高中數學中的定位首都師范大學張飴慈高中數學中的定位一、如何看待數學中猜想、歸納和推理論證的關系等周問題。救火問題。細胞生長問題。高中數學中的定位二如何看待推理論證的‘嚴格性’‘標準’中沒有關于‘嚴格性’的論述培養推理論證的能力和建立公理體系是兩回事。建立公理體系關心的是：公理的完備性、相容性和獨立性。中學數學強調的是培養推理論證的能力。數學中推理論證的嚴密性數學中的嚴密性是相對的，對不同的人有不同的要求；物理學家一般不需要掌握實數理論；大部分數學家也不需要掌握皮亞諾公理，不需要會證明自然數乘法滿足交換律。高中數學中的定位在高中，我們對人們認為明顯的事實或經過歸納后認為正確的事實，通常不給出證明。我們的教學是要化難為易，而不是相反，把容易的東西講難了。對人們已經認為是對的結論，要求學生證明，往往使學生不知所云，無助于提高學生推理論證的能力。高中數學中的定位在高中數學中，像‘二次函數的圖像是一條連續的曲線’等說法，都是很自然的，一般人不會提出疑問。對這樣的問題提出質疑，是數學家的事，不是我們在高中向學生講的事，‘嚴格’是相對的。高中數學中的定位類似的問題還有很多。例如：指數運算的性質、指數函數和對數函數的單調性。甚至函數y=x2的值域的討論，都沒有給出嚴格的證明。這些明顯正確的結論，有些是用高中知識無法證明。比如，指數運算的性質；指數函數、對數函數的單調性等。高中數學中的定位有些結論，雖然用高中知識可以證明。例如，有理指數運算的性質。但這些證明對一個不是專門學數學的高中學生來說，是不必要的。高中數學中的定位作為一個高中教師應該知道哪些‘嚴格性’對學生是不必要的。高中學生不需要掌握高中老師所知道的所有數學知識。正確把握一桶水和一杯水的關系：例如概率公式的證明高中數學中的定位在培養學生推理論證的能力時，應突出數學本質；充分利用圖形和直觀顯示其推理論證的基本思想；然后，讓學生用邏輯論證的語言表述其論證的過程。高中數學中的定位三強調圖形的作用，要養成用圖形說明問題的習慣。正確看待解析式的作用例如正弦函數：從解析式看不出任何東西。而從定義、從單位園可以容易地得到它的幾乎所有性質。高中數學中的定位例如：正弦函數的周期性、正負取值、值域和最大最小值、單調區間、誘導公式等。高中數學中的定位了解數列中各個函數之間的關系。借助圖形求等差數列前n項和Sn的極值等。高中數學中的定位四強調通性通法。例如，求值域的方法。中學討論的函數基本上是連續的或分段連續的；用導數方法確定極值，再比較函數在區間端點的值，得到最大、最小值（包括趨于無窮的情形）。這是通性通法。高中數學中的定位避免一些‘垃圾’題目。例如，已知求要利用到高中數學中的定位五把握好各章節的定位，提高教學效率、化難為易。例如，‘集合’的定位。其內容是，了解集合與元素的‘屬于’關系、集合的‘包含’關系（包括‘子集合’的概念與集合‘相等’的關系）以及集合‘并’、‘交’、‘補’的運算。在高中三年的數學學習中，初步會用集合的語言描述所學的數學內容。高中數學中的定位為了講清‘包含’、‘屬于’關系和‘并’、‘交’、‘補’運算，用初中學生熟悉的自然數和一元一次不等式組，就可以了。既簡單又清楚。不要在這里講一元二次不等式的解法，不要在這里討論子集合個數的問題，這些問題在后面‘不等式’、‘計數原理’中會專門解決。高中數學中的定位把后面的內容提前講授，增加了難度、學時緊張、效率不高。我們的教學要化難為易，要讓學生感到他能夠很好地掌握所學內容，要提高學生的學習興趣。特別是在初高中銜接階段，不應該給學生一個下馬威，讓學生覺得高中數學如何難。高中數學中的定位抓住數學的本質，不要去討論集合的三性（確定性、互異性、無序性）。這些只是我們的一些規定，讓學生知道并遵循就可以了。數學上這樣的規定有不少，如，哪個是第一象限，哪個是第二象限，等等。這些規定不同于數學概念和定義，沒必要去討論、去做題。高考也不考。高中數學中的定位有不少習題討論集合中的參數取值問題。其中有些題目雖然能培養學生的推理論證能力，但和‘集合’的內容定位無關。（事實上，許多數學問題，如歌德巴赫猜想，都可以形式上表述為集合的關系問題，）在數學中，培養推理論證能力的題目有很多，并不都要講。因此，在這里，要選擇確實對學生理解集合有用的問題。題目要適量，不要做難題。高中數學中的定位六明確幾何學的定位幾何學最根本的任務是了解空間的形式，即了解人類生存的空間的特性和規律。它是所有其它科學的基礎；是發展最早的科學。高中幾何要求學生很好地把握圖形、認識圖形。高中數學中的定位由于幾何學有著圖形特有的直觀、清楚的優勢，使得幾何學成為培養推理論證能力的一個很好的載體。但培養推理論證能力是學習數學各個分支共同的目標之一，不能認為只有幾何才具有這一功能。在幾何證明中，對一些明顯成立的事實，過分強調其證明無助于提高學生的能力。高中數學中的定位在幾何中，有人喜歡綜合幾何證明，覺得這才能培養推理論證能力。不喜歡向量，覺得向量運算太容易，沒意思。其實，正相反，就是因為向量的運算極其容易，像實數的運算那樣，而用它又能解決幾乎一切幾何問題。它是數學中最基本、最重要的概念。抓住向量的運算及其幾何意義，才是抓住數學的本質。高中數學中的定位老師要認識到，在中學引入向量并不僅僅是因為向量給出了通性通法，簡單好用（因為就個別問題而言，綜合的方法可能更好）。而是‘向量’在現代數學中和函數一樣，處于中心地位。‘向量’是數學中最重要的概念之一。在向量的教學中要淡化枝微末節，如零向量的討論。高中數學中的定位七導數的重點是概念和應用重點是讓學生認識從平均變化率到瞬時變化率的過渡；讓學生體會到在自然界和我們的生活中導數處處存在。由于我們不系統地介紹極限，特別地不講兩個重要的極限，因此，不推導指數函數、對數函數和三角函數的導數公式。高中數學中的定位在講平均變化率向瞬時變化率過渡時，我們討論的函數其形式主要是：多項式、分式和部分根式。在這里要求先把平均變化率化簡，使其不出現零比零的形式，然后再過渡到瞬時變化率。當需要對較復雜的函數（如復合函數）求導數時（如在應用問題中），我們采取查表的方法。不把計算作為重點。高中數學中的定位八計數問題要緊緊抓住兩個計數原理，而不是去背公式例如：把r個不同的球放入n個不同的盒中，每盒放球數不限，求有多少種放法？我們用計數原理：在操作上，把r個球，一個一個地放，每個球都有n種放法；用乘法計數原理，不難得到結論。而不是死記公式。高中數學中的定位要認識到數學模型的作用。例如，下列問題都可以用前面的球放盒的模型來描述。擲r個硬幣出現的結果（相當r個球放入‘正’、‘反’兩個盒的情形）擲r個骰子出現的結果（相當r個球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子）r個人在n個車站下車r個事故出現在一周七天的情形，等等。高中數學中的定位九‘統計’是從數據中提取信息不要把統計講成數據的加、減]乘、除；講成圖表的制作。我們對數據進行整理、畫圖表，是為了清楚地反映其中的信息。我們關心不同圖表反映信息的特點和優劣；鼓勵學生創造性地自制圖表。高中數學中的定位我們對數據進行加工，得到數據的平均值、方差等。用這些數字特征來反映信息。和單獨的一個數據比，這些數字特征更重要，但和全體數據比，全體數據中的信息更豐富，數字特征是由全體數據所決定的。高中數學中的定位在初中我們考慮的數據往往是‘普查’的數據，如全班同學的身高、考試成績等。這時由數據得到的平均值、方差，是‘總體’的均值、方差，得到的分布圖表是‘總體’的分布。而到高中講隨機抽樣后，數據的平均值、方差等以及分布圖表都是隨機的。和我們希望得到的‘總體’均值、方差和分布是不同的。必須讓學生知道這一區別。高中數學中的定位由于我們希望得到的數據能正確反映實際的狀況，所以采用隨機地抽樣。這是關鍵所在。應該讓學生很好地理解這一點。比如要了解某地區18歲男孩的身高。若這些男孩中一米九以上的有千分之一，隨機抽樣使每個男孩被等可能抽到，因此，抽到一米九以上的可能性也是千分之一。若這些男孩中一米六到一米八的占百分之七十，那么抽到男孩身高在一米六到一米八之間的可能性也有百分之七十。隨機抽樣能使得樣本中不同身高的百分比和總體中的百分比近似相同。高中數學中的定位換句話說，隨機抽樣的樣本能很好地反映總體的狀況。如果不把這一點說清楚，只單純地介紹三種抽樣的具體操作方法就講偏了。高中數學中的定位我們關注三種抽樣方法的差別和不同的適用范圍。例如，系統抽樣通常比簡單隨機抽樣簡單，在田野上考察害蟲的個數，通常就是從任一地點出發，每隔相同的距離測量害蟲的個數。但如果考察馬路上的車流量，每隔幾天記錄一次，若選擇不當，例如，每七天測一次，恰選在了星期日。就會造成錯誤的結果。同樣在分層抽樣中，如果分的不當，同一組內個體相差太大，結果也會有偏差。在給中學生講授時，應講清這些，而不是單純地講方法。從統計上說，理解這些比方法本身更重要。高中數學中的定位要理解統計的實質，而不是在枝節問題上斤斤計較。例如，有人問：在分層抽樣中，需把100個樣本各取三分之一時，如何抽取？把這看成一個純數學問題。事實上，在統計問題中，只有當樣本數大時，結論才有意義。而當樣本數大時，多一個少一個樣本，幾乎不影響結論。因此，多出的一個樣本放在哪一