參數方程教案第一節曲線的參數方程【教學目標】1．通過圓及彈道曲線的參數方程的建立，使學生理解參數方程的概念，初步掌握求曲線的參數方程的思路．2．通過彈道曲線的參數方程的建立及選取不同參數建立圓的參數方程，培養學生探索發現能力以及解決實際問題的能力．3．從彈道曲線的方程的建立，對學生進行數學的返璞歸真教育，使學生體會數學來源于實踐的真諦，幫助學生樹立空間和時間是運動物體的形式這一辯證唯物主義觀點．【教學重點及難點】重點：曲線參數方程的探求及其有關概念；難點：是彈道曲線參數方程的建立．【教學過程】復習：1．滿足什么條件時，一個方程才能稱作曲線的方程，而這條曲線才能夠稱作方程的曲線？曲線方程的概念：(1)曲線C上任一點的坐標（x,y）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同時以這個方程F(x,y)=0的每一組解(x,y)作為坐標的點都在曲線C上．則，這個方程f(x,y)=0就稱作曲線C的方程，而這條曲線C就稱作這個方程f(x,y)=0的曲線．2．寫出圓心在原點，半徑為r的圓O的方程，并說明求解方法．⊙O的普通方程是：x2+y2=r2；⊙O的參數方程是：（θ為參數）這里，我們從另一個角度重新審視了圓，通過第三個變量θ把圓上任意一點的橫、縱坐標x、y聯系了起來，獲得了圓的方程的另一種形式．二．新課：1．參數方程的定義：一般地，在直角坐標系中，如果曲線上的任意一點的坐標x,y，都是某個變數t的函數，并且對于t的每個允許值，由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，則方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系x,y之間關系的變量t叫做參變數，簡稱參數。2．例：炮兵在射擊目標時，需要考慮炮彈的飛行軌跡、射程等等．現在，我們假設一個炮兵射擊目標，炮彈的發射角為α，發射的初速度為v0，求出彈道曲線的方程．(不計空氣阻力)。我們知道彈道曲線是拋物線的一段．現在的問題就是怎樣求彈道曲線的方程(即點的軌跡方程)，則，怎樣來求點的軌跡方程？（1）建系：建立適當的直角坐標系；以炮口為原點，水平方向為x軸，建立直角坐標系。（2）設標，設炮彈發射后t秒時的位置為M(x，y)．(3)列式：即找出x及y之間的關系。怎樣把x、y之間的關系聯系起來呢。這里，炮彈的運動實際上是物理學中的斜拋運動．炮彈在水平方向作勻速直線運動，在豎直方向上作豎直上拋運動．顯然在x、y分別是炮彈飛行過程中的水平位移和豎直位移(豎直高度)。x、y都及時間t有關．在水平方向的初速度是v0cosα，在豎直方向的初速度是v0sinα.水平方向的位移，因為水平方向是作勻速直線運動，所以x=v0cosα;在豎直方向上，炮彈作豎直上拋運動，即炮彈受重力的作用作初速度不為零的勻減速直線運動．所以y=v0sinα·t-gt2這里我們把水平位移和豎直位移都用時間t表示出來了，即把x、y都表示成了t的函數，t應該有一個確定的范圍？令y=0，得t=0或t=，∴0≤t≤。當t=時炮彈剛落地。記為T。則這個方程組表示的是彈道曲線的方程。前面我們舉的圓和彈道曲線這兩個例子中，這兩個方程組有一個共同的特點，就是曲線上的點的坐標x,y之間的關系不是直接的，而是通過第三個變量間接地聯系起來的．在圓的參數方程中旋轉角θ參及了方程組的建立，且x、y都是θ的函數；在彈道曲線的參數方程中時間t參及了方程組的建立，且x、y都是t的函數。參數方程的定義：在給定的坐標系中，如果曲線上任一點的坐標x、y都是某個變量t的函數※，且對于的t每一個允許值，由※所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，則※就叫做曲線的參數方程，叫參變數，簡稱參數。相對于參數方程來說，以前的方程是有所不同的。為了區別起見，我們把以前學過的方程稱作曲線的普通方程。參數可以有明確的幾何意義(旋轉角θ——幾何的)，也可以有明顯的物理意義(時間t——物理的)．事實上，除此之外，還可以是沒有明顯意義的變數．即使是同一條曲線，也可以用不同的變數作參數．曲線參數方程的建立，不但能使曲線上點的坐標較容易通過參數聯系起來，同時某些情況下還可較好地反映變數的實際意義，如彈道曲線中，x表示炮彈飛行的水平位移，y表示炮彈飛行的豎直高度．求出炮彈的最大水平射程和相應的最大豎直高度？∵當t=時炮彈剛落地∴x=v0cosα=，2α=，即α=，得x最大=當,t=,y最大=v0sin-==。【練習】動點M作等速直線運動，它在x軸、y軸方向的速度分別為9和12，運動開始時點M位于A（1，1），求M點軌跡的參數方程。求半徑為5，圓心在點（2，-5）的圓的參數方程。求經過兩個不同的N（x1，y1）,M(x2,y2)的直線的參數方程。物體從H米的高處以初速度v米/秒沿水平方向拋出，寫出物體所經過路徑的參數方程。作水平飛行的飛機速度為150米/秒，飛行高度為H=720米，若飛機從這個高度進行投彈。求：炮彈離開飛機后的軌跡的參數方程。飛機及目標的水平距離多少時，投彈才能命中目標？從拋出炮彈到命中的時間？【小結】曲線的參數方程的概念。參數方程的優越性：①當建立兩個變量之間的直接聯系比較困難，可以利用參數建立兩個變量之間的間接的聯系。②參數一般帶有物理意義和幾何意義，可以利用它們的物理意義和幾何意義來解決實際問題。【課程后反思】1．未來社會對人才素質的要求越來越高．高素質人才的培養對學校教育提出了更高的要求．由于人的素質是多方面的，因此課堂教學的目的不但要向學生傳授科學知識，而且還要努力發展學生的思維，提高學生的能力，培養學生的個性品質．顯然這種多元化的教學目標對于全面提高學生的素質有著重要的作用．本節課的3個教學目標正是據于這樣的思考而制定的．2．這節課按如下步驟逐漸展開：(1)圓的參數方程；(2)彈道曲線的參數方程；相對于彈道曲線來說，學生對圓感到既熟悉，又簡單．從簡單而又熟悉的圓開始研究，符合循序漸進的原則，縮短了學生思維的“跨度”，加快了學生思維的步伐，為學生利用類比的方法，進一步研究彈道曲線的方程(參數方程)，提供了可參照的“樣本”．這對于發展學生的思維品質，培養學生的合情推理能力都是十分有益的．在探求彈道曲線的參數方程中，如果按教材中直接取炮口為原點，水平方向為x軸，建立直角坐標系，并直接由物理學中的勻速直線運動和豎直上拋運動的位移公式得參數方程通過圓及彈道曲線的參數方程的特點分析，讓學生自行給這類方程命名，這種把命名權交給學生的做法極大地尊重了學生的主體地位，強化了學生的主體意識．在此基礎上，引導學生給出曲線參數方程的一般定義．旨在培養學生由具體到抽象的推理能力．將兩個例子作了進一步研究．通過對圓的參數方程的不同表述，使學生體會到對同一個問題，可以選取不同的變數作參數．既培養了學生發散思維的能力，又培養了學生優化選擇的意識．而對炮彈最大水平射程和相應的最大豎直高度的求解，一方面可使學生明了本題中通過參數t聯系起來的x、y的最大值，有著鮮明的實際意義(幾何的)，另一方面又及前面提出的炮彈射擊目標的例子中需要考慮的射程問題前后呼應，使學生領略到數學源于實踐又服務于實踐的真諦．求曲線的參數方程一。復習：什么是曲線的參數方程？樣求曲線的參數方程：①建立坐標系，②選好適當的參數，及時間有關的運動物體，可以選擇時間作為參數；旋轉的物體，可以選擇旋轉角作為參數。直線運動的物體可以把位移作為參數。③把x,y分別表示為參數t的函數，并且聯立。二．幾種常用曲線的參數方程直線：α為傾斜角，t為動點M離開定點M0的位移，當t>0時，M點在M0的上方。當t<0時，M點在M0的下方。當t=0時，M點及M0點重合。，表示過P1（x1,y1）,P2(x2,y2)點的直線的參數方程，（但不包括P2點）；是表示過P0（x0,y0），的直線的參數方程；當m2+n2=1,參數|t|表示動點M離開定點M0的距離。m2+n2≠1，參數t沒有明確的幾何意義。2．圓：，（θ是參數）3.橢圓：4．雙曲線：例1：OA是圓的直徑，長是2a，直線OB及⊙交于M1，及經過A點的圓的切線交于B，MM1⊥OA，MB‖OA，以O為原點，OA方向為軸的正方向建立直角坐標系，求M點的軌跡方程。分析：點M是隨OM1的變化而變化，∴設∠xoM1=θ，θ為參數。解：M點的坐標為（x,y）,設∠xoM1=θ，θ為參數。x=OC=|OM1|cosθ=|OA|cosθcosθ=2acos2θ;y=AB=|OA|tgθ=2atgθ;M點的參數方程是例2．求拋物線x2=4y的過焦點弦的中點的軌跡方程。分析：過焦點弦的中點是及過焦點的直線的斜率k有關，∴選過焦點的直線的斜率k作為參數。解：設過焦點的弦的中點M（x,y）,焦點坐標是（0，1），所在直線的斜率為k，則直線方程為y-1=kx,→x2-4kx-4=0，由違達定理x1+x2=4k，∴x==2k，代入y=kx+1中得y=2k2+1∴過焦點的弦的中點的軌跡方程是例3．過M點（2，-1），傾斜角為135°的直線及圓x2+y2=4相交于A、B兩點，求：①AB的中點坐標；②|AM||BM|；③|AB|。解：①過點（2，-1），傾斜角為135°的直線的參數方程是:,代入圓方程x2+y2=4,得t2-3t+1=0,t1+t2=3,t1t2=1AB中點對應的參數t==,代入直線的參數方程，得，∴AB中點的坐標是()：②|AM|·|BM|=|t1t2|=1;③|AB|=|MB-MA|=|t1-t2|==評注：這里利用了直線的點角式參數方程中的參數的幾何意義。【練習】（1）下列哪個點在曲線上（）A．；B．；C．；D．。（2）直線的傾斜角（）A．B．；C．；D．。（3）直線l經過P（-3，2），傾斜角為，且及曲線相交于A、B兩點，求：|PA||PB|。（4）已知⊙O的半徑為a(a>0)，若以過原點的弦所在直線的斜率k為參數，求圓的參數方程：若以過原點的弦長t為參數，求圓的參數方程。【小結】樣求曲線的參數方程：①建系：建立適當直角坐標系，②選參：選擇適當的參數，及時間有關的運動物體，可以選擇時間作為參數；旋轉的物體，可以選擇旋轉角作為參數。直線運動的物體可以把位移作為參數。③設標：設曲線上任意一點M的坐標為（x,y）④列式：把x,y分別表示為參數t的函數，并且聯立。常用曲線的參數方程：直線：①；②；③（2）圓：，（θ是參數）,→(x-x0)2+(y-y0)2=r2（3）橢圓：,→雙曲線：；→拋物線：,→y2=2px參數方程的應用：利用直線的點角式參數方程的參數t的幾何意義；把曲線上的點坐標用參數形式表示。第三節參數方程和普通方程的互化【教學目標】1．掌握把參數方程及普通方程互化的基本思路。。2．理解參數方程和消去參數后所得的普通方程是等價的3．基本掌握消去參數的常用方法．4．培養學生觀察、猜想和靈活地進行公式的恒等變形的能力．即在“互化”訓練中，提高學生解決數學問題的轉化能力．【教學重點及難點】使學生掌握參數方程及普通方程之間的互化法則，明確新舊知識之間的聯系，掌握消去參數的基本方法．【教學過程】復習：曲線參數方程的定義。參數方程及普通方程之間的互化：參數方法是研究曲線和方程的又一種方法，是一種利用參數建立兩個變量之間的間接聯系的方法．也就是說，參數方程里的參數可以協調x、y的變化．基于這點理論，有時為了判定曲線的類型、研究曲線的幾何性質，需要把參數方程化為普通方程．即想辦法消去參數k，把參數方程轉化為我們熟知的普通方程，再去研究它的幾何性質就容易了．參數方程參數方程化為普通方程：消參，即消去參數方程中的參數；普通方程化為參數方程：選參，即通過適當選擇參數，將普通方程化為參數方程。例1：消去參數t，將曲線的參數方程化為普通方程：。解：將x=v0t變為t=，代入2式中，得y=h-.例2：已知參數方程(1)消去參數t，將曲線的參數方程化為普通方程，并說出方程表示的是什么曲線？(2)消去參數θ，將曲線的參數方程化為普通方程，并說出方程表示的是什么曲線？解：（1）從①得，代入②得：，表示直線。（2）利用三角公式：sin2θ+cos2θ=1，得x2+y2=t2，表示以原點為圓心圓。例3：消去參數t，將曲線的參數方程化為普通方程，并說出方程表示的是什么曲線？解：三角公式：sin2t+cos2t=1，得:,表示橢圓。消參的基本方法——①代入消參法；②加減（乘除）消參法；③利三角恒等變換或代數恒等變換例4：求下列曲線的所表示的圖形：（t是參數）（1）；（2）解：（1）從①得=x-1，代入②得y=2(x-1)-1=2x-3,注意到≥0，∴x≥1。∴參數方程表示射線：y=2x-3,(x≥1)。利用三角公式：Cos2t=2cos2t-1，把①化為：cost=x-1，代入②得：y=2(x-1)2-1=2x2-4x-3,且cost∈[-1,1]，∴x∈[0,2]，∴參數方程表示拋物線y=2x2-4x-3,x∈[0,2]的一部分。注意；把參數方程化為普通方程要兩個方程的等價性，特別要注意參數的范圍對x,y的限制。例5：消去參數k，將曲線的參數方程化為普通方程：，并說出方程表示的是什么曲線？解:把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4)它的圖形是圓。例6：把彈道曲線的參數方程，化為普通方程。故炮彈描繪的曲線是一條拋物線．(含頂點在內的一部分．因為二次項系數是負值，所以這是開口向下的拋物線，及實際問題相吻合．)例7：把參數方程化為普通方程即3x+5y-11=0是所求的普通方程。在解題時注意參數t的取值范圍，t為不等于-1的實數，即t≠-1，∴x≠-33x+5y-11=0(x≠-3)是所求的普通方程，它的軌跡是一條直線(去掉點(-3，4))．注意：在化參數方程為普通方程時，必須注意變數的范圍不應擴大或縮小，也就是對應曲線上的點不應增加也不應減小．這就要求參數方程和消去參數后的普通方程等價。例8．

化下列參數方程為普通方程．解

：(1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ，所以

(x+1)2+y=1，(0≤y≤1)．所以x2-y2=4．小結：1．消去參數的方法常用的有哪些？消去參數的方法常用的有以下兩種：代入法：先求出參數的表達式，然后代入另一個方程中去．加減（乘除）消參法；(3)利用代數或三角函數中的恒等式消去參數．2．轉化過程中應注意什么？轉化過程中應注意參數的范圍不能擴大也不能縮小．也就是對應曲線上的點，不應增加也不應減少，保證參數方程和消參后的普通方程等價．例9：在曲線(x+1)y=1上求一點P，使它到直線x+2y+3=0的距離最小，并求這個最小值。分析：曲線方程中有2個變量，其中的x和y表示曲線上點的坐標；如果用參數方程表示．問題可轉化為討論當θ為何值時，點P到直線的距離最小問題。參數方程之所以能描繪出動點的軌跡，是由于當給出一個參數值時，就能唯一地求出相應的x及y的值，因而也就確定了這時點所在的位置．解：把曲線(x+1)y=1化為參數方程。設P(tgθ-1,ctgθ)曲線上一點，由點到直線的距離公式，d=.因為tanθ、cotθ同號，∴|tgθ+2ctgθ|=|tgθ|+|2ctgθ|≥2又|tgθ+2ctgθ+2|≥|tgθ+2ctgθ|-|2|=2-2,∴d≥,此時，tgθ=2ctgθ=-。即P（--1，）到直線x+2y+3=0的距離最小。最小值是從例`9的結論知道，參數θ不是問題的主要對象，卻能牽動主要對象的根本性質．這個問題的解決再一次說明：參數方程能明確地揭示點的運動規律，對解決某些問題有不可替代的優越性．【練習】一、把下列參數方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線．二、關于t的方程t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，y∈R，i是虛數單位)有實根，求動點P(x，y)的軌跡的普通方程．下面是作業題略解．一、(1)(x-x0)2+(y-y0)2=t2，以(x0，y0)為圓心，|t|為半徑的圓．(2)y-y0=tanθ(x-x0)，過點(x0，y0)，斜率是tanθ的直線．(3)2x+y-5=0(0≤x＜3)，缺一個端點的線段．(4)y2-x2=4(y≥2)，雙曲線的上支．二、已知方程整理為：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因為x，y，t∈R，得4x2+y2+4x-2y=0為所求．設計說明參數方程及普通方程的互化，應該是兩課時，這是第一課時的內容：參數方程化為普通方程．對這一問題課本僅用3／2頁的篇幅介紹了互化的方法共3個例題．縱觀全章《參數方程、極坐標》也只是對參數方程進行了初步研究．而事實上，參數方程也是解析幾何的重要內容之一，是繼續學習數學知識的基礎，在生產實踐中也有廣泛的應用．我們知道，參數方程及帶有參數的問題固然不同，但是學習參數方程對于熟練參數的運用卻很有幫助．更有一類問題，看來不是參數方程，而實質上是參數方程問題．第四課時參數方程小結一．參數方程的：在給定的坐標系中，如果曲線上任一點的坐標x、y都是某個變量t的函數※，且對于的t每一個允許值，由※所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，則※就叫做曲線的參數方程，叫參變數，簡稱參數。二．參數方程的優越性：當建立兩個變量之間的直接聯系比較困難，可以利用參數建立兩個變量之間的間接的聯系。參數一般帶有物理意義和幾何意義，可以利用它們的物理意義和幾何意義來解決實際問題。參數方程能明確地揭示點的運動規律，對解決某些問題有不可替代的優越性．樣求曲線的參數方程：（1）建系：建立適當直角坐標系，（2）選參：選擇適當的參數，及時間有關的運動物體，可以選擇時間作為參數；旋轉的物體，可以選擇旋轉角作為參數。直線運動的物體可以把位移作為參數。（3）設標：設曲線上任意一點M的坐標為（x,y）（4）列式：把x,y分別表示為參數t的函數，并且聯立。常用曲線的參數方程：直線：①；②；③（2）圓：，（θ是參數）,→(x-x0)2+(y-y0)2=r2（3）橢圓：,→（4）雙曲線：；→（5）拋物線：,→y2=2px參數方程的應用：（1）利用直線的點角式參數方程的參數t的幾何意義；把曲線上的點坐標用參數形式表示,使把曲線上的點由二元轉化成為一元。有利于解題。用參數法求動點的軌跡方程。六．消去參數的方法（1）代入法：先求出參數的表達式，然后代入另一個方程中去．（2）加減（乘除）消參法；（3）利用代數或三角函數中的恒等式消去參數．七．參數方程及普通方程轉化過程中應注意什么？轉化過程中應注意參數的范圍不能擴大也不能縮小．也就是對應曲線上的點，不應增加也不應減少，保證參數方程和消參后的普通方程等價．【例題】例1．

化下列參數方程為普通方程．解

：(1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ，所以

(x+1)2+y=1，(0≤y≤1)．所以x2-y2=4．例2：在曲線(x+1)y=1上求一點P，使它到直線x+2y+3=0的距離最小，并求這個最小值。分析：曲線方程中有2個變量，其中的x和y表示曲線上點的坐標；如果用參數方程表示．問題可轉化為討論當θ為何值時，點P到直線的距離最小問題。參數方程之所以能描繪出動點的軌跡，是由于當給出一個參數值時，就能唯一地求出相應的x及y的值，因而也就確定了這時點所在的位置．解：把曲線(x+1)y=1化為參數方程。設P(t