不等式的基本性質

(第二課時)1【知識回顧】1、不等式的概念:同向不等式；異向不等式;同解不等式．2、比較兩個實數大小的主要方法:(1)作差比較法：作差——變形——定號——下結論；(2)作商比較法：作商——變形——與1比較大小——下結論．大多用于比較冪指式的大小．2探究！

類比等式的基本性質，不等式有哪些基本性質呢？3不等式的基本性質單向性雙向性4問題

上述結論是用類比的方法得到的，它們一定是正確的嗎？你能夠給出它們的證明嗎？5注意1、注意公式成立的條件，要特別注意“符號問題”;2、要會用自然語言描述上述基本性質；3、上述基本性質是我們處理不等式問題的理論基礎。67例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求證：【解題回顧】在證明不等式時要依據不等式的性質進行，不能自己“制造”性質來進行．8例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范圍.9例4、已知，求下列式子的取值范圍。（1）1-x（2）x(1-x)解題回顧：同向不等式可以做加法運算，異向不等式可以做減法運算。當同向不等式兩邊都為正時，可以做乘法運算。本題常見的錯誤是將取值范圍擴大。變式:設f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.10【解題回顧】本題采用了賦值法，使問題得以簡化、明朗．賦值法是解選擇題、開放題等常用的方法．它將復雜的問題簡單化，是我們常用的數學方法．例5、已知

A、A<B<C<D;B、D<A<B<C;C、D<B<A<C;D、B<D<A<C11作業P101、3、412第一講不等式和

絕對值不等式

13不等式的基本性質

(第一課時)觀察以下四個不等式：a+2>a+1----------------(1)a+3>3a-------------------(2)3x+1<2x+6--------------(3)x<a------------------------(4)一不等式14同向不等式：在兩個不等式中,如果每一個的左邊都大于右邊,或每一個的左邊都小于右邊（不等號的方向相同）.異向不等式：在兩個不等式中,如果一個不等式的左邊大于右邊,而另一個的左邊小于右邊（不等號的方向相反）.同解不等式形式不同但解相同的不等式。其它重要概念絕對不等式、條件不等式、矛盾不等式152.基本理論

1.實數在數軸上的性質:研究不等式的出發點是實數的大小關系。數軸上的點與實數1-1對應，因此可以利用數軸上點的左右位置關系來規定實數的大小：0Ｘ16ＡＢaba<bxＡＢaba>bx用數學式子表示為:

設a,b是兩個實數,它們在數軸上所對應的點分別是A,B,那么,當點A在點B的左邊時,a<b;當點A在點B的右邊時,a>b.

關于a,b的大小關系,有以下基本事實:如果a>b,那么a-b是正數;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b是負數;反過來也對.17

上式中的左邊部分反映的是實數的大小順序，而右邊部分則是實數的運算性質，合起來就成為實數的大小順序與運算性質之間的關系。這一性質不僅可以用來比較兩個實數的大小，而且是推導不等式的性質、不等式的證明、解不等式的主要依據。18

要比較兩個實數a與b的大小，可以轉化為比較它們的差a-b與0的大小。在這里，0為實數比較大小提供了“標桿”。思考？

從上述事實出發，你認為可以用什么方法比較兩個實數的大小？19例1、試比較2x4+1與2x3+x2

的大小解：(2x4+1)-(2x3+x2)=2x4+1-2x3_x2

=(2x4-2x3)-(x2-1)

=2x3(x-1)

-(x-1)

(x+1)

=(x－1)[2x3-

(x+1)

]

=(x－1)[(2x3－2x2)+(2x2－2x)+(x－1)]=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x+1/2)2+1/2]技能：分組組合；添項、拆項；配方法。20=(x-1)2[2(x+1/2)2+1/2]x∈R∴2(x+1/2)2+1/2>0若x≠1那么(x-1)2>0則2x4+1>2x3+x2

若x=1那么(x-1)2=0則2x4+1=2x3+x2綜上所述:若x=1時2x4+1=2x3+x2

若x≠1時2x4+1>2x3+x2

求差比較大小分四步進行：①作差；②變形；③定號；③下結論。21練習比較x2+y2與xy+x+y-1的大小．【解題回顧】用作差比較法比較兩個實數的大小，步驟是：作差——變形——判斷符號．常見的變形手段是通分、因式分解或配方等；變形的結果是常數、若干個因式的積或完全平方式等.22例2、比較23練習題1.已知x≠0,比較(x2+2)2與x4+x2+4的大小.2.比較(x2+2)2與x4+5x2+2的大小3.比較x3

與x2-x+1的大小.24【解題回顧】本題的解答關鍵在于選擇合適的方法.【典型例題】例3、比較以下兩個實數的大小：25作商比較法：作商——變形——與1比較大小．大多用于比較冪指式的大小．26練習

2、選擇題：已知，在以下4個不等式中正確的是：（1）（2）

（3）（4）

27小結主要內容基本理論:a-b>0<=>a>ba-b=0<=>a=ba-b<0<=>a<b基本理論四大應用之一：比較實數的大小.一般步驟：作差－變形－判斷符號—下結論。變形是關鍵：1°變形常用方法:配方法，因式分解法。2°變形常見形式是：變形為常數；一個常數與幾個平方和；幾個因式的積。281．比較的大小．2．如果,比較的大小．3．已知，比較與的大小．作業一、課本P102二、補充29第三講

柯西不等式與排序不等式30

一二維形式的柯西不等式31若a,b,c,d都是實數,則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當且僅當ad=bc時,等號成立.定理1（二維形式的柯西不等式）:你能證明嗎？32推論33

向量形式：34設α,β是兩個向量,則當且僅當β是零向量,或存在實數k,使α=kβ時,等號成立.定理2:（柯西不等式的向量形式）35xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根據兩點間距離公式以及三角形的邊長關系:觀察36定理３（二維形式的三角不等式）設，那么37

例題例1.已知a,b為實數,證明：

(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)23839例3.設a,b∈R+,a+b=1,求證40練習：41作業第37頁,第1,5,6題42

二一般形式的柯西不等式43(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2二維形式的柯西不等式）:三維形式的柯西不等式）:n維形式的柯西不等式）:44定理設是實數，則當且僅當(i=1,2,…,n)或存在一個數k使得(i=1,2,…,n)時等號成立。以上不等式稱為一般形式的柯西不等式。45一般形式的三角不等式46例1已知都是實數，求證：47例2已知a,b,c,d是不全相等的正數，證明：>ab+bc+cd+da.48例3已知x+2y+3z=1,求的最小值。49例4：設a、b、c為正數且各不相等。求證：

又a、b、c各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。50例5若a>b>c求證：∴51例6：若求證：分析：左端變形∴只需證此式即可

52

三排序不等式53反序和≤亂序和≤順序和54例1：有10人各拿一只水桶去接水，設水龍頭注滿第i(i=1,2,…,10)個人的水桶需要ti分，假定這些ti各不相同。問：只有一個水龍頭時，應該如何安排10人的順序，使他們等候的總時間最少？這個最少的總時間等于多少？55解：總時間(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10根據排序不等式，當t1<t2<…<t9<t10時，總時間取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，則10人等候的總時間最少。最少的總時間是:10t1+9t2+…+2t9+t1056例2設a1,a2,…,an是n個互不相等的正整數，求證：57證明：設b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一個排列，且有b1<b2<…<bn因為b1,b2,…,bn是互不相等的正整數，所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.

又因由排序不等式，得：58練習59練習60練習61練習62一、二維形式的柯西不等式（第二課時）63一.課前復習若a,b,c,d都是實數,則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當且僅當ad=bc時,等號成立.

（一）定理1（二維形式的柯西不等式）:64二維形式的柯西不等式經過變形后可得到兩個比較重要的不等式：這在以后證明不等式時會用到65定理2:（柯西不等式的向量形式）設是兩個向量,則當且僅當是零向量,或存在實數,使時,等號成立.66一.學習新課

（一）定理3（二）例題（三）練習

67觀察xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0根據兩點間距離公式以及三角形的邊長關系:68

定理３（二維形式的三角不等式）設，那么問題：你能否利用柯西不等式，從代數的角度證明這個不等式？69例3.設a,b∈R+,a+b=1,求證70練習鞏固：練習一：設a，b為正數，求的最小值71練習二：P37第6題72小結：本節課實際上是柯西不等式的一些簡單應用，柯西不等式是一個經典不等式，是一個重要的數學結論，在以后的證明某些不等式和求最值時有重要作用，要學會靈活運用。73作業：P37第8題74不等式的證明75復習不等式證明的常用方法:

比較法、綜合法、分析法76反證法

先假設要證明的命題不成立，以此為出發點,結合已知條件,應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到矛盾，說明假設不正確，從而間接說明原命題成立的方法。7778例題例2、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，

abc>0，求證：a,b,c>0

證：設a<0,∵abc>0,∴bc<0

又由a+b+c>0,則b+c>a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0

與題設矛盾若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0,c>079例3、設0<a,b,c<1，求證：(1

a)b,(1

b)c,(1

c)a,

不可能同時大于1/4則三式相乘：(1

a)b?(1

b)c?(1

c)a>

又∵0<a,b,c<1∴同理：以上三式相乘：(1

a)a?(1

b)b?(1

c)c≤與①矛盾∴結論成立證明：設(1

a)b>1/4,(1

b)c>1/4,(1

c)a>1/4,80

在證明不等式過程中，有時為了證明的需要，可對有關式子適當進行放大或縮小，實現證明。例如：要證b<c,只須尋找b1使b<b1且b1≤c(放大)要證b>a,只須尋找b2使b>b2且b2≥a(縮小)

這種證明方法,我們稱之為放縮法。放縮法的依據就是傳遞性。放縮法81例1、若a,b,c,dR+，求證：證：記m=∵a,b,c,dR+

∴1<m<2即原式成立8283

法１：

證明：在時，顯然成立.當時，左邊

84法２：法３：函數的方法8586例4、巳知：a、b、c∈，求證：略解87小結

在證明不等式過程中，有時為了證明的需要，可對有關式子適當進行放大或縮小，實現證明。例如：要證b<c,只須尋找b1使b<b1且b1≤c(放大)要證b>a,只須尋找b2使b>b2且b2≥a(縮小)

這種證明方法,我們稱之為放縮法。放縮法的依據就是定理2（傳遞性性質）88課堂練習1、當n>2時，求證：

證：∵n>2∴

∴n>2時,89課堂練習2、若p>0,q>0,且p3+q3=2,

求證：p+q≤290課堂小結

證明不等式的特殊方法:

（1）放縮法：對不等式中的有關式子進行適當的放縮實現證明的方法。（2）反證法：先假設結論的否命題成立，再尋求矛盾，推翻假設，從而證明結論成立的方法。91書山有路勤為徑，學海無崖苦作舟少小不學習，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！27七月20233.三個正數的算術--幾何平均數92定理1.如果，那么（當且僅當時取“=”）1．指出定理適用范圍：

2．強調取“=”的條件：

復習：定理2.如果

那么

是正數，

（當且僅當時取“=”號）注意：1．這個定理適用的范圍：

2．語言表述：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。93

注意:利用算術平均數和集合平均數定理時一定要注意定理的條件:

一正;二定;三相等.有一個條件達不到就不能取得最值.9495思考

基本不等式給出了兩個整數的算術平均數與幾何平均數的關系，這個不等式能否推廣呢？例如，對于3個正數，會有怎樣的不等式成立呢？969798等號當且僅當ａ＝ｂ＝ｃ時成立．99定理3語言表述：三個正數的算術平均不小于它們的幾何平均。100推論:101關于“平均數”的概念：1．如果

則：

叫做這n個正數的算術平均數。叫做這n個正數的幾何平均數。2.基本不等式：

≥

語言表述：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，當且僅當ａ1＝a2＝…=an時，等號成立．推廣102103例２:解:構造三個數相加等于定值.104練習:解:構造三個數相加等于定值.105例３將一塊邊長為a的正方形鐵皮，剪去四個角（四個全等的正方形），作成一個無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？解:設剪去的小正方形的邊長為則其容積為:106練習:解:(錯解:原因是取不到等號)正解:107課堂小結108課堂小結109２．基本不等式110

重要不等式定理１：如果，那么

（當且僅當時取“=”號）．我們可以用比較法證明．111探究你能從幾何的角度解釋定理１嗎？幾何解釋１－課本第五頁．112動畫幾何解釋２113aa幾何解釋３114

思考

1115(當且僅當

時取“

=”號）．

如果是正數，那么

基本不等式定理２（均值定理）116概念如果ａ、ｂ都是正數，我們就稱為ａ、ｂ的算術平均數，稱為ａ、ｂ的幾何平均數。均值定理可以描述為：兩個正數的算術平均數不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數117.均值定理的幾何意義DBCEoA118

當且僅當

中的“

=”號成立．

時這句話的含義是:

思考

2當當119

和成立的條件相同嗎？如：成立，而不成立。

思考

3成立的條件_______成立的條件______120

典例探討例1求證：121（２）已知都是正數，求證證明：由都是正數，得122

練習1123例2

求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。124變形.1

如果積

已知都是正數，求證：是定值

那么當

時,和

有最小值2

如果和是定值那么當

時,積

有最大值

證：

∵

∴

1當

（定值）時，∵上式當

時取“=”∴當

時，

有最小值2當

(定值)時，

∴

∵上式當

時取“=”

∴當

時，

∴125注意：1、最值的含義（“≥”取最小值，“≤”取最大值）

2、用極值定理求最值的三個必要條件：一“正”、二“定”、三“相等”126127練習21.巳知x>0,y>0且xy=100,則x+y的最小值是_______,此時x=___,y=_____1284.證明（1）證：∵

∴

于是

（2）解：∵

于是

從而

？≤129解:130解：∵

∴∴=

當且僅當即

時有最小值1例3.若Ｘ＞－１，則ｘ為何值時

有最小值，最小值為幾？131

練習3132已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大值．133例4134

注意:利用算術平均數和集合平均數定理時一定要注意定理的條件:

一正;二定;三相等.有一個條件達不到就不能取得最值.135

練習4求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.136例5.且1、已知，求

的最小值解：

當且僅當

即

時

137證明：138注意:本題條件a,b,c為實數139

練習5140同學們再見！作業

課本作業；P1０５、６

141書山有路勤為徑，學海無崖苦作舟少小不學習，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話

142不等式復習習題課習題課143不等式定理及其重要變形：一、知識掃描:（定理）重要不等式（推論）基本不等式（又叫均值不等式）144代數意義：

如果把看做是兩正數a、b的等差中項,看做是兩正數a、b的等比中項,那么均值不等式可敘述為:兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.145幾何意義：

均值不等式的幾何解釋是:

半徑不小于半弦.

結構特點：

均值不等式的左式為和結構,右式為積的形式,該不等式表明兩正數的和與兩正數的積之間的大小關系,運用該不等式可作和與積之間的不等變換.ab146二、公式的拓展當且僅當a=b時“=”成立147（1）三、公式的應用（一）—證明不等式（2）已知求證（以下各式中的字母都表示正數）148149證明：150注意:本題條件a,b,c為實數151△法解不等式求證:a+ac+c+3b(a+b+c)≥0

證明:

原式=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)≥0

設f(a)=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)∵

△=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(c+b)∴f(a)≥0(當且僅當-b=c=a取等號)152四、公式的應用（二）—求函數的最值（2）已知是正數，（定值），求的最小值；已知是正數，（定值），求的最大值；（1）一正二定三相等和定積最大積定和最小153已知，求函數的最大值；（3）已知是正數，滿足，求的最小值；（4）創造條件注意取等號的條件154（3）已知：0＜x＜，求函數y=x（1-3x）的最大值利用二次函數求某一區間的最值分析一、原函數式可化為：y=-3x2+x，分析二、挖掘隱含條件即x=時ymax=∵3x+1-3x=1為定值，且0＜x＜則1-3x＞0；∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

當且僅當3x=1-3x

可用均值不等式法精題解析配湊成和成定值155精題解析：（4）已知正數x、y滿足2x+y=1，求的最小值即的最小值為過程中兩次運用了均值不等式中取“=”號過渡，而這兩次取“=”號的條件是不同的，故結果錯。錯因：解：156（4）已知正數x、y滿足2x+y=1，求的最小值正解：當且僅當即:時取“=”號即此時“1”代換法157特別警示：用均值不等式求最值時，要注意檢驗最值存在的條件，特別地，如果多次運用均值不等式求最值，則要考慮多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的諸條件是否相容。158閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯，指出有錯誤的地方。（5）錯題辨析159正確解法一“1”代換法

160（5）已知正數a、b滿足a+2b=1，求的最小值正解：當且僅當即:時取“=”號即此時161162“1”的代換163五：公式應用（三）—解決實際問題例3.如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學生的水平視線上方a米和b米，問學生距離墻壁多遠時看黑板的視角最大？164APBHba例3.如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學生的水平視線上方a米和b米，問學生距離墻壁多遠時看黑板的視角最大？165問題與思考4。某種商品準備兩次提價,有三種方案:第一次提價m％,第二次提價n％;第一次提價n％,第二次提價m％;兩次均提價％.試問哪種方案提價后的價格高?166

設原價為M元,令a=m％,b=n％,則按三種方案提價后的價格分別為:A.(1+a)·(1+b)·M=(1+a+b+ab)·MC.(1+

)2·M=[1+a+b+]·M只需比較ab與的大小.易知B.(1+b)·(1+a)·M=(1+a+b+ab)·M1675.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為,深為3m，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，問怎樣設計水池才能使造價最低，最低造價是多少元？問題與思考168169170實際問題抽象概括引入變量數學模型數學模型的解實際問題的解還原說明推理演算建立目標函數均值不等式2、解應用題思路反思研究1711、設且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。

六：課堂檢測：（看誰最快）2、設則的最大值為_____。３、設滿足，且則的最大值是（）A、40B、10C、4D、2Ｄ172七：學習小結

（１）各項或各因式為正（２）和或積為定值

（３）各項或各因式能取得相等的值，必要時作適當變形，以滿足上述前提，即“一正二定三相等”２、二元均值不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能；創設應用均值不等式的條件，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號能夠成立；１、應用均值不等式須注意以下三點：3、均值不等式在實際生活中應用時，也應注意取值范圍和能取到等號的前提條件。173探索討論乘積倒數其他平方設你能給出幾個含有字母a和b的不等式174再見謝謝指導再見175絕對值不等式的解法176復習：X=0|x|=X>0x0X<0-x1.絕對值的定義:2.幾何意義:Ax1XOBx2|x1||x2|=|OA|=|OB|

一個數的絕對值表示這個數對應的點到原點的距離.177類比：|x|<3的解|x|>3的解觀察、思考：不等式│x│<2的解集?方程│x│＝2的解集？為{x│x=2或x=-2}02-2為{x│-2<x<2}不等式│x│>2解集?為{x│x>2或x<-2}02-202-2|x|<-2的解|x|>-2的解歸納：|x|<a（a>0)|x|>a(a>0)

-a<x<a

X>a或x<-a-aa-aa178如果a

＞0，則

179如果把|x|<2中的x換成“x-1”,也就是|x-1|<2如何解？引伸：

解題反思：如果把|x|>2中的x換成“3x-1”,也就是|3x-1|>2如何解？整體換元。180歸納：型如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a>0)不等式的解法:181例1解不等式

解：這個不等式等價于因此，不等式的解集是（–1，4）182例2解不等式＞5解：這個不等式等價于或（1）（2）（1）的解集是（4，+∞），（2）的解集是（－∞，－1），∴原不等式的解集是（4，+∞）∪（－∞，－1）。183鞏固練習：求下列不等式的解集

|2x+1|<53|1-4x|>9|4x|<-1|x2-5x|>-6

3<|2x+1|<5（-3，2）（-∞，-1/2）∪（1，+∞）R（-3，-2）∪（1，2）184

例:解不等式|5x-6|<6–x引伸：型如|f(x)|<a,|f(x)|>a的不等式中“a”用代數式替換，如何解？185解：對絕對值里面的代數式符號討論：5x-6≥05x-6<6-x(Ⅰ)或(Ⅱ)

5x-6<0-（5x-6）<6-x解(Ⅰ)得：6/5≤x<2解(Ⅱ)

得：0<x<6/5取它們的并集得：（0，2）

解不等式|5x-6|<6–x(Ⅰ)當5x-6≥0,即x≥6/5時，不等式化為5x-6<6-x，解得x<2,所以6/5≤x＜2(Ⅱ)當5x-6<0,即x<6/5時，不等式化為-(5x-6)<6-x，解得x>0

所以0<x<6/5綜合(Ⅰ)、(Ⅱ)取并集得（0，2）解：186

解不等式|5x-6|<6–x解：分析：對6-x符號討論，當6-x≦0時,顯然無解；當6-x>0時,轉化為-(6-x)<5x-6<(6-x)由絕對值的意義，原不等式轉化為：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)綜合得0<x<2(Ⅰ)或(Ⅱ)6-x≤0無解解(Ⅰ)得：0<x<2;(Ⅱ)無解187

解不等式|5x-6|<6–x解：分析：對6-x符號討論，當6-x≦0時,顯然無解；當6-x>0時,轉化為-(6-x)<5x-6<(6-x)由絕對值的意義，原不等式轉化為：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)X<6-(6-x)<5x-65x-6<(6-x)0<x<2進一步反思:不等式組中6-x>0是否可以去掉有更一般的結論：|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)類型1188練習：把下列絕對值不等式轉化為同解的非絕對值不等式。3、|x-1|>2(x-3)4、5、|2x+1|>|x+2|1、|2x-3|<5x

2、|x2-3x-4|>4189類型2例：方法1：幾何意義方法2：去絕對值方法3：函數的觀點190解不等式

191課堂小結：(1)數學知識:常見的絕對值不等式的解法(2)數學思想分類討論的思想整體的思想轉化的思想192同學們再見！193

引例：某電機廠承擔一項任務，為自來水廠加工一種圓形管道，管道直徑設計為50毫米，由于實際加工過程中存在誤差，規定成品管道實際直徑與設計值相差不能超過1毫米，否則為次品，設成品管道的實際半徑x毫米，那么x應該滿足什么條件？解：由題意成品管道的直徑為2x毫米由絕對值的意義可知，結果也可表示為:|2x-50|≦1050194解不等式：|x-1|>|x-3|方法一方法二方法三反思評價我們的解題方法：195解：因為|x-1|>|x-3|

所以兩邊平方可以等價轉化為

（x-1)2>(x-3)2

化簡整理：x>2平方法：注意兩邊都為非負數|a|>|b|依據：a2>b2196解：如圖，設“1”對A，“3”對應B，“X”對應M（不確定的），即為動點。|x-1|>|3-x|由絕對值的幾何意義可知：|x-1|=MA|x-3|=MB0132AB幾何的意義為MA>MB,197分類討論：分析：兩個|x-1|、|x-3|要討論，按照絕對值里面的代數式符號進行討論。可以借助數軸分類。解:使|x-1|=0,|x-3|=0，未知數x的值為1和30131、當x≧3時，原不等式可以去絕對值符號化為：x-1>x-3解集為R，與前提取交集，所以x≧3；2、當1≦x<3時,同樣的方法可以解得2<x<33.當x<1時,x無解找零點分段討論綜合

綜合有：x>2198書山有路勤為徑，學海無崖苦作舟少小不學習，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！27七月2023絕對值三角不等式199（一）絕對值的定義：

對任意實數a，

復習200問題我們已學過積商絕對值的性質，哪位同學能回答？或.當時，有：201

（二）絕對值的幾何意義：

實數a的絕對值|a|，表示數軸上坐標為a的點A到原點的距離（圖1）。

如：|-3|或|3|在數軸上分別等于點A或點B到坐標原點的距離。|a|OAx202

由絕對值的幾何意義可知，A、B之間的點與坐標原點的距離小于3，可表示為：

即實數x對應的點到坐標原點的距離小于3203

同理，與原點距離大于3的點對應的實數可表示為：

如圖204

設a,b是任意兩個實數，那么|a-b|

的幾何意義是什么？x|a-b|abAB205探究

用恰當的方法在數軸上把|a|，|b|，|a+b|表示出來，你能發現它們之間有何關系？

定理1

如果a,b是實數，則

|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立。絕對值三角不等式206

如果把定理1中的實數a,b分別換為向量，能得出什么結論？你能解釋其幾何意義嗎？探究？(1)當不共線時有(2)當共線且同向時有絕對值三角不等式207如何證明定理1?探究

你能根據定理1的研究思路,探究一下|a|，|b|，|a+b|,|a-b|之間的其它關系嗎?|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|結論:208注意：1

左邊可以“加強”同樣成立，即

2

這個不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊3

同號時右邊取“=”，

異號時左邊取“=”推論1：

推論2：

證明：在定理中以

即：

209定理探索當時，顯然成立，當時，要證只要證，即證而顯然成立．

從而證得.

210定理探索還有別的證法嗎？

由與，得.用可得什么結論？當我們把看作一個整體時，上式逆211定理探索證明嗎？能用已學過得的可以表示為

即即.就是含有絕對值不等式的重要定理，

212例題求證.例2

已知，證明：213例題例3

求證.證明：在時，顯然成立.當時，左邊

214練習②已知求證.1．①已知，求證.②

.①；2．已知，求證：215216217①②由①，②，③得，③218課堂練習：219作業P20:1,2,3,4,220定理2

如果a,b,c是實數,那么當且僅當(a-b)(b-c)≥0時,等號成立你能給出定理2的幾何解釋嗎?如何證明定理2?推論:221絕對值三角不等式222絕對值的幾何意義|a|=|a|AaOx|a-b|AaBxb幾何意義:表示數軸上坐標為a的點A到原點的距離.|a-b|=幾何意義：表示數軸上實數a,b對應的點A，B之間的距離，即線段AB的長度223思考？類比不等式基本性質的得出過程，同學們認為可以怎樣提出關于絕對值不等式性質的猜想？從“運算”的角度考察絕對值不等式。如：對于實數a,b，可以考察|a|,|b|,|a+b|,|a-b|,|a|+|b|,|a|-|b|等之間的關系。224探究？用恰當的方法在數軸上把|a|,|b|,|a+b|表示出來，同學們觀察能發現它們之間有什么關系？xOaba+bxOaba+bxOaba+bxOaba+bab>0ab<0225(1)當ab>0時,xOaba+bxOaba+ba>0,b>0a<0,b<0由圖可得:|a+b|=|a|+|b|(2)當ab<0時xOaba+bxOaba+ba>0,b<0a<0,b>0|a+b|<|a|+|b||a+b|<|a|+|b|(3)如果ab=0,則a=0或b=0易得:|a+b|=|a|+|b|綜上所述,可得:226建立模型定理1:

如果a,b是實數,則|a+b||a|+|b|當且僅當ab0時,等號成立.引申與思考？如果把定理1中的實數a,b分別換為向量,能得出什么結果?227當向量共線呢?定理1的幾何意義xyO在不等式|a+b||a|+|b|中,當向量不共線時,則由向量加法的三角形法則,用向量分別替換實數a,b,向量

構成三角形,故可得向量形式的不等式:|a+b|<|a|+|b|故該定理的幾何意義為:三角形的兩邊之和大于第三邊.絕對值三角不等式228證明絕對值三角不等式:|a+b||a|+|b|證明:當ab0時,ab=|ab||a+b|229證明當ab<0時,ab=-|ab||a+b|故|a+b||a|+|b|當且僅當ab0時,等號成立.230應用與拓展同學們能再探究一下|a|-|b|與|a+b|,|a|+|b|與|a-b|,|a|-|b|與|a-b|等之間的關系?如:如果a,b是實數,則|a|-|b||a-b||a|+|b|再如:如果a,b,c是實數,則|a-c||a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)0時,等號成立.231建立模型定理2:如果a,b,c是實數,則|a-c||a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)0時,等號成立.分析:由于a-c,a-b與b-c都是實數,且a-c=(a-b)+(b-c)證明:根據定理1,有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)||a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)0時,等號成立.則可使用定理1的結論進行證明.232定理2的幾何意義xabcABCxbcaABCxacbABC在數軸上,a,b,c所對應的點分別為A,B,C,(1)當點B在點A,C之間時,|a-c|=|a-b|+|b-c|(2)當點B在點A,C之外時,|a-c|<|a-b|+|b-c|233典例分析例:已知>0|x-a|<|y-b|<,求證:|2x+3y-2a-3b|<5證明:|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)||2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2+3=5故|2x+3y-2a-3b|<5234典例分析例:兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區,每個施工隊每天在生活區和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區應該建于何處?235典例分析分析:如果生活區建于公路路碑的第xkm處,兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km.那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故實際問題轉化為數學問題:當x取何值時,函數S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.解:設生活區應該建于公路路碑的第xkm處,兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km,則:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)236S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我們先來考察它的圖像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x0<x102010<x204x-60x>20237S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x||(x-10)+(20-x)|=10當且僅當(x-10)(20-x)0時取等號.又解不等式:(x-10)(20-x)0得:10x20故當10x20時,函數S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)238

[系列4

]

絕對值三角不等式

Oxy239創設情境在數軸上，你能指出實數a的絕對值的幾何意義嗎？0axA它表示數軸上坐標為a的點A到原點的距離那么，的幾何意義呢？abxBA數軸上A,B兩點之間的距離O-bB240探究設a,b為實數，你能比較之間的大小關系嗎？當ab>0時，當ab<0時，當ab=0時，你能將上述情況綜合起來嗎？241定理1如果a,b是實數，則當且僅當時，等號成立。如果把定理1中的實數a,b分別換為向量，能得出什么結果？你能解釋它的幾何意義嗎？242遷移類比當向量不共線時，Oxy當向量共線時，同向：反向：243向量形式的不等式當且僅當時，等號成立。由于定理1與三角形之間的這種聯系，我們稱其中的不等式為絕對值三角不等式。與同向244知識推廣

如果將定理1中的實數a,b改為復數，不等式仍成立嗎？245練習1、如果a,b,c是實數，證明當且僅當________________時，等號成立。2、如果a,b是實數，你能比較的

大小嗎？并說明理由。當且僅當__________________時，等號成立。246定理1的完善如果a,b是實數，則當且僅當時，左邊等號成立；當且僅當_________時，右邊等號成立。小結247請你診斷學完定理1后，小明和小紅分別提出了新見解。小明認為，如果a,b,c是實數，則小紅認為，如果a,b是實數，則如果你是老師，你能幫他們評判一下嗎？248小結1、的幾何意義；2、定理1：如果a,b是實數，則當且僅當時，等號成立。（向量形式、復數形式）3、定理1的完善：4、推論：（定理1的變形）（定理1的推廣）249作業：1、求證：（1）（2）2、求證：（1）（2）250知識應用：例1已知求證練習：設求證：251例2兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處。現要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區，每個施工隊每天在生活區和施工地點之間往返一次。要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區應該建于何處？分析：如果生活區建于公路路牌的第xkm處，兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km,那么于是，上面的問題就化歸為數學問題：當x取何值時，函數取得最小

值。這個問題可以應用絕對值不等式的性質來解。252解：設生活區應該建于公路路牌的第xkm處，兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km,則因為當且僅當時取等號。解得所以，生活區建于兩個施工地點之間的任何一個位置時，都能使兩個施工隊每天往返的路程之和最小。253254書山有路勤為徑，學海無崖苦作舟少小不學習，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！6.3不等式的證明（1）2556.3不等式的證明（1）

___比較法

根據前一節學過的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數與的大小？ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b256

比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的一種方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差—變形—判斷符號—下結論。作商—變形—與1比較大小---下結論。要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形。2576.3不等式的證明（1)--比較法例1.求證：

證：∵

≥1.變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少。至于怎樣變形，要靈活處理。2.本題的變形方法——配方法258例2.已知都是正數，并且求證證明：∵都是正數，

并且

即：

1.本題變形的方法—通分法2.本題的結論反映了分式的一個性質：若都是正數，當時，當時，259例3.已知都是正數，并且

，

求證：

證明：∵

都是正數，∴

又∵即：本題變形的方法—因式分解法260例4261例5.甲、乙兩人同時同地沿同一線路走到同一地點。甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。解：設從出發地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t1，t2，依題意有其中S，m，n都是正數，且m≠n,于是t1-t2<0從而可知甲比乙首先到達指定地點。即262小結：作差比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的一種方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差—變形—判斷符號—下結論。要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形。263書山有路勤為徑，學海無崖苦作舟少小不學習，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！6.3不等式的證明（3）264復習：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法，用比較法證明不等式的步驟是：作差—變形—定符號---下結論要靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形。265復習：綜合法

利用已經證明過的不等式(例如算術平均數與幾何平均數的定理)和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立,這種證明方法叫做綜合法.

綜合法的思路是“由因導果”、已知未知，即從已知出發，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直到推導出要證明的不等式。

綜合法的思路是