自動控制系統的數學模型第1頁，課件共65頁，創作于2023年2月本章概述

2.1動態微分方程式的編寫

2.2傳遞函數

2.4系統動態結構圖

2.6系統傳遞函數的求取

2.3典型環節的傳遞函數

2.5系統結構圖等效變換和化簡第2頁，課件共65頁，創作于2023年2月本章重點

本章介紹了建立控制系統數學模型和簡化的相關知識。包括線性定常系統微分方程的建立、傳遞函數概念與應用、方框圖及其等效變換、梅遜公式的應用等。通過本章學習，應著重準確掌握傳遞函數的概念及其求取方法、控制系統方框圖的構成和等效變換方法、典型閉環控制系統的傳遞函數的基本概念和梅遜公式的應用。本章主要內容第3頁，課件共65頁，創作于2023年2月概述微分方程（時域數學模型）傳遞函數（復域數學模型）頻率特性（頻域數學模型）動態結構圖(幾何模型)

返回1.數學模型------描述系統變量之間關系的數學表達式2.建模的基本方法:(1)解析法

(2)實驗辯識法3.經典控制理論常用數學模型的主要形式:第4頁，課件共65頁，創作于2023年2月2.1系統的微分方程式

步驟：1.確定系統輸入量(給定量和擾動量)

與輸出量(被控制量,也稱系統響應)2.

列寫系統各部分的微分方程

3.消去中間變量,求出系統的微分方程

4.將微分方程整理成標準形式。一、線性系統微分方程的建立第5頁，課件共65頁，創作于2023年2月圖2-1RC電路例2.1編寫如圖2-1所示RC電路的微分方程式第6頁，課件共65頁，創作于2023年2月

解:(1)確定輸入、輸出量

ui(t)----輸入量

uo(t)----輸出量(2)列寫微分方程（3）消去中間變量,可得電路微分方程式第7頁，課件共65頁，創作于2023年2月圖2-2直流電動機電樞電路例2-2編寫電樞控制的他激直流電動機的微分方程式第8頁，課件共65頁，創作于2023年2月

(2)列寫微分方程式：解：(1)確定輸入量和輸出量：取輸入量為電動機的電樞電壓ua，取輸出量為電動機的轉速n。第9頁，課件共65頁，創作于2023年2月（3）消去中間變量并予以標準化后得電樞回路的電磁時間常數：電動機的機電時間常數：第10頁，課件共65頁，創作于2023年2月若不考慮電動機的負載轉矩TL，即設TL=0，則有返回第11頁，課件共65頁，創作于2023年2月1、疊加定理：兩個函數代數和的拉氏變換等于兩個函數拉氏變換的代數和。即

L[f1(t)±f2(t)]=L[f1(t)±L[f2(t)]=F1(s)±F2(s)復習拉普拉斯變換一、拉氏變換的定義二、拉氏變換的運算定理其中，原來的實變量函數f(t)——原函數變換后的復變量函數F(s)——象函數第12頁，課件共65頁，創作于2023年2月5、終值定理：2、比例定理：

K倍原函數的拉氏變換等于原函數拉氏變換的倍。即

L[Kf(t)]=KL[f(t)]=KF(s)3、微分定理：在零初始條件下4、延遲定理：L[f(t-τ)]=e-sτF(s)第13頁，課件共65頁，創作于2023年2月通過查表，已知原函數f(t)，可求得象函數F(s)；同理，已知象函數f(t)，可求得原函數F(s)。三、原函數和象函數之間的變換第14頁，課件共65頁，創作于2023年2月2.2控制系統的傳遞函數一、傳遞函數的定義當初始條件為零時，輸出量c(t)的拉氏變換式C(s)與輸入量r(t)的拉氏變換式R(s)的之比。即

二、傳遞函數的一般表達式設系統的輸入量為r(t)，輸出量為c(t)，則系統微分方程一般形式為第15頁，課件共65頁，創作于2023年2月當初始條件為零時，對方程兩邊取拉氏變換，有

第16頁，課件共65頁，創作于2023年2月

1、直接變換法先建立微分方程，然后在零初始條件下，對微分方程進行拉氏變換，即可根據傳遞函數的定義求得傳遞函數。根據傳遞函數的定義，得傳遞函數的一般表達式為：三、傳遞函數的求取方法第17頁，課件共65頁，創作于2023年2月解：初始條件為零時，拉氏變換為該電路的傳遞函數為式中——RC電路的時間常數。，求此電路的傳遞函數。例2-3圖2-1所示RC電路的微分方程式為第18頁，課件共65頁，創作于2023年2月解：在零初始條件下，對微分方程進行拉氏變換，有

s2C(s)+10sC(s)+100C(s)=100R(s)

根據傳遞函數的定義，有可見，只要將微分方程中的微分式d(i)/dt(i)換成相應的s(i)，即可求得傳遞函數。求此環節的傳遞函數。例2-4已知某環節的微分方程為第19頁，課件共65頁，創作于2023年2月在電工基礎中，對于電阻、電感、電容，有電阻u=iR拉氏變換式為U(s)=I(s)R電感拉氏變換式為U(s)=LsI(s)電容拉氏變換式為I(s)=CsU(s)由以上討論可見，將電工基礎復數阻抗中的jω換成s即可。

2、電路復阻抗法第20頁，課件共65頁，創作于2023年2月解：例2-5用復數阻抗法求RC串聯電路的傳遞函數。第21頁，課件共65頁，創作于2023年2月解：根據電子技術基礎學過的知識，有Ii(s)+I(s)=If(s)又因為A點為虛地，即UA≈0，所以I(s)≈0，因此有所以例2-6求圖2-3所示運算放大器的傳遞函數G(s)。第22頁，課件共65頁，創作于2023年2月四、傳遞函數的性質（1）傳遞函數和微分方程存在一一對應關系，對于一個確定的系統，微分方程是唯一的，其傳遞函數也是唯一的。（2）傳遞函數取決于系統或元件的結構和參數，與輸入信號的大小、形式無關。（3）傳遞函數是一種數學抽象，因此不能反映系統的物理結構。不同性質的物理結構，完全可以有相同的傳遞函數。（4）傳遞函數的分母是它所對應的系統的微分方程的特征方程式。而特征方程的根反映系統動態過程的性質，所以由系統傳遞函數可以研究系統的動態特性。返回第23頁，課件共65頁，創作于2023年2月2.3典型環節的傳遞函數比例環節：其輸出量和輸入量的關系，由下面的代數方程式來表示

式中——環節的放大系數，為一常數。傳遞函數為：比例環節第24頁，課件共65頁，創作于2023年2月慣性環節慣性環節的傳遞函數可以寫成如下表達式。現求輸入量為單位躍階函數時，慣性環節輸出量的函數關系求拉氏反變換得第25頁，課件共65頁，創作于2023年2月積分環節傳遞函數為：當輸入量為階躍函數時，則輸出量為：理想微分環節傳遞函數為：第26頁，課件共65頁，創作于2023年2月比例微分環節傳遞函數為：振蕩環節微分方程為：其傳遞函數為：自然振蕩角頻率阻尼比第27頁，課件共65頁，創作于2023年2月

當輸入量為階躍函數時，輸出量的拉氏變換為：

當時，上式特征方程的根為共軛復數輸出量為：第28頁，課件共65頁，創作于2023年2月延遲環節傳遞函數為：微分方程為：返回第29頁，課件共65頁，創作于2023年2月2.4系統的動態框圖（結構圖）框圖又稱結構圖，是傳遞函數的一種圖形描述式，可以形象地描述系統各單元之間和各作用量之間的相互關系，比較直觀。、框圖的組成1、信號線：帶有箭頭的直線，，線上標注信號的象函數名稱，箭頭表示信號的流向。2、比較點：表示對兩個或兩個以上的信號進行代數運算，輸入信號處應標明極性。第30頁，課件共65頁，創作于2023年2月3、功能框：表示環節對信號的變換，框中寫入環節的傳遞函數4、引出點：表示信號從該點取出，從同一信號線上引出的信號，大小和性質完全相同功能框比較點引出點第31頁，課件共65頁，創作于2023年2月二、框圖的畫法1、由輸入到輸出，依次列寫系統的全部運動方程，并整理成C(s)=G(s)R(s)的形式。2、從輸入開始，由左向右，根據相互作用的順序，依次畫出各個環節，直至所需的輸出量3、由內向外，畫出反饋環節第32頁，課件共65頁，創作于2023年2月解：直流電動機的基本工作原理：ua→

ia→

Te→

n根據得例2.7畫出他勵直流電動機的框圖。第33頁，課件共65頁，創作于2023年2月第34頁，課件共65頁，創作于2023年2月按照信號傳遞關系依次連接各環節，即可得到直流電動機的框圖：第35頁，課件共65頁，創作于2023年2月例2-8畫出圖2-6所示系統的系統框圖。第36頁，課件共65頁，創作于2023年2月返回解：系統由3個運算放大器串聯組成。第37頁，課件共65頁，創作于2023年2月2.5系統框圖的等效變換和化簡任何復雜的系統結構圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯、并聯和反饋連接三種。方框結構圖的簡化是通過移動引出點、比較點，交換比較點，進行方框運算后，將串聯、并聯和反饋連接的方框合并。變換前后的變量之間關系保持不變等效變換的原則第38頁，課件共65頁，創作于2023年2月1、串聯等效一、典型連接的等效傳遞函數2、并聯等效第39頁，課件共65頁，創作于2023年2月3、反饋等效第40頁，課件共65頁，創作于2023年2月1、相加點從單元的輸入端移到輸出端，如圖2-5圖2-5相加點后移變位運算二、相加點及分支點的換位運算原則：移動前后保持信號的等效性第41頁，課件共65頁，創作于2023年2月圖2-6相加點前移變位運算2、相加點從單元的輸出端移到輸入端，如圖2-6所示第42頁，課件共65頁，創作于2023年2月3、分支點從單元的輸入端移到輸出端，如圖2-7所示圖2-7分支點后移的變位運算第43頁，課件共65頁，創作于2023年2月4、分支點從單元的輸出端移到輸入端，如圖2-8所示圖2-8分支點前移的變位運算第44頁，課件共65頁，創作于2023年2月5、非單位反饋的等效變換第45頁，課件共65頁，創作于2023年2月例2-9化簡下圖所示的多回環系統第46頁，課件共65頁，創作于2023年2月第47頁，課件共65頁，創作于2023年2月返回第48頁，課件共65頁，創作于2023年2月2.6系統傳遞函數的求取一、系統的開環傳遞函數1、開環傳遞函數：2、前向通道傳遞函數：反饋引入點斷開時，輸入端對應比較器輸出E(s)到輸入端對應的比較器的反饋信號B(s)之間所有傳遞函數的乘積，記為Go(s),Go(s)=G(s)H(s)輸入端對應比較器輸出E(s)到輸出端輸出C(s)所有傳遞函數的乘積，記為G(s)

第49頁，課件共65頁，創作于2023年2月3、反饋通道傳遞函數：輸出C(s)到輸入端比較器的反饋信號B(s)之間的所有傳遞函數之乘積，記為H(s)第50頁，課件共65頁，創作于2023年2月二、系統閉環傳遞函數在初始條件為零時，系統的輸出量與輸入量的拉氏變換之比稱為系統的閉環傳遞函數。閉環傳遞函數是分析系統動態性能的主要的數學模型。例2-10試簡化圖示系統結構圖，并求系統傳遞函數第51頁，課件共65頁，創作于2023年2月三、系統對給定作用和擾動作用的閉環傳遞函數圖2-11所示系統中有兩個輸入量——給定作用量和擾動作用量，同時作用于系統。對于線性系統來說，可以對每一個輸入量分別求出輸出量，然后再進行疊加，就得到系統的輸出量2-11Rr(s)和D(s)同時作用于系統第52頁，課件共65頁，創作于2023年2月1、只有給定作用時的閉環傳遞函數和輸出量為：第53頁，課件共65頁，創作于2023年2月因此當兩個輸入量同時作用于系統時，則輸出量為：2、只有擾動作用時的閉環傳遞函數和輸出量為：第54頁，課件共65頁，創作于2023年2月四、系統對給定作用和擾動作用的誤差傳遞函數誤差的定義：單回環系統中，給定輸入r(t)與反饋信號

b(t)的差值，以e(t)表示，即

e(t)=r(t)-b(t)

或E(s)=R(s)-B(s)當只有給定信號R(s)作用下的誤差傳遞函數和系統誤差R(s)作用時，可認為D(s)=0，所以有第55頁，課件共65頁，創作于2023年2月當只有擾動信號D(s)作用下的閉環傳遞函數和系統輸出D(s)作用時，可認為R(s)=0，所以有第56頁，課件共65頁，創作于2023年2月五、梅遜增益公式從輸入端到輸出端的前向通路總數Δ的余子式，即在Δ中，除去與第k條前向通道相接觸的所有回路的L項主特征式從輸入端到輸出端第k條前向通路的總增益（或傳遞函數之積）閉環傳遞函數（或總增益）第57頁，課件共65頁，創作于2023年2月所有單獨回路之和兩、兩不接觸回路增益的乘積之和三、三不接觸回路增益的乘積之和系統的主特征式第58頁，課件共65頁，創作于2023年2月例2-11求如圖2-11所示系統的傳遞函數。第59頁，課件共65頁，創作于2023年2月解：（1）該系統只有一條通道，即n=1，所以P1=G1G2G3G4G5G6。

(2)該系統有4個負反饋回路，

L1=-G1G2G3G4G5G6H1L2=-G2G3H2

L3=-G4G5H3L4=-G3G4H4

并且只有兩個回路互不接觸，即

L2L3=(-G2G3H2)(-G4G5H3)=