第5講容斥原理

三年級奧數班

第5講容斥原理

三年級奧數班【知識點撥】在計數時，必須注意無一重復，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復計算，通常我們采用以下計數方法。這種方法的基本思路是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。【知識點撥】在計數時，必須注意無一重復，無一遺【典型例題】/01【典型例題】/01【典型例題】4例1：一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？數學得滿分15人語文得滿分12人語文得滿分12人4人15＋12–4=23人維恩圖【典型例題】4例1：一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有【典型例題】5A人B人AB人A＋B–AB總人數=一、容斥原理1：【典型例題】5A人B人AB人A＋B–AB總人數=【典型例題】6例2：某次英語考試由兩部分組成，結果全班有12人得滿分，第一部分有人25做對，第二部分有19人做對，問全班有多少人？第一部分做對25人第二部分做對19人12人25＋19–12=32人【典型例題】6例2：某次英語考試由兩部分組成，結果全班有1【典型例題】7例3：對全班同學調查發現，會游泳的有20人，會打籃球的有25人．兩項都會的有10人，兩項都不會的有9人．這個班一共有多少人？會游泳20人會打籃球25人10人9人？人20＋25–10會的人數：=35人35＋9=44人全班人數：【典型例題】7例3：對全班同學調查發現，會游泳的有20人，會【典型例題】8例4：某班共有46人，參加美術小組的有12人，參加音樂小組的有23人，有5

人兩個小組都參加了．這個班既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的有多少人？美術小組12人音樂小組23人5人?人46人12＋23–5參加人數：=30人46–30=16人全班人數：【典型例題】8例4：某班共有46人，參加美術小組的有12人，例5：在1到100的自然數中，既不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940【典型例題】9從1開始，每5個數中有1個5的倍數。從1開始，每6個數中有1個6的倍數。100÷5=20個5的倍數：100÷6=16個……46的倍數：100÷（5×6）=3個……10重復的個數：20＋16–3=33個一共：100–33=67個不是的：例5：在1到100的自然數中，既不是5的倍數也不是6的倍數的【典型例題】10例6：某班學生手中分別拿紅、黃、藍三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人，手中有黃旗的共有26人，手中有藍旗的共有18

人．其中手中有紅、黃、藍三種小旗的有6人．而手中只有紅、黃兩種小旗的有9

人，手中只有黃、藍兩種小旗的有4

人，手中只有紅、藍兩種小旗的有3人，那么這個班共有多少人？紅旗34人黃旗26人藍旗18人9人3人4人6人34＋26＋18-9-4-3＋6=78

–16＋6=68人【典型例題】10例6：某班學生手中分別拿紅、黃、藍三種顏色的【典型例題】11ABCABACBC人ABCA＋B＋C-AB-AC-BC＋ABC總數=二、容斥原理2：3個部分相加減去重復2次的，再加上重復3次的【典型例題】11ABCABACBC人ABCA＋B＋C-【課堂精練】121.芳草地小學四年級有58人學鋼琴，43人學畫畫，37人既學鋼琴又學畫畫，問只學鋼琴和只學畫畫的分別有多少人？學鋼琴58人學畫畫43人37人58–37=21個只學鋼琴：43–37=6個只學畫畫：【課堂精練】121.芳草地小學四年級有58人學鋼琴，43【課堂精練】132.實驗小學四年級二班，參加語文興趣小組的有28人，參加數學興趣小組的有29人，有12人兩個小組都參加．這個班有多少人參加了語文或數學興趣小組？語文興趣小組28人數學興趣小組29人12人28＋29–12=47人【課堂精練】132.實驗小學四年級二班，參加語文興趣小組的有【課堂精練】143.四(二)班有48名學生，在一節自習課上，寫完語文作業的有30人，寫完數學作業的有20人，語文數學都沒寫完的有6人。兩樣作業都完成的有多少人？語文30人數學20人6人48–6=42人48人？人30＋20–42=8人42人【課堂精練】143.四(二)班有48名學生，在一節自習課上，【課堂精練】154.兩張長4厘米，寬2厘米的長方形紙擺放成如圖所示形狀．把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？4×2=8平方厘米長方形面積：2×2=4平方厘米正方形面積：8＋8-4=12平方厘米覆蓋面積：【課堂精練】154.兩張長4厘米，寬2厘米的長方形紙擺【課堂精練】165.

一個旅行社有36人，其中會英語的有24人，會法語的有18人，兩樣都不會的有4人。兩樣都會的有多少人？英語24人法語18人4人36–4=32人36人？人24＋18–32=10人32人【課堂精練】165.一個旅行社有36人，其中會英語的有24【課堂精練】176.在1—100的全部自然數中，不是3的倍數也不是5

的倍數的數有多少個？100÷3=33個……13的倍數：100÷5=20個5的倍數：100÷（3×5）=6個……10重復的個數：33＋20–6=47個一共：100–47=53個不是的：【課堂精練】176.在1—100的全部自然數中，不是3的【課堂精練】187.五年級三班學生參加課外興趣小組，每人至少參加一項．其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術興趣小組的有12人，參加自然同時又參加美術興趣小組的有8人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術、自然3科興趣小組都參加的有4人。求這個班的學生人數。自然25人美術35人語文27人8人9人12人4人25＋35＋27-12-8-9＋4=87-29＋4=62人【課堂精練】187.五年級三班學生參加課外興趣小組，每人至【杯賽試題】198.育才小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15