第三章圓1．圓一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在小學已認識過圓這種幾何圖形、畫圖、圓的周長、面積的公式；學生已通過折紙，對稱、平移、旋轉等方式認識圓的有關性質，積累了對圓的一些認識，具備了畫圓和計算機周長、面積的基本技能，了解了圓是軸對稱圓形和中心對稱圓形等基礎知識。學生活動經驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生運用圓的周長、面積公式，解決了一些簡單的現實問題，感受到公式的如何運用，獲得了數學知識在日常的重要性，同時，在以前的數學學習中經歷了探索交流的學習過程，具有一定的經驗和能力。二、教學任務分析本節課的教學目標是：知識與技能1．圓的相關概念；2．點與圓的位置關系．過程與方法經歷形成圓的概念的過程，經歷探索點和圓位置關系的過程。理解圓的概念，理解點和圓的位置關系，并能根據條件畫出符合條件的點或圖形，初步形成集合的現念。情感態度與價值觀讓學生在經歷圓的概念的形成過程中，通過探索與交流，進一步發展學生探索交流的能力和數學表達能力。2．在學習中體會圓的實際應用，感受數學與現實生活的密切聯系，增強學生的數學應用意識，初步培養學生的定義理論，為依據分析問題、解決問題的良好習慣。三、教學過程分析第一環節：情境引入（實際生活原感受，概括定義）活動內容：錄用一幅大會的開幕詞，展示幾種車子的圖形，留心觀察，車輪的形狀，以及一幅游戲的畫面，這幾幅圖從不同的角度去選用，從離自己較遠的方面到涉及到自己有關的方面，逐漸引入。活動目的：通過第1幅圖片，引起學生的興趣；第二幅圖片，是我們生活中很常見交通工具，其車輪是圓形，在頭腦已經有很深烙印，但為什么做成圓形呢？與車輪做成正方形、矩形、三角形又怎樣？第三幅圖片，通過提出為什么？講出理由，自然而然地引出圓的概念。第二環節：探討研究活動內容：然后通過選用有代表性的五個點A、B、C、D、E，來研究點和圓的位置關系。活動目的：這里通過學生的積極參與、激發興趣后，主動去探索、討論、積極發表自己的看法。使學生主動參與學習活動，增強了學好數學的自信心。第三環節：練習理解。活動內容：1、體育教師想利用3m長的繩子在操場上畫一個半徑為3m圓，你能幫他想想辦法嗎？2、小明和小華正在練習投鉛球，小明投了5.2m，小華投了6.7m，他們投的球分別落在下圖中哪個區域內？3、如圖，一根5m長的繩子，一端拴在柱子上，另一端拴著一只羊（羊只能在草地上活動），請畫出羊的活動區域。AADBC0DABCDABCE6、設AB=3cm，作圖說明滿足下列要求的圖形：（1）到點A和點B的距離都等于2cm的所有點組成的圖形。（2）到點A和點B的距離都小于2cm的所有點組成的圖形。活動目的：對本節知識進行鞏固練習并回顧相應的幾何定理，經歷用集合的觀點理解圓形的過程。實際教學效果：學生對第1，3兩題很容易理解，但對第2題小羊向右轉時，多數學生不會以豎直轉角為圓心另一圓弧，結果小羊的活動范圍擴大了，這時最好用實物圖形進行嘗試，加深理解。第四環節：鏈接生活123123456789101、舉出成圓形的一些物體的實例，并研討人們為什么將它們制作成圓形。2、下圖是一張靶紙，靶紙上的1、2…10表示擊中該靶區的環數，靶中每個圓環的寬度相等，正中小圓的半徑與各圓環的寬度相等，已知小明射擊了一次，且已肯定中靶，求小明此次擊中10環的概率。BCADBCAD110220（1）該城市是否會受到這次臺風的影響？請說明理由；（2）若會受臺風影響，則臺風影響該城市的持續時間有多長？（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？第五環節：課堂小結活動內容：師生互相交流總結點和圓的三種位置關系；怎樣判斷其位置關系，日常生活中利用圓的例子，與圓有關計算、證明的題目等。活動目的：鼓勵學生結合本課的學習，談自己的收獲與感性（學生暢所欲言，教師給予鼓勵），包括日常生活中利用圓的例子，點和圓的位置關系，如何判斷，怎樣利用圓的知識計算、證明。第六環節：布置作業DACBDACB02、已知⊙0的面積為25π。（1）若PO=5.5，則點P在圓外；（2）若PO=4，則點P在圓內；（3）若PO=5，則點P在⊙0上。2、設AB=3cm，作圖說明：到點A的距離小于2cm，且到點B的距離大于2cm的所有點組成的圖形。2．圓的對稱性一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在七、八年級已經學習過軸對稱圖形以及中心對稱圖形的有關概念及性質，以及本節定理的證明要用到三角形全等的知識等。學生的活動經驗基礎：在平時的學習中，學生逐步適應應用多種手段和方法探究圖形的性質。同時，在平時的教學中，我們都鼓勵學生獨立探索和四人小組互相合作交流，使學生形成一些數學活動的經驗基礎，具備一定探求新知的能力。二、教學任務分析本節課的教學目標是：知識與技能：1．理解圓的軸對稱性及其相關性質；2．利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理．過程與方法：1．經歷探索圓的對稱性及相關性質的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法。情感態度與價值觀：培養學生獨立探索，相互合作交流的精神。通過學習垂徑定理及其逆定理的證明，使學生領會數學的嚴謹性和探索精神，培養學生學習實事求是的科學態度和積極參與的主動精神。教學重點：利用圓的軸對稱性研究垂徑定理及其逆定理．教學難點：和圓有關的相關概念的辨析理解。三、教學過程分析第一環節課前準備活動內容：每人制作兩張圓紙片（最好用16K打印紙）預習課本P88~P92內容活動目的：通過第1個活動，希望學生能利用身邊的工具去畫圖，并制作圖紙片，培養學生的動手能力；在第2個活動中，主要指導學生開展自學，培養良好的學習習慣。第二環節創設問題情境，引入新課活動內容：教師提出問題：軸對稱圖形的定義是什么？我們是用什么方法研究了軸對稱圖形？活動目的：通過教師與學生的互動，一方面使學生能較快進入新課的學習狀態，另一方面也提高學生的學習的興趣，讓他們帶著問題去學習，揭開了探究該節課內容的序幕。第三環節講授新課活動內容：想一想圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？你是用什么方法解決上述問題的？認識弧、弦、直徑這些與圓有關的概念。探索垂徑定理。做一做1．在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折使圓的兩半部分重合．2．得到一條折痕CD．3．在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點M是兩條折痕的交點，即垂足．4．將紙打開，新的折痕與圓交于另一點B，如右圖問題：（1）觀察右圖，它是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？（2）你能發現圖中有那些等量關系？說一說你的理由。總結得出垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。講解例題及完成隨堂練習。[例1]如右圖所示，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中CD，點O是CD的圓心)，其中CD=600m，E為CD上一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m．求這段彎路的半徑．練習：完成課本P92隨堂練習：1探索垂徑定理逆定理并完成隨堂練習。想一想：如下圖示，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點M．同學們利用圓紙片動手做一做，然后回答：（1）上圖是軸對稱圖形嗎如果是，其對稱軸是什么（2）你能發現圖中有那些等量關系？說一說你的理由。總結得出垂徑定理逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。練習：完成課本P92隨堂練習：2活動目的：內容（一）的主要目的就是通過學生動手實驗，采用折疊的方法認識圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；內容（二）的主要目的就是讓學生弄清和圓有關的這些概念，便于以后內容的學習研究；內容（三）的主要目的就是通過學生做一做，觀察，猜想，驗證等的過程得到新知，同時也培養學生合作交流的能力，以及再次體會研究圖形的多種方法。內容（四）的主要目的讓學生應用新知識構造直角三角形，并通過方程的方法去解決幾何問題。內容（五）的主要目的與內容（三）相似。實際教學效果：E對于活動（一），學生在探索圓是軸對稱圖形時，應該把機會留給學生，讓他們相互交流，發表自己的想法；對于活動（二），要注意讓學生借助圖形去認識，并弄清他們之間的聯系和區別，還應該注意補充一些概念，如半圓，劣弧，優弧等；對于活動（三），師生要按四個步驟共同操作，逐步引導學生通過觀察，猜想到理論驗證垂徑定理，并幫助學生去理解和記憶垂徑定理，如推理格式：如圖所示ECO⊥AB，CD為⊙O的直徑AM=BM，AD=BD，AC=BC。另外在證明垂徑定理時，學生對如何證明平分弦所對的弧會較難表述。教師要運用軸對稱性啟發引導。對于活動（四），教師要引導學生如何應用垂徑定理去更好銜接上，至于這一逆定理的探索過程與前面垂徑定理的探索過程類似，在完成隨堂練習時，教師要提示學生，符合條件圖形有三種情況：圓心在平行弦外，在其中一條弦上、在平行弦內，但說理的思路都是一樣。第四環節課堂小結活動內容：師生互相交流總結：本節課我們探索了圓的軸對稱性；利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理；垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。活動目的：通過回顧本節課經歷的各個環節，鼓勵學生暢談自己的收獲和感想，培養學生良好的學習習慣。實際教學效果：學生在互相交流中，對于歸納出來的內容，會有各種表述，只要合理，教師都應該鼓勵。第五環節課后作業課本習題3.2，1，2。試一試1預習課本P94~97內容。3．垂徑定理一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在七、八年級已經學習過軸對稱圖形以及中心對稱圖形的有關概念及性質，以及本節定理的證明要用到三角形全等的知識等。在上節課中，學生學習了圓的軸對稱性，并利用軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理。學生具備一定的研究圖形的方法，基本掌握探究問題的途徑，具備合情推理的能力，并逐步發展了邏輯推理能力。學生的活動經驗基礎：在平時的學習中，學生逐步適應應用多種手段和方法探究圖形的性質。同時，在平時的教學中，比較注重學生獨立探索和四人小組互相合作交流，使學生形成一些數學活動的經驗基礎，具備一定探求新知的能力。二、教學任務分析本節課的教學目標為：知識與技能：1．理解圓的旋轉不變性；2．利用圓的旋轉不變性研究圓心角、弧、弦之間相等關系的定理．過程與方法：經歷探索圓的對稱性及相關性質的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法。通過觀察、比較、操作、推理、歸納等活動，發展學生推理觀念，推理能力以及概括問題的能力。情感態度與價值觀：培養學生積極探索數學問題的態度與方法。教學重點：利用圓的旋轉不變性研究圓心角、弧、弦之間相等關系的定理．教學難點：理解相關定理中“同圓”或“等圓”的前提條件．三、教學過程分析第一環節課前準備活動內容：（提前一天布置）每人用透明的膠片制作兩個等圓。預習課本P94--97內容。第二環節創設問題情境，引入新課活動內容：問題提出：我們研究過中心對稱圖形，我們是用什么方法來研究它的，它的定義是什么？活動目的：為了引出圓的旋轉不變性。實際教學效果：讓學生認識到圓是一個特殊的圖形，既是一個軸對稱圖形，又是一個中心對稱圖形，從而使學生較為自然地探討圓的其他特性。0’0O活動內容：（一）通過教師演示實驗，探究圓的旋轉不變性；請同學們觀察屏幕上兩個半徑相等的圓。請回答：它們重合嗎？如果重合，將它們的圓心固定。將上面的圓旋轉任意一個角度，兩個圓還重合嗎歸納：圓具有旋轉不變性。即一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圓形重合。圓的中心對稱性是其旋轉不變性的特例。即圓是中心對稱圓形，對稱中心為圓心。（二）通過師生共同實驗，探究圓心角、弧、弦、弦之間相等關系定理；做一做1、利用手中已準備的兩張半徑相等的透明圓膠片，在⊙O和⊙O′上分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′圓心固定。2、將其中的一個圓旋轉一個角度，使得OA與O′A′重合。由此得到：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。想一想1、在同圓或等到圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，則它們所對的弧相等嗎？你是怎么想的？2、在同圓或等到圓中，如果兩條弦相等，則它們所對的圓心角相等嗎？它們所對的弧相等嗎？你是怎么想的？探索總結：定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則它們所對應的其余各組量都分別相等。CACAFBEOD例1如圖，在⊙O中，AB，CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥AB重足分別為E，F．⑴如果∠AOB=∠COD，則OE與OF的大小有什么關系？為什么？⑵如果OE=OF則AB與CD的大小有什么關系？為什么？∠AOB與∠COD呢？練習：完成課本P97隨堂練習1、2、3實際教學效果：1、學生做活動（二）內容的實驗時，在畫與重合時，要使相對于的方向與相對于的方向一致,否則當與重合時,與不重合。2、要幫助學生理解用疊合法說明該定理。3、在運用這個定理時，一定不能惦記“在同圓或等圓中”這個前提，可通過舉反例強化對定理的理解如下所示，雖然=，但，。4、例題的學習，將定理擴充為“圓心角、弧、弦、弦心距之間相等”關系定理，要結合圖形深刻體會圓心角、弧、弦、弦心距這四個概念和“所對”一詞的含義，否則易錯用此關系。第四環節課時小結活動內容：在得出本節結論的過程中，我們使用了哪些研究圖形的方法？（同學們互相討論，歸納）活動目的：培養學生總結，歸納知識的能力，語言的表述能力。要讓學生有充分的時間進行交流，討論。教師在當中要引導學生去歸納。如：折疊、軸對稱、旋轉、證明等方法。第五環節創新探究活動內容：如圖，在⊙中，弦，的延長線與的延長線相交于點，直線交⊙于點，，你以為與有什么大小關AECMBDPON系？為什么？AECMBDPON活動目的：通過弦這個條件聯想構造它們所對的弦心距的輔助線，去應用本節所學的定理，培養學生綜合運用知識的能力。實際教學效果：該問題可以一題多變，充分讓學生感受到該圖形的美，培養學生的發散思維。第六環節課后作業1、課本P98習題3.3:1,2,34．圓周角和圓心角的關系（一）一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在上一節的內容中已掌握了圓心角的定義及圓心角的性質。掌握了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則它們所對應的其余各組量都分別相等。初步了解研究圖形的方法，如折疊、軸對稱、旋轉、證明等。學生的活動經驗基礎：在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學任務分析本節課的教學目標為：知識與技能了解圓周角的概念。2．理解圓周角定理的證明。過程與方法1．經歷探索圓周角和圓心角的關系的過程，學會以特殊情況為基礎，通過轉化來解決一般性問題的方法，滲透分類的數學思想。2．體會分類、歸納等數學思想方法。情感態度與價值觀通過觀察、猜想、驗證推理，培養學生探索問題的能力和方法。教學重點：圓周角概念及圓周角定理。教學難點：認識圓周角定理需分三種情況證明的必要性。三、教學過程分析第一環節創設問題情境，引入新課活動內容：通過一個問題情境，引入課題ABC在射門游戲中，球員射中球門的難易與他所處的位置B對球門AC的張角（∠ABC）有關。如圖，當他站在B，D，E的位置射球時對球門ACABC第二環節新知學習活動內容：（一）圓周角的定義的學習為解決這個問題我們先來研究一種角。觀察圖中的∠ABC，頂點在什么位置？角的兩邊有什么特點？可以發現，它的頂點在圓上，它的兩邊分別與圓還有另一個交點。像這樣的角，叫做圓周角。請同學們考慮兩個問題：（1）頂點在圓上的角是圓周角嗎？（2）角的兩邊都和圓相交的角是圓周角嗎？判斷下列圖示中，各圖形中的角是不是圓周角？并說明理由。通過學生完成練習自己總結出圓周角的特征。圓周角有兩個特征：①角的頂點在圓上；(2)兩邊在圓內的部分是圓的兩條弦。活動目的：通過學生主動觀察，探索概念的形成，這樣能使學生更好地理解概念。（二）圓周角定理的學習我們先研究一條弧所對的圓周角與它所對的圓心角之間的關系。請同學們在圓上確定一條劣弧，畫出它所對的圓心角與圓周角。BABACO③BBAOC①ABCO②引導學生通過小組交流討論的方式，分別考慮這三種情況下，∠ABC和∠AOC之間的大小關系．由此得到：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。活動目的：學生通過畫圖，滲透分類討論的思想，由特殊到一般解決問題的策略。由學生的畫圖結果我們得到三種圖形。在這三種情況下，提問∠ABC與∠AOC的大小有什么關系？通過這個問題的提出，引導學生由特殊到一般解決問題。再由推理論證得到結論。當學生證明了圖1的情形后，讓學生思考：圖2、圖3兩種情況能否轉化為第一種情況？如何轉化？實際上，實現轉化的方法是連接BO并延長。教學過程中要有意識地向學生滲透解決問題的策略以及轉化、分類、歸納等數學思想方法。第三環節練習活動內容：1．如圖，在⊙O中，∠BOC=50°，則∠BAC=。變化題1：如圖，點A，B，C是⊙O上的三點，∠BAC=40°，則∠BOC=變化題2：如圖，∠BAC=40°，則∠OBC=ABCDOAOCB2．如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOCABCDOAOCBABABCOABCO3．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，且∠BCD=100°，求∠BOD（BCD所對的圓心角）和∠BAD的大小。活動目的：通過練習目的是使學生熟練地掌握圓周角與圓心角的關系。通過圖形和條件的變化，讓學生了解要找出圓周角與圓心角的關系，就必須找出它們所對的同一條弧。如圖，當他站在B如圖，當他站在B，D，E的位置射球時對球門AC的張角的大小是相等的？為什么呢？到目前為止,我們學習到和圓有關的角有幾個它們各有什么特點相互之間有什么關系第五環節布置作業課后思考課后思考4．圓周角和圓心角的關系（二）一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在上一節的內容中已掌握了圓心角的定義及圓心角的性質。掌握了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則它們所對應的其余各組量都分別相等。在上一課時中，了解了同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系。初步了解研究圖形的方法，如折疊、軸對稱、旋轉、證明等。學生的活動經驗基礎：在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學任務分析本節課的教學目標為：知識與技能掌握圓周角定理幾個推論的內容。2.會熟練運用推論解決問題。過程與方法1．培養學生觀察、分析及理解問題的能力。2．在學生自主探索推論的過程中，經歷猜想、推理、驗證等環節，獲得正確的學習方式。情感態度與價值觀培養學生的探索精神和解決問題的能力ABCOABCOABCO教學難點：理解幾個推論的“題設”和“結論”。三、教學過程分析第一環節復習引入新課活動內容：（一）復習1．如圖，∠BOC是角，∠BAC是角。若∠BOC=80°，∠BAC=。2．如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠ABO=65°，則∠BCA=（）（二）引入新課觀察圖①，∠ABC，∠ADC和∠AEC各是什么角？它們有什么共同的特征？它們的大小有什么關系？為什么？BCAO圖③BAECDO解決上一課時中遺留的問題：如圖，當他站在B，DBCAO圖③BAECDOAABCO圖②第二環節新知學習活動內容：議一議1．通過對上面問題的討論，引導學生總結：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等。提問：如果把上面的同弧改成等弧，結論成立嗎？進一步得到：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結論成立嗎？請同學們互相議一議。2．觀察圖②，BC是⊙O的直徑，它所對和圓周角是銳角、直角、還是鈍角？你是如何判斷的？觀察圖③，圓周角∠BAC=90°，弦BC經過圓心嗎？為什么？由以上我們可得到：直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。活動目的：通過互相交流討論，總結規律。通過老師把問題進一步深化和變化，引導學生得到正確的定理。實際教學效果：在教學時注意（1）“同弧”指“同一個圓”。（2）“等弧”指“在同圓或等圓中”。（3）“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”。第三環節練習活動內容（一）例題講解ABABCDO2．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB。BD與CD的大小有什么關系？為什么？分析：由于AB是⊙O的直徑，故連接AD。由直徑所對的圓周角是直角，可得AD⊥BC，又因為△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三線合一，可證得BD=CD。3．船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁。如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經過A，B兩點的一個圓形區域內，C表示一個危險臨界點，∠ACB就是“危險角”，當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時，就有可能觸礁。（1）當船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時，船位于哪個區域？為什么？（2）當船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時，船位于哪個區域？為什么？ABCOABCOABABCD1．為什么有些電影院的坐位排列（橫排）呈圓弧形？說一說這種設計的合理性。2．如圖，哪個角與∠BAC相等？3．如圖。⊙O的直徑AB=10cm，C為⊙O上的一點，∠ABC=30°，求AC的長。第四環節課時小結1．要理解好圓周角定理的推論。2．構造直徑所對的圓周角是圓中的常用方法。3．要多觀察圖形，善于識別圓周角與圓心角，構造同弧所對的圓周角也是常用方法之一。4．圓周角定理建立了圓心角與圓周角的關系，而同圓或等圓中圓心角、弧、弦之間又存在等量關系，因此，圓中的角（圓周角和圓心角）、弦、弧等的相等關系可以互相轉化。但轉化過程中要注意以圓心角、弧為橋梁。如由弦相等只能得弧或圓心角相等，不能直接得圓周角等。第五環節布置作業課本第108頁習題3.51、25．確定圓的條件一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：通過本章前面幾節課的學習，學生知道經過一點可以畫無數條直線，經過兩點有且只有一條直線等知識。同時具備了用尺規作“線段垂直平分線”等操作技能，掌握了“線段垂直平分線的性質”。學生活動經驗基礎：在經過點畫直線等知識的學習過程中，學生具備了一定的合作精神和探究能力，具有一定的分類討論的數學思想方法和類比方法。二、教學任務分析本節課的教學目標是：知識與技能了解不在同一直線上的三個點確定一個圓，以及過不在同一直線上的三點作圓的方法；2．了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念。過程與方法1．經歷不在同一直線上的三個點確定一個圓的探索過程，培養學生的探索能力。2．通過探索不在同一直線上的三個點確定一個圓的問題，進一步體會解決數學問題策略。情感態度與價值觀形成解決問題的基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神。教學重點：確定圓的條件教學難點：確定圓的條件三、教學過程分析第一環節：課前準備活動內容：布置學生在課前復習，回答如下的問題：（1）經過一點、兩點、三點你能否畫出一條直線嗎？若能，可以畫出幾條直線？（2）通過以上問題的回答，你有什么體會？（3）已知線段AB，求作線段AB的中垂線？實際教學效果：在回答“經過三點能否畫直線”問題上出現分歧，部分回答“不能畫出直線”或“可以畫一條直線”或“以上兩種情況都有可能”等。通過對問題的爭論、回答，達到了預期目標，培養了學生學會與人合作，能與他人交流思維的過程和結果。第二環節：情景引入活動內容：學生小組討論如下問題：某地區一空地上新建了三個居住小區A、B、C。現要規劃一間學校，使學校到三個小區的距離相等，你如何選取這所學校的地點？活動目的：=1\*GB3①通過問題的思考討論，有承上啟下的作用，而先要解決這三個小區是否在一直線上。=2\*GB3②引起學生回想圓的定義，得出作圓的關鍵是定圓心、定半徑。=3\*GB3③借助實際問題情景，激發學生解決問題的興趣，為解決本節課的目標“確定圓的條件”和下環節的探究活動注入動力。第三環節：實踐探究，解決問題活動內容：參照教材提供的三個問題：=1\*GB3①、作圓，使它經過已知點A，你能作出幾個這樣的圓？為什么有這樣多個圓？=2\*GB3②、作圓，使它經過已知點A、B，你是如何做的？依據是什么？你能作出幾個這樣的圓？其圓心分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為什么？=3\*GB3③、作圓，使它經過不在同一直線的已知點A、B、C，你是如何做到的。你能作出幾個這樣的圓？為什么？=4\*GB3④、你現在能解決課前的問題了嗎？動手做一做？活動目的：以問題串的形式引導學生由易到難地開展探究活動、培養學生的探究精神，使學生體會在這一過程中所體現的歸納思想，從中探究出：=1\*GB3①不在同一直線上的三個點為什么只確定一個圓？=2\*GB3②這個圓如何用“尺規”作出？=3\*GB3③三角形外接圓，三角形的外心的概念等問題，從而實現本節課的教學目標，突破重點難點，使學生掌握過三點作圓的方法。實際教學效果：學生對問題=1\*GB3①、=2\*GB3②中有多少個符合條件的圓能很快地回答出來，但學生對問題=1\*GB3①中“為什么”的回答未能抓住畫圓的本質（定圓心、定半徑）來回答；對問題=3\*GB3③的探究用時比較長，重要原因是部分學生作了三條邊的中垂線，對“為什么”的回答也未能抓住交點的唯一性及半徑隨著點的確定而確定進行回答。第四環節：練習提高活動內容：（1）完成課本隨堂練習；（2）判斷題：=1\*GB3①經過三點一定可以作圓。 （ ）=2\*GB3②任意一個三角形有且只有一個外接圓。（）=3\*GB3③三角形的外心是三角形三邊中線的交點。 （ ）=4\*GB3④三角形外心到三角形三個頂點的距離相等。（ ）(3)如圖是一塊殘缺的圓形木蓋，現要重新制作一塊與原來一樣大小的圓形木蓋，你是如何制作的？活動目的：（1）隨堂練習——鞏固找三角形的外心的方法，進一步體驗“不在同一直線上的三點確定一個圓”的事實。另外也體會到三角形的形狀對它的外心位置帶來的影響。（2）通過判斷=4\*GB3④和練習（3）目的是加深學生對結論的理解和應用，培養學生“用數學”的意識。實際教學效果:學生都能熟練完成隨堂練習及判斷題，收到了較好的教學效果。同時引導學生理解記憶判斷=4\*GB3④的結論，加深了對“三角形外心”的理解。但部分學生在完成練習（3）時遇到了困難，不會將問題轉化成“找三角形外心——找出弧上三個點”的問題，說明這部分學生綜合理解和運用知識能力還有待提高。第五環節：課堂小結活動內容：1、學生小組交流本節課學習的體會及要掌握的知識和方法；2、個人仍存在的問題；3、師生共同完成如下的問題：不在同一直線上的三點不在同一直線上的三點（1）確定圓的條件——圓心、半徑圓心、半徑（2）銳角三角形在三角形的內部直角三角形外心的位置 在斜邊上鈍角三角形在三角形的外部而三角形的外心具有的特征是：到三個頂點的距離相等，因它是三邊中垂線的交點。實際教學效果：在短短幾分鐘的小結活動中，學生能暢所欲言，暢談自己的收獲和感受，比如有些同學談到學會了找三角形的外心；考慮問題要全面；用數學知識可以解決一些實際問題；數學知識是環環相扣，緊密聯系，每一知識點都要學好、理解好等。第六環節：布置作業教材P111習題3.6預習下節課內容，搜集現實生活中的直線和圓的位置關系的現象。6．直線和圓的位置關系（一）一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生已經了解圓的相關概念，了解了圓中的一些數量與位置關系：如點和圓的位置關系不但可以直觀呈現，也可以通過數量來刻畫等。學生的活動經驗基礎：學生在日常生活中已經有經驗，對直線和圓的位置關系有一定的感性認識。二、教學任務分析本節課的教學目標為：知識與技能1．理解理解直線與圓有三種位置關系，并能利用公共點的個數、圓心到直線的距離與半徑之間關系來判定它。2．直線與圓相切的判斷方法和如何作出直線與圓相切，并能利用公共點的個數、圓心到直線的距離與半徑之間關系來判定它。過程與方法1．培養學生類比、歸納、觀察及想象的能力以及使學生從運動的觀點來觀察直線和圓相交、相切、相離的關系、培養學生的辯正唯物主義觀點。2．滲透從特殊到一般、數學轉化的思想及運動的觀點情感態度與價值觀創設問題的情景，讓學生主動地發展教學重點：理解直線與圓的三種位置關系的定義，并能準確的判定教學難點：（1）理解“切線”定義中的：“唯一”;（2）靈活準確應用相關性質解決問題OOO三、教學過程分析第一環節創設情境引入課題活動內容：1．觀察三幅太陽升起的照片,地平線與太陽的位置關系是怎樣的這個自然現象反映出直線和圓的位置關系有哪幾種2．觀察三幅太陽落山的照片,地平線與太陽的位置關系是怎樣的這個自然現象反映出直線和圓的位置關系有哪幾種3．作一個圓,把直尺邊緣看成一條直線.固定圓,平移直尺（1）直線和圓有哪幾種位置關系（2）直線和圓有惟一公共點(即直線和圓相切)時,這條直線叫做圓的切線,這個惟一的公共點叫做切點.第二環節直線與圓的位置關系量化揭密活動內容：1．如圖,圓心O到直線l的距離d與⊙O的半徑r的大小有什么關系你能根據d與r的大小關系確定直線與圓的位置關系嗎2．你能舉出生活中直線與圓相交、相切、相離的實例嗎？OOOO第三環節探索切線的性質活動內容：1．下面的三個圖形是軸對稱圖形嗎如果是,你能畫出它們的對稱軸嗎由此悟出點什么？CDBCDBOA活動目的：設計1是為了在2中使用“對稱性”證明作鋪墊。第四環節例題講解ACBACB┐例1已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm,直角邊AC=4cm.(1)以點C為圓心作圓,當半徑為多長時,AB與⊙C相切(2)以點C為圓心,分別以2cm,4cm為半徑作兩個圓,這兩個圓與AB分別有什么位置關系例2直線BC與半徑為r的⊙O相交,且點O到直線BC的距離為5,求r的取值范圍。例3一枚直徑為d的硬幣沿直線滾動一圈.圓心經過的距離是多少ABABP●O活動內容：1．已知:如圖,P是⊙O外一點,PA,PB都是⊙O的切線,A,B是切點.請你觀察猜想,PA,PB有怎樣的關系并證明你的結論.2．由1所得的結論及證明過程,你還能發現那些新的結論如果有,仍請你予以證明.第六環節布置作業課本P117:習題3.716．直線和圓的位置關系（二）一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：之前的課程學生已經學習了與圓有關的概念，如半徑、圓周角、圓心角等，學習了圓的性質，學習了直線和圓的三種位置關系，這里將進一步討論其中的一種情況：相切。學生的活動經驗基礎：進入初三下學期的學生在觀察、操作、猜想能力較強，但邏輯推理、歸納、運用數學意識的思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、結密性、靈活性比較欠缺，自主探究和合作學習能力也需要在課堂教學中進一步加強和引導。二、教學任務分析具體的教學目標為：知識與技能（1）能判定一條直線是否為圓的切線．（2）會過圓上一點畫圓的切線．（3）會作三角形的內切圓．過程與方法（1）通過判定一條直線是否為圓的切線，訓練學生的推理判斷能力．（2）會過圓上一點畫圓的切線，訓練學生的作圖能力．情感態度與價值觀（1）經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．（2）經歷探究圓與直線的位置關系的過程，掌握圖形的基礎知識和基本技能，并能解決簡單的問題．教學重點：探索圓的切線的判定方法，并能運用．作三角形內切圓的方法．教學難點探索圓的切線的判定方法．三、教學過程分析第一環節引入新課上節課我們學習了直線和圓的位置關系，圓的切線的性質，懂得了直線和圓有三種位置關系：相離、相切、相交．判斷直線和圓屬于哪一種位置關系，可以從公共點的個數和圓心到直線的距離與半徑作比較兩種方法進行判斷，還掌握了圓的切線的性質、圓的切線垂直于過切點的直徑．由上可知，判斷直線和圓相切的方法有兩種，是否僅此兩種呢本節課我們就繼續探索切線的判定條件．第二環節新課講解活動內容：1．探索切線的判定條件如下圖，AB是⊙O的直徑，直線l經過點A，l與AB的夾角為∠α，當l繞點A旋轉時，(1)隨著∠α的變化，點O到l的距離(d如何變化直線l與⊙O的位置關系如何變化(2)當∠α等于多少度時，點O到l的距離d等于半徑r此時，直線l與⊙O有怎樣的位置關系為什么實際教學效果：在教學中，教師可以引導學生，畫一個圓并畫出直徑AB，拿直尺當直線，讓直尺繞著點A移動．觀察∠α發生變化時，點O到l的距離d如何變化，然后互相交流意見．2．做一做已知⊙O上有一點A，過A作出⊙O的切線．分析：根據剛討論過的圓的切線的第三個判定條件可知：經過直徑的一端，并且垂直于直徑的直線是圓的切線，而現在已知圓心O和圓上一點A，則過A點的直徑就可以作出來，再作直徑的垂線即可．如右圖．(1)連接OA．(2)過點A作OA的垂線l，l即為所求的切線．3．如何作三角形的內切圓．如下圖，從一塊三角形材料中，能否剪下一個圓使其與各邊都相切．分析：假設符號條件的圓已作出，則它的圓心到三角形三邊的距離相等．因此，圓心在這個三角形三個角的平分線上，半徑為圓心到三邊的距離．解：(1)作∠B、∠C的平分線BE和CF，交點為I(如右上圖)．(2)過I作ID⊥BC，垂足為D．(3)以I為圓心，以ID為半徑作⊙I．⊙I就是所求的圓．∵I在∠B的角平分線BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分線CF上．∵ID＝IN，∵ID＝IM＝IN．這是根據角平分線的性質定理得出的，所以I到△ABC三邊的距離相等。因此和三角形三邊都相切的圓可以作出一個，因為三角形三個內角的平分線交于一點，這點為圓心，這點到三角形三邊的距離相等，這個距離為半徑，圓心和半徑都確定的圓只有一個．并且只能作出一個，這個圓叫做三角形的內切圓(inscribedcircleoftriangle)，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心(incenter)．4．（補充）例題講解如下圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT＝AB．求證：AT是⊙O的切線．分析：AT經過直徑的一端，因此只要證AT垂直于AB即可，而由已知條件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°．第三環節課堂練習以邊長為3,4,5的三角形的三個頂點為圓心,分別作圓與對邊相切,則這三個圓的半徑分別是多少分別作出銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形的內切圓,并說明與它們內心的位置情況第四環節課時小結1．探索切線的判定條件．2．會經過圓上一點作圓的切線．3．會作三角形的內切圓．4．了解三角形的內切圓，三角形的內心概念．第五環節課后作業必做：P120習題3.81,2題選做：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD．求證：DC是⊙O的切線．7.切線長定理1、教材分析重點、難點分析重點：切線長定理及其應用．因切線長定理再次體現了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經常應用，因此它是本節的重點．難點：與切線長定理有關的證明和計算問題．不僅應用切線長定理，還用到方程的知識，是代數與幾何的綜合題，學生往往不能很好的把知識連貫起來．2、教法建議本節內容需要一個課時．（1）在教學中，組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結論及時總結；（2）在教學中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學．教學目標1．理解切線長的概念，掌握切線長定理；2．通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想．3．通過對定理的猜想和證明，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態度．教學重點:切線長定理是教學重點教學難點:切線長定理的靈活運用是教學難點教學過程設計:（一）觀察、猜想、證明，形成定理1、切線長的概念．如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長．引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.2、觀察利用PPT來展示P的位置的變化，觀察圖形的特征和各量之間的關系．3、猜想引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB．PA＝PB．4、證明猜想，形成定理．猜想是否正確。需要證明．組織學生分析證明方法．關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？∠OPA＝∠OPB(如圖)，連接AB，有AD=BD等．切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．5、歸納：把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質6、切線長定理的基本圖形研究（小組合作交流）如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O于點D，E，交AB于C要求：就你所知曉的幾何知識，寫出你認為正確的結論，小組交流，看哪個小組的結論最多，用最簡短的話語證明你的結論是正確的。說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎．（二）應用、歸納、反思例1、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，A和B是切點，PA=10，∠P=500，F是優弧AB上一點。求：（1）∠AFB的度數；（2）如圖，若CD是⊙O的切線，切于點E，求⊿PCD的周長和∠COD的度數。分析：（1）中可以看出∠AFB是⊙O的圓周角，因此只要求出其對應的弧所對的圓心角的度數就可以了，于是連接OA，OB，運用切線的性質，有OA⊥PA，OB⊥PB。由四邊形的內角和解決問題。（2）添加的切線要與今天我們學習的切線長定理的基本圖形結合起來，找出基本圖形，運用定理，就可以解決周長，同時知道OC，OD是相應的角平分線，則∠COD的度數出來了。學生組織解題過程，在草稿紙上完成。反思：教師引導學生分析過程，激發學生的學習興趣，培養學生善于觀察圖形，從中找出相應知識點，從而實現新舊知識銜接的能力．

例2、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．(學生運用所學的知識，對圖形進行分析易得)（分析和解題略）反思：（1）例2事實上是圓外切四邊形的一個重要性質，請學生記住結論．（2）圓內接四邊形的性質：對角互補．運用對比的方法讓學生獲得記憶的方法。提高練習：如圖，在⊿ABC中，∠C=900,AC=8，AB=10，點P在AC上，AP=2，若⊙O的圓心在線段BP上，且⊙O與AB、AC都相切，求⊙O的半徑。方法（一）分析：從已知條件和圖形中我們能很快地找出切線長定理的基本圖形來。要求：同學們在圖中標出相等關系的線段，注意構成等量關系的因素是什么。設⊙O與AB相切于F，與AC相切于E，⊙O的半徑為r。連接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2有CP=BC，從而∠BPC=450

，OP=r，由勾股定理知道：BP=，所以OB=由切線長定理知道：AF=AE=2+r，所以BF=10－(2+r)=8－r在直角三角形OBF中有（）2=r2+

（8－r）2解得r=1方法（二）分析：從另外一個角度看問題：用三角形的面積可以重新構建數量關系，建立等式。要求：注意本方法中的輔助線的添加。設⊙O與AB相切于F，與AC相切于E，⊙O的半徑為r。連接OE，OF，OA。⊿ABP的面積=⊿AOP的面積+⊿ABO的面積有即有，所以r=1反思：在本題的解法中，同學們可以看出，通過不同的分析思路和觀察的角度可以明顯地得到不同的解法，而且其繁簡程度一目了然。然而由于本題綜合性較強，學生在學習的過程中被動接受的可能性大，在今后的練習設計中要更加注重難度的梯度和適當的鋪墊。2．課堂訓練：如圖：⊙O是以正方形ABCD一邊BC為直徑的圓，過A作AF與⊙O相切于點E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF（三）小結1、提出問題學生歸納（1）這節課學習的具體內容；（2）學習用的數學思想方法；（3）應注意哪些概念之間的區別2、歸納基本圖形的結論3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法．（四）布置作業教學反思：在整節課中對本課的重點學習內容能組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結論及時總結。尤其是切線長定理的基本圖形研究環節學生能充分利用已有的知識和新授內容結合，把切線長定理和圓的對稱性緊密接合，體現了本節課知識點的工具性。在例題的選擇中注重了角度計算，長度計算和在具體情境中能準確地找出并運用切線長定理來分析問題，解決問題。在提高題的選擇上，我的本意是能在平時教學中讓學生接觸中考題型，提供一題多解的證明思路，激發學生的學習興趣，但從學生的接受程度來看，顯然是有點偏難了。通過本節課使我充分地認識到：教學不能只從教師的知識水平和以往的教學實踐來施行，更應該注重學生的實際知識水平和能力狀況。就構建主義的理論而言，學生只有對發生在最近發展區內的教學內容效果是最顯著的，如果梯度過大就失去了“腳手架”的作用了。8.圓內接正多邊形學習目標：理解圓內接正多邊形及正多邊形的外接圓、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念。掌握用等分圓周畫圓內接正多邊形的方法，能熟練地進行有關正三角形，正方形，正六邊形的計算。1學習過程：復習回顧正n邊形的有關計算公式：每個內角=，每個外角=。預習、交流并展示閱讀課本97頁到98頁，回答下列問題一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的，外接圓的半徑叫做正多邊形的，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的，正n邊形的中心角是，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的。如上圖，五邊形ABCDE是☉O的，☉O是五邊形ABCDE的圓，叫做正五邊形ABCDE的中心，是正五邊形ABCDE的半徑，是正五邊形ABCDE的中心角，中心角是度，OM⊥BC，垂足為M，是正五邊形ABCDE的邊心距。利用尺規作一個已知圓的內接正多邊形以圓內接正六邊形為例：由于正六邊形的中心角為，因此它的邊長和外接圓的半徑R，所以在半徑為R的圓上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圓，進而作出圓內接正多邊形。作法如下：☉O的任意一條直徑AD，如圖（1）分別以A、D為圓心，以☉O的半徑R為半徑作弧，與☉O相交于B、F和C