三棱錐的體積為

（

） A、5 B、10 C、20 D、30參考答案：A略6.已知正四面體A-BCD中，P為AD的中點，則過點P與側面ABC和底面BCD所在平面都成60°的平面共有（注：若二面角的大小為120°，則平面與平面所成的角也為60°）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：D7.執行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=88，則判斷框內應填入的條件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4參考答案：C【考點】EF：程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸入S的值，條件框內的語句是決定是否結束循環，模擬執行程序即可得到答案．【解答】解：程序在運行過程中各變量值變化如下表：

K

S

是否繼續循環循環前1

0第一圈2

2

是第二圈3

7

是第三圈4

18

是第四圈5

41

是第五圈6

88

否故退出循環的條件應為k＞5？故答案選C．8.銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，則b2+c2的取值范圍是（）A．（5，6] B．（3，5） C．（3，6] D．[5，6]參考答案：A【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得cosA，進而可求A，利用正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得b2+c2=4+2sin（2B﹣），利用B的范圍，可求2B﹣的范圍，利用正弦函數的圖象和性質可求其范圍．【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化為b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∴A為銳角，可得A=，∵，∴由正弦定理可得：，∴可得：b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，），∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]．故選：A．9.已知函數，下列說法錯誤的是(

)A.函數最小正周期是 B.函數是偶函數C.函數在上是增函數 D.函數圖像關于對稱參考答案：C10.函數的導函數圖像如圖所示，則函數的極小值點個數有A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的最小值為________．參考答案：【分析】結合換元法以及利用導數求得的最小值.【詳解】令，函數變為，，所以在上遞減，在上遞增，所以，也即函數的最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導數求函數的最值，屬于中檔題.12.圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器（圖2）.當這個正六棱柱容器的底面邊長為

時，其容積最大.圖1

參考答案：答案：2/313.我們可以利用數列{an}的遞推公式an=（n∈N+）求出這個數列各項的值，使得這個數列中的每一項都是奇數．則a24+a25=

；研究發現，該數列中的奇數都會重復出現，那么第8個5是該數列的第

項．參考答案：28，640．【考點】數列遞推式．【分析】借助于遞推公式知道奇數項的值為其項數，而偶數項的值由對應的值來決定．又通過前面的項發現項的值為5時，下角碼是首項為5，公比為2的等比數列．即可求出第8個5在該數列中所占的位置．【解答】解：由題得：這個數列各項的值分別為1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a24+a25=3+25=28．又因為a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…即項的值為5時，下角碼是首項為5，公比為2的等比數列．所以第8個5是該數列的第5×28﹣1=640項．故答案為：28，640．14.若函數f（x）滿足：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是R；（Ⅱ）對任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，則下列命題正確的是

（只寫出所有正確命題的序號）①函數f（x）是奇函數；②函數f（x）是偶函數；③對任意n1，n2∈N，若n1＜n2，則f（n1）＜f（n2）；④對任意x∈R，有f（x）≥﹣1．參考答案：②③④【考點】抽象函數及其應用．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據抽象函數的定義和關系式結合函數奇偶性的定義即可判斷①②，利用賦值法可以判斷③④．解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，則f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），則f（﹣x）=f（x），故函數f（x）為偶函數，故②正確，①錯誤．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，由歸納推理得對任意n1，n2∈N，若n1＜n2，則f（n1）＜f（n2）正確；故③正確，令x1=x2=x，則由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．∴對任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正確．【點評】本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法結合函數奇偶性的定義是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．15.讀右圖，若，則輸出結果

.參考答案：120略16.

復數________.

參考答案：-1【答案】17.如圖所示的程序框，若輸入的是100，則輸出的變量的值是

.參考答案：5049三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）為了了解某市開展群眾體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從三個區中抽取7個工廠進行調查，已知區中分別有18，27，18個工廠（1）求從區中應分別抽取的工廠個數（2）若從抽得的7個工廠中隨機地抽取2個進行調查結果的對比，用列舉法計算這2個工廠中至少有一個來自區的概率參考答案：(1)A、B、C三個區中應分別抽取的工廠個數為2，3，2（2）19.已知向量，設函數.(Ⅰ)求函數的最大值；(Ⅱ)在銳角三角形中，角、、的對邊分別為、、，，且的面積為，,求的值.參考答案：解:(Ⅰ)……4分………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，因為，所以，……………8分，又……………10分……………13分略20.某科考試題中有甲、乙兩道不同類型的選做題，且每道題滿分為10分，每位考生需從中任選一題作答．（1）A同學將自己在該考試中歷次的選題及得分情況統計如下：選甲題8次，得分分別為：6，10，10，6，6，10，6，10選乙題10次，得分分別為：5，10，9，8，9，8，10，8，5，8某次考試中，A同學的剩余時間僅夠閱讀并解答出甲、乙兩題中的某一道題，他應該選擇甲題還是乙題？（2）某次考試中，某班40名同學中選擇甲、乙兩題的人數相等，在16名該選做題獲得滿分的同學中有10人選的是甲題，則在犯錯誤概率不超過1%的情況下，判斷該選做題得滿分是否與選題有關？參考公式：K2=參考數據：P（K2≥k0）0.10.010.001k02.7066.63510.828參考答案：【考點】BO：獨立性檢驗的應用；BC：極差、方差與標準差．【分析】（1）計算甲、乙兩題得分的平均數與方差，比較即可；（2）根據題意，填寫2×2列聯表，計算K2的觀測值k，對照臨界值表即可得出結論．【解答】解：（1）計算甲、乙兩題得分的平均數分別為=×（6+10+10+6+6+10+6+10）=8，=×（5+10+9+8+9+8+10+8+5+8）=8，甲、乙兩題得分的方差為=×[（6﹣8）2+…+（10﹣8）2]=4，=×[（5﹣8）2+…+（8﹣8）2]=2.8，因此選擇乙題更加穩妥；（2）根據題意，填寫2×2列聯表如下；

甲乙總計滿分10616非滿分101424總計202040因此K2的觀測值k==≈1.667＜6.635，則在犯錯誤概率不超過1%的情況下，判斷該選做題得滿分是否與選題無關．21.（13分）如表，將數字1，2，3，…，2n（n≥3）全部填入一個2行n列的表格中，每格填一個數字．第一行填入的數字依次為a1，a2，…，an，第二行填入的數字依次為b1，b2，…，bn．記=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|．a1a2…anb1b2…bn

（Ⅰ）當n=3時，若a1=1，a2=3，a3=5，寫出S3的所有可能的取值；（Ⅱ）給定正整數n．試給出a1，a2，…，an的一組取值，使得無論b1，b2，…，bn填寫的順序如何，Sn都只有一個取值，并求出此時Sn的值；（Ⅲ）求證：對于給定的n以及滿足條件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同．參考答案：【考點】數列與函數的綜合．【分析】（Ⅰ）根據新定義計算即可，（Ⅱ）ai=i（i=1，2，…，n），則無論b1，b2，…，bn填寫的順序如何，都有，根據新定義求出即可，（Ⅲ）方法一：交換每一列中兩個數的位置，所得的Sn的值不變，不妨設ai＞bi，記，，求出Sn=A﹣B，即可證明，方法二：考慮如下表所示的任意兩種不同的填法，①若在兩種填法中k都位于同一行，②若在兩種填法中k位于不同行，即可證明【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a2=3，a3=5，∴b1，b2，b3值為2，4，6∴S3=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|=|1﹣b1|+|3﹣b2|+|5﹣b3|，∴S3的所有可能的取值為3，5，7，9．（Ⅱ）令ai=i（i=1，2，…，n），則無論b1，b2，…，bn填寫的順序如何，都有．因為ai=i，所以bi∈{n+1，n+2，…，2n}，（i=1，2，…，n）．因為ai＜bi（i=1，2，…，n），所以．注：{a1，a2，…，an}={1，2，…，n}，或{a1，a2，…，an}={n+1，n+2，…，2n}均滿足條件．（Ⅲ）解法一：顯然，交換每一列中兩個數的位置，所得的Sn的值不變．不妨設ai＞bi，記，，其中i=1，2，…，n．則．因為，所以A+B與n具有相同的奇偶性．又因為A+B與A﹣B具有相同的奇偶性，所以Sn=A﹣B與n的奇偶性相同，所以Sn的所有可能取值的奇偶性相同．解法二：顯然，交換每一列中兩個數的位置，所得的Sn的值不變．考慮如下表所示的任意兩種不同的填法，，，不妨設ai＜bi，a'i＜b'i，其中i=1，2，…，n．a1a2…an

…b1b2…bn

…．對于任意k∈{1，2，…，2n}，①若在兩種填法中k都位于同一行，則k在Sn+S'n的表達式中或者只出現在中，或只出現在中，且出現兩次，則對k而言，在Sn+S'n的結果中得到±2k．②若在兩種填法中k位于不同行，則k在Sn+S'n的表達式中在與中各出現一次，則對k而言，在Sn+S'n的結果中得到0．由①②得，對于任意k∈{1，2，…，2n}，Sn+S'n必為偶數．所以，對于表格的所有不同的填法，Sn所有可能取值的奇偶性相同．【點評】本題考查了新定義的應用，以及數列求和問題，考查了學生的分析問題和解決問題的能力，屬于難題．22.(本小題12分)三棱錐P?ABC中,PA