考點51古典概型

1.已知數列｛4｝滿足囪=2,%+i=-2a,,(〃GN*).若從數列｛aj的前10項中隨機抽取一項，則該項不小

于8的概率是()

3_237

A.10B.5c.5D.10

B

由題意可知%=2?(-2)'-1,故前10項中，不小于8的只有8,32,128,512,共4項，故所求概率是

4_2

105,故選B.

2.若。是從0,1.2,3四個數中任取的一個數,b是從0,1,2三個數中任取的一個數,則關于x的一元二次

方程/+2ax+b2=0有實根的概率是

5324

A.6B.4c.3D.5

B

【解析】

由題意知本題是一個古典概型，

設事件A為“產+2ax+b-=0有實根”

當a>0,b>0時，方程K+2ax+b:=0有實根的充要條件為A=4a=-4爐=4(a=-分)>0,即a>匕,

基本事件共12個：e,0JCO,iz<0,2ACl,0JCl,1Zfl,2),

CL,0ZCL,1Z(2,2),(3,0Z(3,1Z<3,2J.

其中第一個數表示。的取值，第二個數表示》的取值.事件』包含9個基本事件e,oj,a,OJa,iz

Cl,0J,Cl,1ZCl,2),<3,OJ,(3,1ZCi,2A

???事件片發生的概率為P(A)=7：=；.

124

故選B.

3.4B、C、°四位媽媽相約各帶一個小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動車出行，每輛車只能帶一大

人和一小孩，其中孩子們表示都不坐自己媽車，則4的小孩坐C媽媽或D媽車概率是

1152

A.3B.2c.9D.3

D

【解析】設4、B、C、D的小孩分別是ab、dd,共有坐車方式有(4瓦Ba,Cd,De)、

(Ab.Bd.Ca.Dc)x(Ab.Bc.Cd.Da^(Ac.Ba.Cd.Db)^(Ac.Bd.Ca.Db)y(Ac.Bd.Cb.Da^(Ad.Ba.Cb.Dc)^

(Ad.Bc.Ca.Db^(Ad.Be.Cb.Da),貝中的小孩坐C媽媽或D媽媽的車有六種情況，其概率為會另解，月的小

孩等概率坐8媽媽或D媽媽或C媽媽車，故選D.

【點睛】

古典概型中基本事件數的探求方法

a洌舉法.

(2例狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有'有序”與“無序”區別的題目，常

采用樹狀圖法.

(3涅」表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.

(4為非列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.

4.將一顆質地均勻的骰子(它是一種各面上分別標有點數1、2、3、4、5、6的正方體玩具)先后拋擲2次，

記第一次出現的點數為m,記第二次出現的點數為n,向量2=(巾-2,2-m\b=(1,1)則公和B共線的概率為

1115

A.18B.12C..9D.12

B

根據題意，列表表示兩次出現的點數情況：

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共36種情況，

若萬和B共線，則有m-2=2-n,即m+n=4,有3種情況,

則d和旗線的概率為三=白；

4bX.

故選：B.

5.近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難

等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫院隨機對心肺疾病入院的50人進行問卷調查，

得到了如下的列聯表：

■患心肺疾病不免心肺疾痛合計

男20525

女101525

合計302050

(D用分層抽樣的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？

(2)在上述抽取的6人中選2人，求恰好有1名女性的概率；

(3)為了研究心肺疾病是否與性別有關，請計算出統計量代，你有多大把握認為心肺疾病與性別有關?

8

(1)見解析；(2)森；(3)有99.5%把握認為心肺疾病與性別有關

【解析】

（1座患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽4人；

（2股4男分為：A.B.C.D）2女分為：M.N,則6人中抽出2人的所有抽法：（列舉略）共15種抽法，其中

恰好有1名女性的抽法有8種.所以恰好有1個女生的概率為2

（3）由列聯表得K二=8.333>7,879,查臨界值表知：有99.5%｝巴握認為心肺疾病與性別有關.

6.央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節目的收視時間情況，隨機抽取了某市名30觀眾進行調查，其

中有12名男觀眾和18名女觀眾，將這30名觀眾收視時間編成如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘），收視時間

在35分鐘以上（包括3砌鐘）的稱為“朗讀愛好者”，收視時間在3吩鐘以下（不包括35分鐘）的稱為

“非朗讀愛好者”.

177899

982124589

8650323456

742140

5

（1）若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和“非朗讀愛好者”中隨機抽取5名，再從這5名觀眾中任

選2名，求至少選到1名“朗讀愛好者”的概率:

（2）若從收視時間在40分鐘以上（包括40分鐘）的所有觀眾中選出男、女觀眾各1名，求選出的這兩

名觀眾時間相差5分鐘以上的概率.

72

⑴.⑵甘

（1）根據莖葉圖，有“朗讀愛好者”12人，“非朗讀愛好者”18人，用分層抽樣的方法，每個人被抽到的

5_1

概率是示）一4

?選中的‘朗讀愛好者"<12x?=2人，記為B.C,“非朗讀愛好者”有18x：=3人，記為123;

??OD

記月：至少有一名是讀愛好者號應選中，基本事件有(B,C),(F.1),(F.2),(B.3),(C.l),(C.2),(C.3),

(1.2),(L3),(2.3洪10個；滿足事件』的有(B.C),(8.1),(B.2),(5.3),(C.l),(C.2),(C3)共7個，二則

呻)=5

(2)收視時間在40分鐘以上的男觀眾分別是41,42,44,47,51,女觀眾分別是4041,現要各抽一名，

則有(4L40),(41.41),(42.40),(42.41),(44.40),(44.41),(47.40),(47.41),(51,40),(5L41洪10種

情況.

收視時間相差5分鐘以上的有(47.40),(47.41),(51.40),(51.41),共4種情況.

故收視時間相差5分鐘以上的概率P=點=：.

7.某高校在今年的自主招生考試成績中隨機抽取100名考生的筆試成績，分為5組制出頻率分布直方圖

如圖所示.

組號分組頻數頻率

1[75,80)50.05

2[80,85)350.35

3[85,90)ab

4[90,95)Cd

5[95,100)100.1

⑴求a，b,c,d的值.

(2)該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學生進行面試，則每組應各抽多少名學生？

(3)在(2)的前提下，從抽到6名學生中再隨機抽取2名被甲考官面試，求這2名學生來自同一組的概率.

4

(1)a=30,b=0.3,c=20,d=0.2(2)3,2,1(3)15

【解析】（D由題意得/>=0.06x5=0.3,

a=100x0.3=30,4=I-0.05-035-03-0.1=0.2,

c=100x0.2=20

430,420r

6x—=36x—=2

三個組共有60人，所以第三組應抽60人，第四組應抽60人，

6,x—10=I,

第五組應抽60A.

（3）記第三組抽出的3人分別為生.八%,第四組抽出的2人分別為“?％,第五組抽出的1人為c,從

這6人中隨機抽取2人，基本事件包含

（“”生）（叫,%）（“I，4）（力也）（q,C）（%,%）（%,/八）（&也）（%，C）（。3，0|）（。3也）（。3，。）（“也）

（/>,,（?）共15個基本事件.

其中2人來自同一組的情況有（""外）（?"%）、2,%）他，4）,共4種.

P=—

所以，2人來自同一組的概率為15.

8.隨著共享單車的成功運營，更多的共享產品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶

等各種共享產品層出不窮，某公司隨機抽取1000人對共享產品是否對日常生活有益進行了問卷調查，并

對參與調查的1000人中的性別以及意見進行了分類，得到的數據如下表所示：

男女總計

認為共享產品對生活有益400300700

認為共享產品對生活無益100200300

總計5005001000

（1）根據表中的數據，能否在犯錯誤的概率不超過61%的前提下，認為共享產品的態度與性別有關系？

（2）現按照分層抽樣從認為共享產品增多對生活無益的人員中隨機抽取6人，再從6人中隨機抽取2人

贈送超市購物券作為答謝，求恰有1人是女性的概率.

心=_______兀(ad-be-_______

參考公式：(a+b)(a+d)(6+c)(c+d),

P(K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

8

⑴有；(2)15.

【解析】(D依題意，在本次的實險中，個的觀測值女=2。。。方。，:X47.619>10.828,

故可以在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為對共享產品的態度與性別有關系；

(2)依題意，應該從認為共享產品增多對生活無益的女性中抽取4人，記為4B.C.D,從認為共享產品增

多對生活無益的男性中抽取2人，記為a.b,

從以上6人中隨機抽取2人，所有的情況為:(4B).(A.0,(4,D),(4a),(4b\(B.C).(5.D),(B,a),(B,b),

(C.D),(C,a),(C,d),(D,a),(D,6),(?.b決15種，

其中滿足條件的為(4aUA.bl(B.a).(5.b),(C,a).(C.b).(D,a),(D.b)共8種情況，

故所求概率P=￡.

9.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶

降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)

有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20,25),需求量為300瓶；如果

最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數

據，得下面的頻數分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率,；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位:元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫

出丫的所有可能值，并估計丫大于零的概率.

(1)0.6；(2)0.8.

【解析】(D這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25,由表格數據知，最高氣溫

低于25的頻率為深空=0,6課至=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為

0.6.

(2)當這種酸奶一天的進貨蚩為450瓶時，

若最高氣溫不低于25,則Xx4503x450=900;

若最高氣溫位于區間［20.25),則為6x300+2(450-300)-4x450=300?

若最高氣溫低于20,則P=6x200+2(450-200)-4x450=-100.

所以，，的所有可能值為900300,-100.

F大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為生甯婦=0.8

詞+,*=08,因此￥大于零的概率的估計值為08

10.為了解太原各景點在大眾中的熟知度，隨機對15?65歲的人群抽樣了。人，回答問題“太原市有哪幾

個著名的旅游景點？”，統計結果及頻率分布直方圖如圖表.

組號分組回答正確的人數回答正確的人數占本組的頻率

第1組[15,25)a0.5

第2組[25,35)18X

第3組[35,45)b0.9

第4組[45,55)90.36

第5組[55,65)3y

(1)分別求出ag,x,y的值：

(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2,3,4組每組各抽取多少人？

(3)在(2)抽取的6人中隨機抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.

1

(1)5,27,0.9,0.2.(2)2,3,1；(3)5.

【解析】(D由頻率表中第4組額據可知，第4組總人數為三=25,

再結合頻率分布直方圖可知=100,

,\a=100x0.01x10x0.5=5,b=100x0.03xl0x0.9=27,

x=—=0.9,y=—=0.2;

20’15’

(2)因為第2,3,4組回答正確的人數共有54人，

二.利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數為：第2組：,x6=2人；第3組：巳x6=3人;

第4組：16=1人

(3)設第2組2人為：Ai,殳；第3組3人為：Bi,B2,B”第4組1人為：Ci.

則從6人中隨機抽取2人的所有可能的結果為：(Ai,Aj),(Ai,Bi),(Ai,B。，(Ai,BJ,(Ai,CD,

(A2,BI),(A2,B2),(A2,B3),(A2,CI),(BpB2),(BpB3),(B,,C,),(B2,B3),(B2,cp,

(B3,CJ)共15個基本事件，

其中恰好沒有第3組人共3個基本事件，

P=2_J

二所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率是：155.

11.某大學為了更好提升學校文化品位，發揮校園文化的教育功能特舉辦了校園文化建設方案征集大賽，

經評委會初評，有兩個優秀方案入選.為了更好充分體現師生的主人翁意識，組委會邀請了100名師生代

表對這兩個方案進行登記評價（登記從高到低依次為4B,C,D,E）,評價結果對應的人數統計如下表:

等級

編號

ABCDE

1號方案1535ab10

2號方案733202bc

（I）若按分層抽樣從對1號方案進行評價的100名師生中抽取樣本進行調查，其中C等級層抽取3人，

0等級層抽取1人，求a/，c的值；

（H）在（I）的條件下，若從對2個方案的評價為&D的評價表中各抽取10%進行數據分析，再從中選取

2份進行詳細研究，求選出的2份評價表中至少有1份評價為D的概率.

p_18_9

⑴a=30,b=10,c=20;⑵2814

【解析】（1）由分層抽樣可知，a：b=3:1.又a+b=100-（15+35+10）=40,

所以a=30.b=10,所以c=100-(7+33+20+2x10)=20.

（2）由題意，對1號方案、2號方案抽取的樣本容量都是*其中，1號方案的評價表中，評價為C的有3份,

評價為D的有1份，令其分別記為?？?，。二。3。一；2號方案的評價表中，評價為C的有2份，評價為D的有

2份，令其分別記為GrCxQ—D］.從中抽取2份評價表，不同的結果為：

{?？?。1二},{Gi.CiJ，{。［1,。11.},{。11,。二工},{Cii，GJ］。卬久工},{Qi,

{C”QJ,{C1:.D11},{Ci2,C21}.{Ci=,GJ{。_二，2）二J{C_2,

{q?,。［J{C12，C二J,{C13,GJ{Qa，D：J,{。二和D：

{D：i，GJ,{么［，。［}［。*D21},{D11（D2￡）,{0二_?0二二}，{Q_，D二：}，{0二二?°工）>

{C品,D：J,{。二二,。二二},{。21>,。二二）,共28個.

其中至少有1份評價為D的所包含的不同結果為

{C工工,D【J,{C］i，Z）oJ,{C［{Qa，D..},{C.二，。二{。［,。二二}‘{。.a.Du}，{。工2,久工}.

{的3，。;二},{DwGJ,Du。;二},{D［i,Q：；},{D__，Gw}.{D二二Q二_1，{°二；與二二1{C二二，D二J，

{C=D二},{D」1,D［},共18個.

故所求事件的概率為p=￡=2

12.貴州省銅仁為弘揚優良傳統，展示80年來的辦學成果，特舉辦“建校80周年教育成果展示月”活動。

現在需要招募活動開幕式的志愿者，在眾多候選人中選取100名志愿者，為了在志愿者中選拔出節目主持

人，現按身高分組，得到的頻率分布表如圖所示.

頻率函距

靠

頻率分布直方圖

組號。分組。頻數。頻率，

1160,16

第1組。5c0.05/

5)"

：165,17

第2組，0.35-

0)*

：170,17

第3組，

5)3

：175,18

第4組。2030.203

0)小

Z180,18

第5組，10。

5)2

合計。100^1.00-

(1)請補充頻率分布表中空白位置相應數據，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；

(2)為選拔出主持人，決定在第3、4、5組中用分層抽樣抽取6人上臺，求第3、4、5組每組各抽取多

少人？

(3)在(2)的前提下，主持人會在上臺的6人中隨機抽取2人表演詩歌朗誦，求第3組至少有一人被抽

取的概率？

P=-

(1)直方圖見解析；(2)3,2,1；(3)5.

第二組的頻數為100x0.35=35,故第三組的頻數為100-5-35-20-10=30,故第三組的頻率為03,第

五組的頻率為0L補全后頻率分布表為：

組號分組頻數頻率

第一組[160,165)50.05

第二組[165,170)350.35

第三組[170,175)300.3

第四組[175,180)200.2

第五組[180,185)100.1

合計1001

頻率分布直方圖為:

（2）第三組、第四組、第五組的頻率之比3：2:1,故第三組、第四組'第五組抽取的人數分別為32L

（3）設第三組中抽取的三人為4.4，4，第四組中抽取的兩人為當出門第五組中抽取的一人為C,則6人

中任意抽取兩人，所有的基本事件如下：

A1A2>A1A2?AA2^82^25?A3BltA3B2，B2-A1C,A2C.A2C,B1C,B2C

故第三組中至少有1人被抽取的概率為p=￡=:.

155

13.新能源汽車的春天來了！2018年3月5日上午，李克強總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車

輛購置稅優惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛

購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當地該品牌銷售網站了解到近五個月實

際銷量如下表：

月份2017.122018.012018.022018.032018.01

月份熱號，12345

銷量（萬輛）0.50.61L41.7

（1）經分析發現，可用線性回歸模型擬合當地該品牌新能源汽車實際銷量y（萬輛）與月份編號之間的相

關關系.請用最小二乘法求y關于的線性回歸方程?=自+并預測2018年5月份當地該品牌新能源汽車的

銷量；

（2）2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據新能源汽車的最大續航里程（新能源汽車的最大續航

里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程）對購車補貼進行新一輪調整.已

知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調研機構對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理

預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：

補貼金額預期值區

[1,2)[2,3)[3,4)[4.5)[5,6)[6,7]

間（萬元）

206060302010

將對補貼金額的心理預期值在“，2）（萬元）和［6,7］（萬元）的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和

“欲望膨脹型”消費者，現采用分層抽樣的方法從位于這兩個區間的30名消費者中隨機抽取6名，再從

這6人中隨機抽取2名進行跟蹤調查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費者的概率.

n

￡例一西

b=-----------

n5

_￡例=18.8

參考公式及數據：①回歸方程9=及+2其中.，a^y-bt.

3

（1）見解析；（2）5

【解析】（D易知￡=注詈"=3,1=空區.t-±1=1.04,

z.=.=1=+2=+3=+4=+5==55,

￡Hyi-Sty18.8-5X3X1.O4八與c

o=-------=-------；—=U.oZ?

工產才—2

a=y-bt=1.04-0.32x3=0.08,貝心關于的線性回歸方程為『=0.32t+0.08,

當t=6時，y=2.00,即201昨5月份當地該品牌新能源汽車的銷量約為2萬輛.

(2)設從“欲望膨脹型”消費者中抽取x人，從“欲望緊縮型”消費者中抽取y人，由分層抽樣的定義可知

—解得x=2,y=4,

301020''

在抽取的6人中，2名“欲望膨脹型”消費者分別記為4名“欲望緊縮型巧肖費者分別記為B：鳳%B?,

則所有的抽樣情況如下：

A:_A2'ALB1,A:_B2-ALB'i,A1B4.A2B:_,A2B~.A~B-.A2Bi,B_B-,BB-.B_B4,3；.B;54,B3B4共15種，其中至少有1

名“欲望膨脹型”消費者的情況由種，

記事件4r抽出的2人中至少有1名‘欲望膨脹型'消費者”，則p(m=三="

153

14.某校決定為本校上學所需時間不少于30分鐘的學生提供校車接送服務.為了解學生上學所需時間，

從全校600名學生中抽取50人統計上學所需時間(單位：分鐘)，將600人隨機編號為

001,002,…，600,抽取的50名學生上學所需時間均不超過60分鐘，將上學所需時間按如下方式分成

六組，第一組上學所需時間在[0,10),第二組上學所需時間在[10,20)…，第六組上學所需時間在

[50,60],得到各組人數的頻率分布直方圖，如下圖

(1)若抽取的50個樣本是用系統抽樣的方法得到，且第一個抽取的號碼為006,則第五個抽取的號碼是

多少？

(2)若從50個樣本中屬于第四組和第六組的所有人中隨機抽取2人，設他們上學所需時間分別為a、b,

求滿足|a-b|>10的事件的概率；

(3)設學校配備的校車每輛可搭載40名學生，請根據抽樣的結果估計全校應有多少輛這樣的校車?

8

⑴054；(2)15.(3)3

(1)6004-50=12,第一段的號碼為006,

第五段抽取的數是6+(5-1)x12=54,即第五段抽取的號碼是054

(2)第四組人數=0.008x10x50=4,設這4人分別為A、B、C、D,

第六組人數=0004x10x50=2,設這2人分別為工乂

隨機抽取2人的可能情況是：

ABACADBCCDxyAxAyBxByCxCyDxDy

一共15種情況，其中他們上學所需時間滿足I。-引>10的情況有8種，

所以滿足la-bl>10的事件的概率P=3

<3)全校上學所需時間不少于30分鐘的學生約有：

600x(0.008+0.008+0.004)xl0=120人，

所以估計全校需要3輛校車.

15.某高中學校高一年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成

績均分布在[50,100]內，發布成績使用等級制.各等級劃分標準見圖表.規定：A,B,C三級為合格等級,

〃為不合格等級.

分數85分及以上70分到84分60分到69分60分以下

等級ABCD

為了解該校高一年級學生身體素質情況，從中抽取了〃名學生的原始成績作為樣本進行統計.按照[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖①所示，樣本中原始成績在80分

及以上的所有數據的莖葉圖如圖②所示.

(1)求〃和頻率分布直方圖中的X,y的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率;

(2)在選取的樣本中，從成績為4〃兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研，求至少有一名學生的

成績是4等級的概率.

99

(1)10；(2)14

【解析】(1)由頻率分布直方圖及莖葉圖中的相關數據可知，樣本容量"=-4--7=50,x=^-=0.004,

U>vAAv3UAXU

y=-=0.018,因為成績是合格等級的頻率為1-0.1=0,9,依據樣本估計總體的思

想，該校高一年級學生成績是合格等級的概率是09

(2)由頻率分布直方圖及莖葉圖知，/等級學生共有3名，。等級學生共有0.1x50=5名，記月等級學生分

別為出，Ai,出，。等級學生分別為D,A,4,D”則從8名學生中隨機抽取2名學生的所有情況

為4kA1A3,A\D\,A\Iyi,A\D3,A\D^,A1D5,AiAi,AiD},A2D1,A1D3,4必,A1D5,A)D\,A3D1,

A3D3,A3DA,A3D5,D1D2,D1D3,D1D4,D\Di,D1D3,DIDA,DzDi,DM,D3D5,D4D5,共28個基本事

件，記“至少有一名學生的成績是A等級，為事件E,則其對立事件營的可能結果為DiDi,D1D3,DM,DM,

DiDi,D1D4,D2D5,64,D3D5,DD,共10種，所以P(E)=l-P⑸=1一或=±.

16.已知某中學高三文科班學生共有800人參加數學與地理的學業水平測試，從中隨機抽取100人的數學

與地理的學業水平測試成績如下表：

數學

人數

優秀良好及格

優秀7205

地理良好9186

及格a4b

成績分為優秀、良好、及格三個等級，橫向、縱向分別表示地理成績與數學成績例如：表示數學成績為良

好的共有20+18+4=42(人).

(I)若在該樣本中，數學成績優秀率為30%,求a,b的值；

(II)已知aNIO,b28,利用樣本數據，求數學成績為優秀的人數比及格的人數少的概率.

3

(I)a=14,b=17.(II)14

【解析】(!)由題意技=03,得a=14,

因為7+9+a+20+18+4+5+6+b=100,所以b=17.

(D)由題意得：a+b=31且Q10,也8

滿足條件的(a,b)有(10.21),(11,20),(12,19),(13,18),(14.17),

(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11),<21,10),

(22,9),(23,8)共14組,且每組出現的可能性相同，

其中滿足'數學成績為優秀的人數比及格的人數少'即“7+9+avS+6+b

的(a,b)有“：(10521),(11,20),(12,19),共3組.

所以數學成績為優秀的人數比及格的人數少的概率為最

17.中國海軍，正在以不可阻擋的氣魄向深藍進軍。在中國海軍加快建設的大背景下，國產水面艦艇噸位

不斷增大、技術日益現代化，特別是國產航空母艦下水，航母需要大量高素質航母艦載機飛行員。為此中

國海軍在全國9省9所優質普通高中進行海航班建設試點培育航母艦載機飛行員。2017年4月我省首屆海

軍航空實驗班開始面向全省遴選學員，有10000名初中畢業生踴躍報名投身國防，經過文化考試、體格測

試、政治考核、心理選拔等過程篩選，最終招收50名學員。培養學校在關注學員的文化素養同時注重學

員的身體素質，要求每月至少參加一次野營拉練活動(下面簡稱“活動”)并記錄成績.10月某次活動中

(I)根據圖表，試估算學員在活動中取得成績的中位數(精確到°」)；

(H)根據成績從［50,60)、［90,100)兩組學員中任意選出兩人為一組，若選出成績分差大于10,則稱該組

為“幫扶組”，試求選出兩人為“幫扶組”的概率.

P=—

(1)見解析；(2)選出兩人為幫扶組的概率15.

【解析】（D由頻率分布直方圖可知：成績在［50.60瀕率為0.04,成績在［60,70瀕率為0.20,成績在［70,80）

頻率為0.40,成績在［8090）頻率為0.28,成績在［90.100顏率為0.08,

可知中位數落在［70,80湮中，設其為x,則0Q4-0.20-（x-70）x0.04=0.5,得x=76.5

（n）海航班共50名學員，成績在［50,60曲內有50x0.04=2人，設為

成績在［90,100朗內有50x0.08=4人，設為E_￡,E?&,從中選兩人有（義人）、（4區）、（必尊）、

（月工方4）、（4,E二）、（4,&）、（&，&）、（%島）、（E［,E4）、（E二,&）、（E二,曷）、

（扁,EJ共15種j

而‘幫扶紳有⑷鳥）、（4品）、（4￡）、5一&）、（&￡）、（外島）、（4鳥）、-J8種，故選出兩人

為幫扶組的概率P=3

18.邁入2018年后，直播答題突然就火了.在1月6號的一場活動中，最終僅有23人平分100萬，這23

人可以說是“學霸”級的大神.隨著直播答題的發展，平臺“燒錢大戰”模式的可持續性受到了質疑，某

網站隨機選取1000名網民進行了調查，得到的數據如下表：

男女

認為直播答題模式可持續360280

認為直播答題模式不可持續240120

（1）根據表格中的數據，能否在犯錯誤不超過05%的前提下，認為對直播答題模式的態度與性別有關系？

（2）已知在參與調查的1000人中，有20%曾參加答題游戲瓜分過獎金，而男性被調查者有15%曾參加游戲

瓜分過獎金，求女性被調查者參與游戲瓜分過獎金的概率.

_______"(ad-be/_______

K2=

參考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).

臨界值表：

P(K240)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

(1)見解析；(2)0.275

【解析】⑴依題意，心的觀測面="飛：：：；：；：：：丁”=言＞7.879,

故可以在犯錯誤的概率不超過05%的前提下，認為對直播答題模式的態度與性別有關系；

（2）由題意，參與答題游戲獲得過獎勵的人數共有1000x20%=200人；

其中男性被調查者獲得過獎勵的人數為600x15%=90人，

故女性調查者獲得過獎勵人數為U0人，記女性被調查者參與游戲瓜分過獎勵為事件月，

則P（A）=益=。275.

所以女性被調查者參與游戲瓜分過獎金的概率為0.275.

19.某校社團活動開展有聲有色，極大地推動了學生的全面發展，深受學生歡迎，每屆高一新生都踴躍報

名加入.現已知高一某班60名同學中有4名男同學和2名女同學參加心理社，在這6名同學中，2名同學

初中畢業于同一所學校，其余4名同學初中畢業于其他4所不同的學校.現從這6名同學中隨機選取2名

同學代表社團參加校際交流（每名同學被選到的可能性相同）.

（I）在該班隨機選取1名同學，求該同學參加心理社團的概率；

（II）求從6名同學中選出的2名同學代表至少有1名女同學的概率.

13

⑴元;⑵；

（I）依題意，該班60名同學中共有6名同學參加心理社，

6_1

所以在該班隨機選取1名同學，該同學參加心理社的概率為前一記.

（II）設表示參加心理社的男同學，a,b表示參加心理社的女同學，

則從6名同學中選出的2名同學代表共有15種等可能的結果：

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,CalCb,Da,Db,abt

其中至少有1名女同學的結果有9種：AalAb,Ba,BblCa,Cb,Da,Dh,ab,

P-9_3

根據古典概率計算公式，從6名同學中選出的2名同學代表至少有1名女同學的概率為一元一于

20.2017年某市有2萬多文科考生參加高考，除去成績為670分（含670分）以上的3人與成績為350分

（不含350分）以下的3836人，還有約1.9萬文科考生的成績集中在［350,670）內，其成績的頻率分布如下

表所示:

分數段[350,390)[390,430)[430,470)[470,510)

頻率0.1080.1330.1610.183

分數段[510,550)[550,590)[590,630)[630,670)

頻率0.1930.1540.0610.007

(1)試估計該次高考成績在1350,670)內文科考生的平均分(精確到0.1)；

(II)一考生填報志愿后，得知另外有4名同分數考生也填報了該志愿.若該志愿計劃錄取3人，并在同

分數考生中隨機錄取，求該考生不被該志愿錄取的概率.

(I)488.4分(II)0.4

【解析】(D成績在［350,670)內的平均分為

650x0.007+610x0.061+570x0.154+530X0.193+490x0.183+450x0.161+

410x0.133+370x0.108=488.44~488.4(分)

(H)該考生記為從另外4名考生分別記為b、c、d、e,

則基本事件有：(A,b,c),(AAd),(AAe),(A,c,d),(Aqe),(Ade),(bscsd),(bx.e),(b,d,e),(c,d,e)所以基

本事件共10種，不被錄取共4種，故概率P=^=0.4

21.已知某中學高三文科班學生共有800人參加了數學與地理的水平測試，學校決定利用隨機數表法從中

抽取100人進行成績抽樣調查.抽取的100人的數學與地理的水平測試成績如下表：

數學

人數

優秀良好及格

優秀