萊布尼茨與微積分

Gottfried

Wilhelm

Leibniz，1646～17162023/7/271QDDXSXZK

萊布尼茨是17、18世紀(jì)之交德國最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個舉世罕見的科學(xué)天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。特別是他始創(chuàng)微積分，更是對后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

1646年7月1日，萊布尼茨出生于德國東部萊比錫的一個書香之家，父親弗里德希是萊比錫大學(xué)的道德哲學(xué)教授，母親凱瑟琳娜出身于教授家庭。

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萊布尼茨的父母是他的啟蒙教師，耳濡目染使萊布尼茨從小就十分好學(xué)，并有很高的天賦，幼年時(shí)就對詩歌和歷史有著濃厚的興趣。

萊布尼茨的父親在他年僅六歲時(shí)便去世了，給他留下了比金錢更寶貴的豐富的藏書，知書達(dá)理的母親擔(dān)負(fù)起了兒子的幼年教育。萊布尼茨因此得以廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學(xué)者的著作，由此獲得了堅(jiān)實(shí)的文化功底和明確的學(xué)術(shù)目標(biāo)。2023/7/273QDDXSXZK

8歲時(shí)，萊布尼茨進(jìn)入尼古拉學(xué)校，學(xué)習(xí)拉丁文、希臘文、修詞學(xué)、算術(shù)、邏輯、音樂以及《圣經(jīng)》、路德教義等。

1661年，15歲的萊布尼茨進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，他進(jìn)校就跟上了大學(xué)二年級標(biāo)準(zhǔn)的人文學(xué)科的課程，還學(xué)習(xí)哲學(xué)和科學(xué)。

1663年5月，他以《論個體原則方面的形而上學(xué)爭論》一文獲學(xué)士學(xué)位。2023/7/274QDDXSXZK

這期間萊布尼茨還廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略等人的著作，并對他們的著述進(jìn)行深入的思考和評價(jià)。在聽了教授講授的歐幾里得的《幾何原本》的課程后，萊布尼茨對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。

1664年1月，萊布尼茨以論文《論法學(xué)之艱難》獲哲學(xué)碩士學(xué)位。是年2月12日，母親不幸去世，18歲的萊布尼茨從此只身一人生活。2023/7/275QDDXSXZK

1665年不到20歲的萊布尼茨便提交了博士論文《論身份》，但萊比錫大學(xué)以他太年輕為由沒有授予他博士學(xué)位（黑格爾認(rèn)為，也許是哲學(xué)觀點(diǎn)太多）。他氣憤之下離開萊比錫前往紐倫堡的阿爾特多夫大學(xué)，1667年2月阿爾特多夫大學(xué)授予他法學(xué)博士，并聘他做法學(xué)教授，但被他謝絕了。2023/7/276QDDXSXZK

這一年，萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇數(shù)學(xué)論文《論組合的藝術(shù)》。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計(jì)算的結(jié)果。這篇論文已閃耀著他創(chuàng)新的智慧和數(shù)學(xué)的才華，也使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。2023/7/277QDDXSXZK

1672年，萊布尼茨作為一名外交官出使巴黎，直到1676年，他以外交官的身份游歷在歐洲各國之間。這期間，他結(jié)識了惠更斯等科學(xué)家。受惠更斯的啟發(fā)，決心鉆研數(shù)學(xué)，并深入研究了笛卡兒、費(fèi)爾馬、帕斯卡、巴羅等人的著作，開始了創(chuàng)造性工作，撰寫了大量的論文。

在繁忙的公務(wù)之余，萊布尼茨廣泛地研究哲學(xué)和各種科學(xué)、技術(shù)問題，從事多方面的學(xué)術(shù)文化和社會政治活動。不久，他就成了宮廷議員，在社會上開始聲名顯赫，生活也由此而富裕。2023/7/278QDDXSXZK

1673年被推薦為英國皇家學(xué)會會員。1682年創(chuàng)辦《教師學(xué)報(bào)》。1689年他被選為羅馬科學(xué)與數(shù)學(xué)科學(xué)院院士。

從1695年起，萊布尼茨就一直為在柏林建立科學(xué)院四處奔波，到處游說。1698年，他為此親自前往柏林。1700年，當(dāng)他第二次訪問柏林時(shí)，終于得到了弗里德里希一世，特別是其妻子(漢諾威奧古斯特公爵之女)的贊助，建立了柏林科學(xué)院，他出任首任院長。

1700年2月，他被選為法國科學(xué)院院士。2023/7/279QDDXSXZK

也就是說，當(dāng)時(shí)全世界的四大科學(xué)院：英國皇家學(xué)會、法國科學(xué)院、羅馬科學(xué)與數(shù)學(xué)科學(xué)院、柏林科學(xué)院都以萊布尼茨作為核心成員。1713年初，維也納皇帝授予萊布尼茨帝國顧問的職位，邀請他指導(dǎo)建立科學(xué)院。俄國的彼得大帝也在17ll～1716年去歐洲旅行訪問時(shí)，幾次約見萊布尼茨；萊布尼茨試圖說服這位雄才大略的皇帝，在彼得堡建立一個科學(xué)院。2023/7/2710QDDXSXZK1712年左右，他同時(shí)被維也納、布倫茲維克、柏林、彼得堡等王室所雇用。

據(jù)傳，他還曾經(jīng)通過傳教士，建議中國清朝的康熙皇帝在北京建立科學(xué)院。2023/7/2711QDDXSXZK萊布尼茲的微積分

微積分思想，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計(jì)算面積和體積的方法。

萊布尼茲關(guān)于微積分最初的論文題目是《為尋求極大、極小以及切線的新方法，而這方法不被分?jǐn)?shù)的和無理數(shù)的量所阻礙，和關(guān)于這方法的一個巧妙的計(jì)算》，這篇僅6頁的文章于1684年發(fā)表在《教師學(xué)報(bào)》上。2023/7/2712QDDXSXZK這是歷史上最早公開發(fā)表的關(guān)于微積分的文獻(xiàn)。文章敘述乏味而模糊，但卻具有劃時(shí)代的意義。

萊布尼茲在這篇文章中明確的給出了微分的定義，以及若干個函數(shù)的和、差、積、商的微分法則；給出了我們現(xiàn)在所用的微分符號dx,dy。2023/7/2713QDDXSXZK

1675年以后萊布尼茲又繼續(xù)提出了極值條件和拐點(diǎn)條件，作切線、求曲率等，另外還有一階微分形式不變性等重要理論。在一些手稿中萊布尼茲還先后給出了導(dǎo)數(shù)符號，二階導(dǎo)數(shù)符號等。2023/7/2714QDDXSXZK

1686年在他發(fā)表的《探奧幾何與不可分量及無限的分析》論文中，又引入了作為無窮多微分之和的積分概念及其符號∫，它是Summa的第一個字母，只是拉長了一點(diǎn)罷了。1693年他又在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇文章，該文更清楚地闡述了微分和積分的關(guān)系，即微積分基本定理。2023/7/2715QDDXSXZK他還給出一些積分方法，如：變量替換法、分部積分法、有理函數(shù)的積分法、在積分號下對參量變求微分的方法等。萊布尼茨還通過積分變換，得到平面曲線的面積公式，又給出求一條曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體表面積公式和曲線長度公式等。2023/7/2716QDDXSXZK

萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最偉大的符號大師，他在建立微積分的過程中，花很多時(shí)間來選擇精巧的符號，現(xiàn)在微積分學(xué)中的許多基本符號都是他創(chuàng)立的，如：dx,dy,dy/dx,∫,log,等。這些優(yōu)越的符號為以后分析學(xué)的發(fā)展帶來了極大的方便。2023/7/2717QDDXSXZK“微積分發(fā)明的優(yōu)先權(quán)之爭”

萊布尼茨和牛頓將積分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內(nèi)在的直接聯(lián)系，這是微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué)。并從對各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號表示的微積分運(yùn)算法則。

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因此，微積分“是牛頓和萊布尼茨總結(jié)孤立的、不連貫的結(jié)果后完成的，應(yīng)該不是他們發(fā)明的”。

牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動學(xué)，造詣高于萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則。微積分的建立，最后是由牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立完成的。2023/7/2719QDDXSXZK

萊布尼茲的微積分與牛頓的相比較，其邏輯性與嚴(yán)密性要差些，但是它用精巧的符號來表達(dá)，卻是牛頓所遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及的?？梢钥隙ǖ氖?，假如沒有萊布尼茲的精巧而合理的符號，微積分就不可能成為如此有力的工具。2023/7/2720QDDXSXZK

盡管他們兩人的工作有明顯的差別，但是其本質(zhì)是一回事，結(jié)果出現(xiàn)了關(guān)于發(fā)明微積分的優(yōu)先權(quán)屬誰和誰是剽竊者的大爭論，這一爭論在數(shù)學(xué)史上是十分有名的。

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歐洲大陸的數(shù)學(xué)家支持萊布尼茨，而英國數(shù)學(xué)家捍衛(wèi)牛頓，兩派爭吵激烈，甚至尖銳到互相敵對、嘲笑。這種爭論在各自的學(xué)生、支持者以及英國和德國的數(shù)學(xué)家中持續(xù)了相當(dāng)長的一段時(shí)間。由于萊布尼茨于1672年到達(dá)巴黎，1673年到倫敦，同了解牛頓工作的人有過聯(lián)系。因而有人指責(zé)他剽竊了牛頓的成果。2023/7/2722QDDXSXZK

盡管如此，牛頓和萊布尼茨各有其獨(dú)特的一面，尤其是他們都受過前人特別是巴羅的影響，并且擺脫了巴羅的幾何方式的敘述，而使微積分成了一門獨(dú)立的學(xué)科。

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在他們?nèi)ナ篮蠼?jīng)過長時(shí)間的歷史調(diào)查，特別是對萊布尼茨的研究手稿、萊布尼茨與牛頓的兩次來往書信、以及萊布尼茨與其他英國學(xué)者的通信手稿和交談記錄的分析，終于消除了所謂萊布尼茨可能剽竊的疑點(diǎn)，根據(jù)歷史事實(shí)平息了這場時(shí)間長度跨越了一個多世紀(jì)的爭論，得到了公正的結(jié)論：2023/7/2724QDDXSXZK

雖然牛頓的工作大部分是在萊布尼茨之前作的，但是萊布尼茨關(guān)于微積分的主要思想是他獨(dú)立發(fā)明的。也就是說，1665—1676年微積分產(chǎn)生階段，牛頓（1665—1666）先于萊布尼茨（1673—1676）創(chuàng)立了微積分，而萊布尼茨（1684—1686）早于牛頓（1704—1736）發(fā)表了微積分。2023/7/2725QDDXSXZK

牛頓和萊布尼茨相互獨(dú)立地創(chuàng)建了微積分成為共識，因此“微積分基本定理”也稱為

“牛頓―萊布尼茨公式”。2023/7/2726QDDXSXZK萊布尼茨的其他成就

萊布尼茨不僅對微積分做出了杰出貢獻(xiàn)，他在其它數(shù)學(xué)分支也有重大成就。解析幾何中的坐標(biāo)，代數(shù)中的行列式，常微分非常中的分離變量法等都是他的發(fā)明。他還是組合拓?fù)涞南闰?qū)，數(shù)理邏輯的鼻祖；他也是現(xiàn)代機(jī)器數(shù)學(xué)的先驅(qū)，并發(fā)明了四則計(jì)算機(jī)。2023/7/2727QDDXSXZK他對物理、力學(xué)、化學(xué)、生物、以及地質(zhì)等都有建樹。他當(dāng)然也是著名的哲學(xué)家，并以“單子論”聞名于世。他還具有語言天賦。

2023/7/2728QDDXSXZK1673年，萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了一篇由帕斯卡親自撰寫的“加法器”論文，勾起了他強(qiáng)烈的發(fā)明欲望，決心把這種機(jī)器的功能擴(kuò)大為乘除運(yùn)算。萊布尼茨在獲得了一次出使法國的機(jī)會后，為實(shí)現(xiàn)制造計(jì)算機(jī)的夙愿創(chuàng)造了契機(jī)。在巴黎，萊布尼茨聘請到一些著名機(jī)械專家和能工巧匠協(xié)助工作，終于在1674年造出一臺更完善的機(jī)械計(jì)算機(jī)，能進(jìn)行加、減、乘、除及開方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)。這是繼帕斯卡加法機(jī)后，計(jì)算工具的又一進(jìn)步。2023/7/2729QDDXSXZK

萊布尼茨發(fā)明的機(jī)器叫“乘法器”，約1米長，內(nèi)部安裝了一系列齒輪機(jī)構(gòu)，除了體積較大之外，基本原理繼承于帕斯卡。2023/7/2730QDDXSXZK

萊布尼茨對計(jì)算機(jī)的貢獻(xiàn)不僅在于乘法器，公元1700年左右，萊布尼茨從一位友人送給他的中國“易圖”（八卦）里受到啟發(fā)，最終悟出了二進(jìn)制數(shù)之真諦。雖然萊布尼茨的乘法器仍然采用十進(jìn)制，但他率先為計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)，系統(tǒng)提出了二進(jìn)制的運(yùn)算法則，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2023/7/2731QDDXSXZK也可以說，萊布尼茲的第二個偉大的功績，而且是最富潛力的發(fā)現(xiàn)，就是二進(jìn)制算法，雖然實(shí)際上他并不是發(fā)現(xiàn)這種算法的第一個人。2023/7/2732QDDXSXZK萊布尼茨的物理學(xué)成就也是非凡的。1671年，萊布尼茨發(fā)表了“物理學(xué)新假說”一文，提出了具體運(yùn)動原理和抽象運(yùn)動原理，認(rèn)為運(yùn)動著的物體，不論多么渺小，它將帶著處于完全靜止?fàn)顟B(tài)的物體的部分一起運(yùn)動。2023/7/2733QDDXSXZK他還對笛卡兒提出的動量守恒原理進(jìn)行了認(rèn)真的探討，提出了能量守恒原理的雛型，并在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了“關(guān)于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯誤的簡短證明”，提出了運(yùn)動的量的問題，證明了動量不能作為運(yùn)動的度量單位，并引入動能概念，第一次認(rèn)為動能守恒是一個普通的物理原理。2023/7/2734QDDXSXZK

萊布尼茨充分地證明了“永動機(jī)是不可能”的觀點(diǎn)。他也反對牛頓的絕對時(shí)空觀，認(rèn)為“沒有物質(zhì)也就沒有空間，空間本身不是絕對的實(shí)在性”，“空間和物質(zhì)的區(qū)別就象時(shí)間和運(yùn)動的區(qū)別一樣，可是這些東西雖有區(qū)別，卻是不可分離的”。這一思想后來引起了馬赫、愛因斯坦等人的關(guān)注。2023/7/2735QDDXSXZK1684年，萊布尼茨在“固體受力的新分析證明”一文中指出，纖維可以延伸，其張力與伸長成正比，因此他提出將胡克定律應(yīng)用于單根纖維。這一假說后來在材料力學(xué)中被稱為

馬里奧特——萊布尼茨理論。2023/7/2736QDDXSXZK

1693年，萊布尼茨發(fā)表了一篇關(guān)于地球起源的文章，后來擴(kuò)充為《原始地球》一書，提出了地球中火成巖、沉積巖的形成原因。對于地層中的生物化石，他認(rèn)為這些化石反映了生物物種的不斷發(fā)展，這種現(xiàn)象的終極原因是自然界的變化，而非偶然的神跡。他的地球成因?qū)W說，尤其是他的宇宙進(jìn)化和地球演化的思想，啟發(fā)了拉馬克、賴爾等人，在一定程度上促進(jìn)了19世紀(jì)地質(zhì)學(xué)理論的進(jìn)展。2023/7/2737QDDXSXZK1677年，他寫成《磷發(fā)現(xiàn)史》，對磷元素的性質(zhì)和提取作了論述。他還提出了分離化學(xué)制品和使水脫鹽的技術(shù)。萊布尼茨在生物學(xué)方面、氣象學(xué)方面、形式邏輯方面、心理學(xué)方面、法學(xué)以及語言學(xué)等方面都做出了一定貢獻(xiàn)。2023/7/2738QDDXSXZK作為著名的哲學(xué)家，他的哲學(xué)主要是“單子論”、“前定和諧論”及自然哲學(xué)理論。其學(xué)說與其弟子沃爾夫的理論相結(jié)合，形成了萊布尼茨—沃爾夫體系，極大地影響了德國哲學(xué)的發(fā)展，尤其是影響了康德的哲學(xué)思想。他開創(chuàng)的德國自然哲學(xué)經(jīng)過沃爾夫、康德、歌德到黑格爾得到了長足的發(fā)展。2023/7/2739QDDXSXZK

萊布尼茨很重視與其他學(xué)者的交流。法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家豐唐內(nèi)爾（Fontenelle）評論過：

“萊布尼茨是樂于看到自己提供的種子在別人的植物園里開花的人。”2023/7/2740QDDXSXZK

萊布尼茲對中國的科學(xué)、文化和哲學(xué)思想十分關(guān)注，是最早研究中國文化和中國哲學(xué)的德國人。他向耶酥會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關(guān)中國的情況，包括養(yǎng)蠶紡織、造紙印染、冶金礦產(chǎn)、天文地理、數(shù)學(xué)文字等，并將這些資料編輯成冊出版。他認(rèn)為中西相互之間應(yīng)建立一種交流認(rèn)識的新型關(guān)系。2023/7/2741QDDXSXZK

在《中國近況》一書的緒論中，萊布尼茲寫道：“全人類最偉大的文