2/22019新教材北師大版數學必修第一冊第四章知識點清單目錄第四章對數運算與對數函數§1對數的概念§2對數的運算§3對數函數§4指數函數、冪函數、對數函數的增長的比較§5信息技術支持的函數研究2/2第四章對數運算與對數函數§1對數的概念§2對數的運算一、對數的相關概念1.對數的概念一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么數b稱為以a為底N的對數，記作logaN=b.其中a叫作對數的底數，N叫作真數.2.常用對數與自然對數(1)當對數的底數a=10時，通常稱之為常用對數，并將log10N簡記為lgN；(2)以無理數e=2.718281…為底數的對數，稱之為自然對數，并將logeN簡記為lnN.3.對數的基本性質(1)零和負數無對數，即真數N>0；(2)1的對數等于零，即loga1=0(a>0，且a≠1)；(3)底數的對數等于1，即logaa=1(a>0，且a≠1)；(4)對數恒等式：aloga二、對數的運算性質1.若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，則(1)loga(M·N)=logaM+logaN.2.推論：loga(N1·N2·…·Ni·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNi+…+logaNk(Ni>0，i=1，2，…，k).(2)logaMN=logaM-loga(3)logaMb=blogaM.三、換底公式1.換底公式：logab=logcblogc2.推論：logbmNn=nmlogbN，logbN=1logNb四、對數恒等式與多重對數方程1.對數恒等式是利用對數的定義推導出來的，應用時要注意以下結構特點：(1)指數是對數形式；(2)冪的底數與作為指數的對數的底數相同；(3)指數式的值為對數的真數，且大于0.2.在求解多重對數方程時，要遵循由外向里的原則，層層去掉對數符號，在這一過程中要注意時刻把握指數式與對數式的互化.五、利用對數的運算性質化簡、求值1.利用對數的運算性質求值的關鍵是化異為同，先使各項底數相同，再尋找真數間的聯系.2.對于復雜的運算式，可先化簡再計算.常用的化簡方法：①“拆”——將積(商)的對數拆成兩對數之和(差)；②“收”——將同底對數的和(差)收成積(商)的對數.3.在利用換底公式進行化簡求值時，一般情況下要根據題中所給對數式的具體特點選擇恰當的底數進行換底，如果所給的對數式中的底數和真數互不相同，我們可以選擇以10或e為底數進行換底.4.方法指導（1）當對數的底數相同時，利用對數的運算性質將式子轉化為只含一種或盡量少

的真數的形式，再進行計算.（2）當對數的底數不同時，可用換底公式換成同底數對數，為便于發現它們之間的聯系，可將真數都化為質數再進行計算.六、對數運算性質的綜合應用1.在對數式、指數式的互化運算中，要靈活運用定義和運算性質，尤其要注意條件和結論之間的關系.2.對于連等式，可令其等于k(k>0)，然后將指數式用對數式表示，再利用換底公式將指數的倒數化為同底的對數，從而使問題得解.§3對數函數一、對數函數的概念1.對數函數的概念對于每一個正數y，都存在唯一確定的實數x，使得y=ax.由函數的定義，x就是y的函數，稱為以a為底的對數函數，記作x=logay.習慣上，將自變量寫成x，函數值寫成y，因此，一般將對數函數寫成y=logax(a>0，且a≠1)，其中a稱為底數.2.常用對數函數與自然對數函數我們稱以10為底的對數函數為常用對數函數，記作y=lgx；稱以無理數e為底的對數函數為自然對數函數，記作y=lnx.3.指數函數與對數函數的關系指數函數y=ax(a>0，且a≠1)是對數函數y=logax的反函數，對數函數y=logax也是指數函數y=ax的反函數，即它們互為反函數.二、對數函數y=logax(a>0，且a≠1)的圖象和性質a>10<a<1圖象??性質定義域：(0，+∞)值域：R過定點(1，0)，即當x=1時，y=0奇偶性：既不是奇函數，也不是偶函數當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時,y>0在定義域(0，+∞)上是增函數.當x值趨近于正無窮大時，函數值趨近于正無窮大；當x值趨近于0時，函數值趨近于負無窮大在定義域(0，+∞)上是減函數.當x值趨近于正無窮大時，函數值趨近于負無窮大；當x值趨近于0時，函數值趨近于正無窮大2.如圖，直線y=1與四個對數函數的圖象交點的橫坐標即相應的底數，結合圖象知0<c<d<1<a<b.由此我們可以得到下面的規律：在第一象限內，從左到右底數逐漸增大.三、對數函數的圖象及應用1.對數型函數圖象過定點問題求函數y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1)的圖象所過的定點時，只需令f(x)=1，求出x，即得定點，其坐標為(x，m).2.函數y=logax(a>0，且a≠1)的圖象與函數y=log1ax(a>0，且a3.函數圖象的變換規律(1)一般地，函數y=f(x+a)+b(a，b為實數)的圖象可由函數y=f(x)的圖象沿x軸向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度，再將所得圖象沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到.(2)含有絕對值的函數的圖象一般是經過對稱變換得到的.四、與對數函數有關的函數的單調性及應用1.求復合函數單調性的兩個要點(1)單調區間是定義域的子集.(2)若a>1，則y=logaf(x)的單調性與y=f(x)的單調性相同；若0<a<1，則y=logaf(x)的單調性與y=f(x)的單調性相反.2.比較對數值大小常用的四種方法(1)同底數的利用對數函數的單調性比較大小.(2)同真數的利用對數函數的圖象比較大小，也可利用換底公式轉化為同底數的，再進行比較.(3)底數和真數都不同的，找中間量.(4)若底數為同一參數，則根據底數對對數函數單調性的影響，對底數進行分類討論.3.對數不等式的常見類型及解題方法(1)形如logax>logab的不等式，借助函數y=logax(a>0，且a≠1)的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1和0<a<1兩種情況進行討論.(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數的對數，即b=logaab，再借助函數y=logax(a>0，且a≠1)的單調性求解.(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用換底公式化為同底數的對數進行求解，或利用函數圖象求解.五、與對數函數有關的函數的值域與最值求與對數函數有關的值域或最值的常用方法1.直接法：根據函數解析式的特征，從函數自變量的變化范圍出發，通過對函數定義域、性質的理解，結合解析式，直接得出函數的值域(最值).2.配方法：當所給的函數可化為一元二次函數形式時(形如y=m·[f(logax)]2+nf(logax)+c，a>0，且a≠1，m≠0)，可以用配方法求函數的值域(最值).3.單調性法：根據在定義域(或定義域的某個子集)上的單調性，求出函數的值域(最值).4.換元法：求形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的函數值域(最值)的步驟為(1)換元，令u=f(x)，利用函數圖象和性質求出u的范圍；(2)利用y=logau的單調性和圖象求出y的取值范圍.§4指數函數、冪函數、對數函數的增長的比較§5信息技術支持的函數研究一、指數函數、冪函數、對數函數的增長趨勢比較y=ax(a>1)y=xα(α>0，x>0)y=logax(a>1)圖象?圖象與α的值有關?在(0，+∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長的速度先慢后快隨著α值的不同而不同先快后慢圖象的變化隨著x的增大，圖象上升的速度逐漸變快隨著x值的不同而不同隨著x的增大，圖象上升的速度逐漸變慢二、幾類常見函數模型增長差異的比較1.線性函數模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變.2.指數函數模型y=ax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數爆炸”.3.對數函數模型y=logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩.4.冪函數模型y=xα(α