人教版八年級數學上冊第十三章達標測試卷及答案

第十三章達標測試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列四個交通標志圖中為軸對稱圖形的是（）A.B.C.D.2.已知點P(3,-2)與點Q關于x軸對稱，則點Q的坐標為（）A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)3.一個等腰三角形的兩邊長分別為5和11，則這個等腰三角形的周長為（）A.16B.21C.27D.21或274.等腰三角形的一個角為50°，則這個等腰三角形的頂角為（）A.50°B.80°C.50°或80°D.130°5.下列說法中，正確的是（）A.關于某條直線對稱的兩個三角形一定全等B.兩個全等三角形一定關于某條直線對稱C.面積相等的兩個三角形一定關于某條直線對稱D.周長相等的兩個三角形一定關于某條直線對稱6.如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處，它以每小時40nmile的速度向正北方向航行，2h后到達燈塔P的北偏東40°方向的N處，則N處與燈塔P的距離為（）A.40nmileB.60nmileC.70nmileD.80nmile7.如圖，等腰三角形ABC的周長為21，底邊BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則△BEC的周長為（）A.13B.14C.15D.168.如圖，若△ABC是等邊三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分線，延長BC到E，使CE=CD，則BE的長為（）A.7B.8C.9D.109.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜邊AB上的高，AD=3cm，則AB的長度是（）A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm10.如圖，在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC，∠ACB，過I點作DE∥BC，分別交AB于D，交AC于E，給出下列結論：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周長等于AB+AC。其中正確的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④二、填空題（每題3分，共24分）11.若點M(m,-n)與點N(3,m-1)關于y軸對稱，則mn=________，直線MN與x軸的位置關系是________。(2)若AB＝2，求CD的長度．12.題目中給出的圖形不夠清晰，無法判斷各線段之間的關系和位置，無法回答問題。13.在正方形方格中，涂黑7個小正方形所形成的圖案有很多種涂法，但是涂白一個小正方形后，只有一種涂法可以使得圖案成為軸對稱圖形。14.在三角形ABC中，由于∠C＝90°，所以三角形ABC是直角三角形。根據三角形的性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等，因此ED平分∠C，即∠CED＝45°。由于AB＝BC，所以三角形ABC是等腰三角形，因此AE＝EC。根據三角形相似的性質，可得到△AED∽△CEB，因此AD/BC＝DE/EB。又因為CD＝3，所以DE/EB＝2，即DE＝2EB。根據勾股定理可得到BD＝√(BC2－CD2)＝√7。15.在等腰三角形ABC中，由于AB＝AC，所以∠BAC＝∠BCA。由于AP＝PQ＝QC，所以三角形APQ和三角形CQP是等邊三角形，且三角形ABC是等腰三角形，因此三角形APB和三角形CQB是相似的。根據相似三角形的性質，可得到∠PCQ＝∠ABP＝∠QBC＝30°。16.在等腰三角形中，頂角和底邊的中垂線相交于底邊的中點，因此頂角的角平分線和底邊重合。由于等腰三角形的兩個底角是相等的，所以頂角的角平分線和兩個底邊的夾角相等，即為75°。17.題目中給出的圖形不夠清晰，無法判斷各線段之間的關系和位置，無法回答問題。18.根據等腰三角形的性質，可得到EF是AC的中線，因此EF＝AC/2＝4。由于三角形ABC的面積為16，所以底邊BC的長度為8。根據勾股定理可得到AC＝√(BC2－AB2)＝√28。由于EF是AC的中線，因此DE＝EF/2＝2。根據勾股定理可得到CD＝√(AC2－AD2)＝2√7。因此△CDM的周長為CD＋DM＋CM＝2√7＋2＋2M。19.因為AB＝AC，所以三角形ABC是等腰三角形。由于AE平分∠DAC，所以∠EAB＝∠EAC。又因為AB＝AC，所以三角形ABE和三角形ACE是相似的。根據相似三角形的性質，可得到∠AEB＝∠AEC，即AE與BC平行。20.四邊形ABCD關于x軸對稱后，A點坐標不變，B點坐標變為(1，－3)，C點坐標變為(－1，－4)，D點坐標變為(－3，－2)。四邊形ABCD關于y軸對稱后，A點坐標變為(－4，4)，B點坐標變為(－1，3)，C點坐標變為(－1，0)，D點坐標變為(－3，－1)。21.由于PA⊥OM，PB⊥ON，所以∠PAB＝∠PBA。又因為∠PMA＝∠PMB＝90°，所以四邊形APMB是圓的直徑。根據圓的性質，可得到∠AMB＝90°。因此∠OAB＝∠PAB＝∠PBA＝∠OBA。又因為∠OAB＝∠OBA，所以OA＝OB。同理，可得到OC＝OD。由于OP是AB的中垂線，所以OP垂直于AB。又因為OA＝OB，所以OP也垂直于OA和OB的平分線，即OP垂直平分AB。22.由于BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝∠ACB。又因為AB＝AC，所以三角形ABD和三角形CBD是相似的。根據相似三角形的性質，可得到BD2＝AD×CD。又因為AB＝BC＋CD，所以AD＝BC。代入上式可得到BD2＝BC×CD。因此BD＝√3CD。又因為AB＝AC，所以∠BAC＝60°，即∠ABC＝30°。由于∠C＝2∠A，所以∠A＝30°，∠B＝90°。因此三角形ABC是30°－60°－90°三角形，所以BC＝2AB。代入AB＝BD＋CD可得到CD＝AB/3＝2/3。23.(1)因為AB＝AC，所以三角形ABC是等腰三角形。由于BE＝CF，所以三角形BEF和三角形CEF是相似的。根據相似三角形的性質，可得到EF2＝BE×CF＝BC×EF/2，即EF＝BC/2。又因為BD＝CE，所以三角形BDC是等腰三角形，即∠BCD＝∠CBD。因此∠BCE＝(180°－∠BCD)/2＝∠CBD＝∠BDE。又因為∠BED＝∠BFD，所以四邊形BEFD是圓的內接四邊形。根據圓的性質，可得到∠BDE＝∠BFE，即△BDE和△BFE是相似的。根據相似三角形的性質，可得到∠DEF＝∠BFE＝∠BDE，即△DEF是等腰三角形。(2)由于AB＝AC，所以∠BAC＝∠BCA＝70°。由于BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝∠ACB＝20°。又因為BE＝CF，所以三角形BEF和三角形CEF是相似的。根據相似三角形的性質，可得到EF2＝BE×CF＝BC×EF/2，即EF＝BC/2。又因為BD＝CE，所以三角形BDC是等腰三角形，即∠BCD＝∠CBD。因此∠BCE＝(180°－∠BCD)/2＝∠CBD＝20°，∠BDE＝∠BCE＋∠CBD＝40°。因此∠DEF＝∠BDE＝40°。24.(1)由于AC＝BC，所以三角形ABC是等腰直角三角形，即∠BAC＝45°，AB＝BC。由于∠CAD＝∠CBD＝15°，所以三角形ACD和三角形BCD是相似的。根據相似三角形的性質，可得到CD2＝AD×BD。又因為CE＝CA，所以三角形ACE是等腰三角形，即∠ACE＝∠AEC＝15°。因此∠AED＝∠AEC＋∠CED＝60°，即∠BDC＝60°。由于∠BAC＝45°，所以∠BAD＝15°，∠CBD＝30°。因此∠BED＝∠BFD，所以四邊形BEFD是圓的內接四邊形。根據圓的性質，可得到∠BDE＝∠BFE，即△BDE和△BFE是相似的。根據相似三角形的性質，可得到∠DEF＝∠BFE＝∠BDE，即DE平分∠BDC。(2)設CD的長度為x，則AD的長度為x/√3。由于三角形ACD和三角形BCD是相似的，所以BC/AC＝CD/AD，即2/x＝x/√3。解得x＝2√3/3。因此CD的長度為2√3/3。2.若點M在DE上且DC=DM，則證明ME=BD。假設點M在DE上且DC=DM。連接BM和CE，如圖所示。因為DC=DM，所以△CDM是等腰三角形，因此∠CMD=∠MCD=α。同理，因為BD=BM，所以△BDM也是等腰三角形，因此∠BDM=∠BMD=β。又因為AB=AC，所以∠BAC=90°，因此∠BAM=∠CAM=45°?？紤]△BME和△CDE，有：∠BME=∠BMD+∠DME=β+α∠CDE=∠CMD+∠DCE=α+45°因為BD=BM，所以DM=BD，所以△BMD是等腰三角形，因此∠BDM=∠BMD=β。同理，因為CE=CM，所以DM=CE，所以△CDM也是等腰三角形，因此∠CMD=∠CDE=α。因此，∠BME+∠CDE=(α+β)+(α+45°)=2α+β+45°=180°-∠BAC=90°。又因為AB=AC，所以BM=MC，所以△BME和△CDE是等腰三角形。因此，ME=BE-BM=CE-MC=CE-BM=BD，證畢。5.(1)如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D，E。求證DE=BD+CE。假設BD=x，CE=y，連接BE和CD，如圖所示。因為AB=AC，所以∠BAC=90°時，△ABC是等腰直角三角形，因此BC=AB=AC。考慮△ABE和△ACD，有：∠AEB=∠ACD=90°∠BAE=∠DAC因為AB=AC，所以AE是AB和AC的平分線，所以∠BAE=∠CAE。因此，△ABE和△ACD是全等三角形，所以BE=CD。又因為BD=x，CE=y，所以DE=BE-CD=x+y=BD+CE，證畢。(2)如圖②，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角。請問結論DE=BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由。不成立。當α=90°時，如圖所示，D、A、E三點共線，但是DE≠BD+CE。(3)拓展與應用：如圖③，D、E是過點A的直線m上的兩動點(D、A、E三點互不重合)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE。若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請判斷△DEF的形狀，并說明理由。因為△ABF和△ACF是等邊三角形，所以AB=BF=FC=AC。因為∠BDA=∠AEC=∠BAC，所以BD和CE平行，所以BE=CD。因此，△ABE和△ACD是全等三角形，所以DE=BE-CD=0。因此，△DEF是一條直線，證畢。證明：(1)由題意可得，$\angleACB=2\angleA$，因此$\angleACB=2\angleE$。又因為$\angleACB=\angleE+\angleCDE$，所以$\angleCDE=\angleE$，進而$CD=CE$。又因為$AB=BE$，而$BE=BC+CE$，因此$AB=BC+CD$。(2)根據(1)可知，$\triangleDBE\cong\triangleECF$，因此$\angle1=\angle3$。又因為$\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ$，$\angleA=40^\circ$，且$\angleB=\angleC$，因此$\angleB=\frac{1}{2}(180^\circ-40^\circ)=70^\circ$。因此$\angle1+\angle2=110^\circ$，$\angle3+\angle2=110^\circ$，進而$\angleDEF=70^\circ$。證明：(1)由題意可得，$AC=BC$，$\angleACB=90^\circ$，因此$\angleBAC=\angleABC=45^\circ$。又因為$\angleCAD=\angleCBD=15^\circ$，因此$\angleBAD=\angleABD=30^\circ$，進而$AD=BD$。又因為$AC=BC$，$\angleCAD=\angleCBD$，因此$\triangleADC\cong\triangleBDC$，進而$\angleACD=\angleBCD=45^\circ$，$\angleADC=\angleBDC=120^\circ$。因此$\angleCDE=60^\circ$，$\angleBDE=60^\circ$，即$DE$平分$\angleBDC$。(2)連接$CM$。因為$DC=DM$，$\angleCDE=60^\circ$，因此$\triangleCDM$為等邊三角形，$\angleCMD=60^\circ$，$CD=CM$。因此$\angleCME=120^\circ$。又因為$CE=CA$，$\angleCAE=\angleE$，$\angleCAE=\angleCBD$，因此$\triangleCME\cong\triangleCDB$，進而$ME=BD$。(1)由題意可得，$\angleBAC=90^\circ$，因此$\angleBAD+\angleCAE=90^\circ$。又因為$BD\perpm$，$CE\perpm$，因此$\angleBDA=\angleCEA=90^\circ$，進而$\angleBAD+\angleDBA=90^\circ$。因此$\angleCAE=\angleDBA$。又因為$AB=AC$，因此$\triangleBDA\cong\triangleAEC